m.
Envisageons maintenant une forme quelconque de T' soumise
aux restrictions précédentes, et soient P( et P, les valeurs détei'-
minées de p, et /?:! pour cette forme, et désignons par a la valeur
de l'intégrale
relative ù la parue en question de la ligne de diseontiiiuité; nous
y Google
ko PREHlfcnE PARTIE. — MÉMOiriES PUBLIÉS PAR hiemass.
pourrons alors évidemment oLlcnir
si nous prenons p, el p-^, pour chaque valeur de s, de lelle sorte
que les incgalttés
(t.-tO^>'"
soient satisfaites. Mais cela, de quelque façon que l'on prenne 'k à
l'intérieur de T', a pour conséquence que la partie de L qui pro-
vient de la portion de T' en question sera >• C- et il en sera de
même a fortiori As L tout entier [6]. c. q. f. d.
D'après le § XVI, pour la fonction u qui y est complètemenl
définie et pour l'une quelconque des fonctions X, l'on a
J VW Oyjd^ - Uy ■ Oxjôyy^'-"-
l'intégrale s'étendant à toute la surface. De celte équation nous
allons maintenant tirer encore d'autres conséquences.
Séparons sur la surface T un morceau T' renfermant les lieux
de discontinuité de u, p, )> ; à l'aide des principes des § VII, VIII,
"^""' X-.C^-f)! et Y=f?^f)^
\')a: dyj \dy dx j
l'on trouve que la partie de N, qui provient du morceau restant
T"de T, est égale à
Par suite de la condition relative au contour imposée à la fonc-
y Google
FONCTIONS D LNE llRANDEtB YARIATILE couru
(1 î., la partie de
fit,
yi\
relative à la portioQ de contour que T" possède en commun avec ï
est nulle, en sorte que N peut être regardée comme formée de l'in-
tégrale
relaLivement à T", et de
/[(£-f)l-^(?-£)|]-^/(^S)-.
relativement à T'.
Maintenant, il est évident que, si ■ 1 était clilTérent de
zéro en une partie quelconque de la surface T, N prendrait égale-
ment une valeur différente de zéro, pourvu que l'on ait choisi 1,
ce que l'on est libre de faire, égale à zéro à l'intérieur de ï', et
de teiic nature qu'à l'intérieur de T", ^(;r-; + t~7 ) ^'^ partout
te même signe. Mais si -r-^ + y- ^ est égale à zéro en toutes les
parties de T, alors la partie de N qui dérive de T" s'évanouit pour
chaque X, et de la condition N =: o résulte alors que les parties
relatives aux lieux de discontinuité sont égales à zéro.
Ainsi, relativement. aux fonctions ^- -^ h— ^ en dési-
guant la première parX et la seconde par Y, nous avons non seu-
lement d'une manière générale l'équalion
fl encore cc-lle-t
/(>
l'intégrale étant prise relativement au contour total d'une partie
quelconque de T, en tant au moins que celle expression présente
un sens déterminé.
Décomposons (§ IX, proposition V) la surface T, lorsqu'elle
y Google
4a PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEJIAXN.
possède une connexité mukiple, en une surface simplement con-
nexe T' à l'aide de sections Iransverses; alors, par conséquent,
-r(^^)<"•
relative à une ligne quelconque joignant Oo à O à l'iiilérlcur de ï",
possède toujours la même valeur et représente, 0. sur T, celles de v sur T* ne sont dis-
continues qu'en des points isolés, et cela seulement de telle
sorte que les intégrales
im-mi'^- " /[(£)■-
relatives à toute la surface, restent finies ; de plus, les varia-
tions de V le long d'une section transverse sont égales sur les
deux bords.
y Google
i d'une grandeur variable complexe. 43
Ces conditions suffisent pour déterminer |j. + vi. En effet, cnia
résulte de ce que pi, à l'aide de laquelle v est déterminée à une
constante additive près, fournit toujours également un ininimum
de l'intégrale û, puisque, en posant H:^ct+ ;i, l'on a pour chaque
X évidemment N ^= o; propriété qui, d'après le § XVI, n'a lieu
que pour une seule fonction.
§ XIX.
Les principes qui servent de base au théorème qui termine le
paragraphe précédent ouvrent la voie pour l'étude de fonctions
déterminées d'une variable complexe (indépendamment d'une
expression explicite de ces fonctions).
Pour s'orienter dans ce champ de recherches, l'on fera usage
d'une estimation comparative de l'ensemble des conditions néces-
saires à la détermination d'une pareille fonction à l'intérieur d'un
domaine donné.
Arrêtons-nous d'ahord à un cas déterminé; lorsque la surface
qui recouvre le plan A et qui représente ce domaine de grandeurs
est une surface simplement connexe, la fonction (v = « + t't de
z peut être déterminée conformément aux conditions suivantes :
1" Pour H, l'on donne la valeur en tous les points du contour,
valeur qui, pour une variation infiniment petite de la position,
variera d'une grandeur infiniment petite de même ordre, mais du
reste d'une manière quelconque ( ' ) ;
a" En un point quelconque, la valeur de i^ est donnée arbitrai-
rement ;
3* La fonction doit être partout finie et continue.
Mais, sous ces conditions, la fonction esl complètement dé-
terminée.
En elTct, cela résulte du théorème du paragraphe précédent.
(') Les variations de celte valeur sont à vrai dire soumises seulement à
triction de ne pas être discontinues le lung & une partie entière dn contoi
fait une l'estriclion ultérieure dans le seul but d'éviter ici des coroplicatii
y Google
44 PREHIÈBE PAllTIE. -
lorsque l'on détermine a+ ^t, ce qui esl toujours possible, de
telle sorte que a soit égale, sur le contour, à la valeur donnée et
que sur toute la surface, pour louie variation inrinimcnl petite
de la position, la variation de a + [3/ soit infiniment petite de
même ordre.
La fonction u peut être par conséquent donnée sur le contour
en général comme fonction toute arbitraire de s, et ce fait déter-
mine partout en même temps c ; réciproquement, v peut être prise
aussi quelconque en tous les points de l'encadremeol ; d'où l'on
conclut alors les valeurs de u.
. Le champ d'évolution pour le choix des valeurs de iv sur le
contour embrasse donc un ensemble à une dimension pour chaque
point de l'encadrement, et la détermination complète de ces va-
leurs nécessite une équation pour chaque point de l'encadrement,
sans qu'il soil toutefois essentiel que chacune de ces équations
soit uniquement relative à la valeur d'un terme en un point de
l'eneadrcmeot.
Cette détermination peut aussi être effectuée de telle sorte que
pour chaque point de l'encadrement une équation contenant les
deux termes et variant de forme d'une manière continue avec la
position du point soit donnée ; ou bien la détermination peut être
effectuée simultanément pour plusieurs parties d'encadrement, de
telle sorte qu'à chaque point d'une de ces parties soient associés
71 — I points déterminés, dont chacun tire son origine d'une des
autres parties respectives, et de telle façon qu'alors pour chaque
groupe de n points ainsi associés soit donné nn groupe de «équa-
tions, variant d'une manière continue avec la situation de ces points.
Mais ces conditions, dont la totalité forme une variété continue,
et qui sont exprimées par des équations entre des fonctions arbi-
traires, doivent encore, en général, pour être admissibles et suffi-
santes à la détermination d'une fonction partout continue à l'inté-
rieur du domaine de grandeurs, être soumises à une restriction ou
bien à une extension qui sont données par des équations de con-
dition particulières (équations relatives aux constantes arbitraires),
car l'exactitude de nos estimations ne s'étend pas évidemment
jusqu'à ce dernier point relatif aux constantes.
Dans le cas où le domaine de variabilité de la grandeur : esl
représenté par une surface multiplement connexe, ces considéra-
y Google
b'lxe gr.vsdeur VARiARi.r complexe.
lions n'éprouvent aucune modification essentielle; en effeL, l'a
plication du Lliéorcme du § XVIII fournil une fonction jouissanl
des mêmes propriétés que celles que l'on vient d'étudier, aux
i près
i la traversée des sections transverses, variations
qui peuvent être rendues égales à zéro, lorsque les conditions
relatives à l'encadrement contiennent un nombre de constantes
disponibles égal à celui des sections transverses.
Le cas, oiila continuité est interrompue le long d'une ligne à
l'intérieur de la surface, peut être subordonné au précédent, si
l'on considère celle ligne comme une section pratiquée dans la
Finalement, si l'on admet une solution de la continuité en un
point isolé, c'est-à-dire, d'après le § XII, un infini de la fonction
en un point, alors, en conservant les antres hypoilièses faites dans
le cas étudié au commencement, l'on peut trouver relativement à
ce point une fonction de z quelconque, après soustraction de la-
quelle la fonction qu'il s'agit de déterminer se;'a continue; mais,
par cela même, cette dernière sera complètement déterminée. En
effet, supposons la grandeur a+ 'i/ égale à la fonction donnée
dans un cercle aussi petit que l'on voudra, dont le centre est en
ce point de discontinuité, et cela d'ailleurs conformément aux
prescriptions antérieures, alors l'intégrale
relative à ce cercle, est égale à zéro ; prise relativement à la partie
restante, l'intégrale est égale à une grandeur finie; on peut donc
faire l'application du théorème précédent, ce qui permet d'obte-
nir une fonction qui jouit des propriétés exigées. L'on peut de
ceci conclure, en vertu du théorème du § XIII, que, lorsqu'en un
point isole la fonction peut devenir infiniment grande d'ordre n,
le nombre des constantes dont on peut disposer sera en général
égalàa«.
Représentons géométriquement (d'après le § XV), une fonc-
tion (V, d'une grandeur complexe z, variant à l'intérieur d'un do-
maine donné à deux dimensions; cette fonction fournil alors une
représentation conforme S, recouvrant le plan B, d'une surface
donnée T, recouvrant le plan A, la similitude étant conservée
y Google
4G riiEMlfiRR PARTIE. — JlfiMOFLIKS PARTIES l'.lT) llir\rAS\.
dans les plus petiLes parties, à l'exception de certains points iso-
lés. Les conditions que l'on a trouvées précédemment, suffi-
santes et nécessaires pour la détermination de la fonclion, sont
relatives soit à ses valeurs sur le contour, soit à ses valeurs aux
points de discontinuité. Elles se présentent donc (§XV) toutes
comme conditions pour la figuration du contour de S en donnant
pour chaque point du contour une équation de condition. Si cha-
cune de ces équations est relative seulement à un point d'enca-
drement, elles seront représentées par nu réseau de courbes, le
lieu géométrique de chaque point du contour étant formé par une
de ces courbes. Lorsque deux points du contour, dont l'un varie
d'une manière continue avec l'autre, sont soumis ensemble à deux
équations de condition, il existe par ce fait, entre deux parties du
contour, une relation de dépendance telle que, la situation de l'une
étant prise arbitrairement, la situation de l'autre en sera une con-
séquence. De même l'on obtiendra, pourd'autres formes des équa-
tions de condition, une interprétation géométrique analogue; mais
nous n'insisterons [)as davantage sur ce point.
§ XX.
L'introduction des grandeurs complexes dans les Mathéma-
tiques a son origine et son but immédiat dans la théorie de lois
de dépendance simples (') entre des grandeurs variables; lois ex-
primées par des opérations sur les grandeurs. En effet, si l'on
applique ces lois de dépendance dans un champ plus étendu, en
attribuant des valeurs complexes aux grandeurs variables aux-
quelles se rapportent ces lois, il se présente alors une harmonie
et une régularité qui sans cela restent cachées. Les cas où cette ex-
tension avait été faite forment jusqu'ici, il est vrai, un domaine
(') JSous regardons ici comme opérations élémentaires ; l'addition et la sous-
traction, la moltiplication et la division, l'intégration et ladilTérentiation; et une
loi de dépendance est pour nous d'autant plus simple qu'elle nécessite moins
d'opératioDS élémealaires. En elTet, toutes les fonctions, dont on s'est Èervi jus-
qu'ici dans l'analyse, peuvent Être ramenées à un nombre fini de ces opérations.
— ( Rlemaxn. )
y Google
FOSRTIOSS O'U.NE «RASDEIB VARI.IRLË COMPLEXE. 47
restreint; tous ces cas à peu près peuvent élre ramenés à ces lois
de dépendance entre deux grandeurs vai-iables où l'une esl soit
fonction algébrique de l'autre {c'est-à-dire lorsque entre les deux
a lieu nue équation algébrique), soil une fonction dont la dé-
rivée est une fonction algébrique ; mais presque tout le progrès
accompli ici a donné non seulement une l'orme plus simple, plus
expéditive aux résultats acquis sans l'aide des grandeurs com-
plexes, mais encore a ouvert aussi le chemin à de nouvelles dé-
couvertes; l'histoire des recberches relatives aux fonctions algé-
briques, circulaires ou exponenliellcs, elliptiques et abélîenncs
en offre les exemples.
Indiquons rapidement le nouveau progrès qui résulte de nos re-
cherches pour la théorie de pareilles fonctions.
Les méthodes dont on s'est servi jusqu'ici pour le traitement de
ces fonctions partent toujours du principe qui consiste à prendre
pour définition une expression de la fonction, sa valeur étant
ainsi donnée par c/ia^we valeur de son argument. Nos recherches
ont démontré que, par suite du caractère général d'une fonction
d'une grandeur complexe variable, une partie des éléments de dé-
termination sont, dans une déiinitîon de cette nature, une consé-
quence de la partie restante, et, à vrai dire, alors l'ensemble de
ces éléments est ici ramené à ceux qui sont nécessaires à la déter-
mination.
Cela simplifie essentiellement le traitement de la question.
Ainsi pour démontrer, par exemple, l'égalité de deux expressions
de la même fonction l'on devait autrefois les transformer l'une en
l'autre, c'est-à-dire faire voir qu'elles coïncidaient toutes deux
pour toute valeur de la grandeur variable; or, il suffit main-
tenant de démontrer qu'elles coïncident dans un domaine bien
plus restreint.
Une théorie de ces fonctions, basée sur les principes introduits
ici, établirait la figuration de la fonction (c'est-à-dire sa valeur
pour toute valeur de son argument), indépendamment d'une mé-
thode pour déterminer la fonction au moyen des opérations sur
les grandeurs; on parviendrait à la définition générale d'une fonc-
tion d'une grandeur variable complexe en ajoutant seulement les
caractères nécessaires pour déterminer la fonction particulière;
y Google
48 PREMIÈRE PARIEE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEHASN.
et c'est alors seulement que de cette théorie l'on passerait à l'é-
lude des différenies expressions dont la fonction est susceptible.
Le caractère individuel d'une classe de fonctions, qui sont ex-
primées d'une manière pareille à l'aide d'opérations sur les gran-
deurs, se présente alors pour ces fonctions sous forme des con-
ditions relatives au contour et aux discontinuités. Par exemple, si
le domaine de variabilité de la grandeur z recouvre simplement
ou multiplement le plan indéfini A tout entier, et si la fonction
n'admet des discontinuités qu'en des points isolés, et en ces points
seulement des infinis dont les ordres sont finis (pour z infini cette
grandeur elle-même, pour 3' fini la grandeur - — _ ^,- étant consi-
dérée comme un infini du premier ordre), alors la fonction est né-
cessairement une fonction algébrique et, réciproquement, toute
fonction algébrique satisfait à ces conditions.
Nous n'entrerons pas, pour cette fois, dans le développement de
celte théorie qui, suivant nos remarques, est destinée à jeter le
jour sur des lois de dépendance simples régies par des opérations
sur les grandeurs; en effet, nous laissons de côté l'étude de l'ex-
pression d'une fonction.
Pour la même raison, nous ne nous occuperons pas ici d'établir
la possibilité d'appliquer nos théorèmes, en les prenant pour prin-
cipes d'une théorie générale de ces lois de dépendance; il serait
alors nécessaire de démontrer que la conception de fonction d'une
grandeur variable complexe, que nous prenons ici pour point de
départ, coïncide complètement avec l'idée d'une dépendance ex-
primable par des opérations sur les grandeurs (') [7j,
(') Par dépendance esprimable par des opéraliom sur les grandeurs, nous en-
tendons toute dépendance réuie par un nombre linj ou inlinî des quatre opéra-
tions de calcul les plus simples, addition et soustraction, maltiplication et divi-
sion. L'eipression opérations sur les grandeurs (par opposition \ opération$ sur
les nombres) indique que dans de telles opérations de calcul la comme os urabilité
y Google
§XXI.
Pour rcclaircissemenl ilc nos ihéorcmes généraux il ne sera pus
sans utilité d'exposer en Jétail un cseniplc de leur application.
L'application indiquée dans le paragraphe précédent, bien qu'at-
teignant le but prochain envisagé dans la déduction des théorèmes,
n'est cependant encore que particulière. En eflel, lorsque la dé-
pendance est régie par an nombre fini de ces opérations sur les
grandeurs qui y sont regardées comme opérations élémentaires,
la fonction contient seulement un nombre fini de paramètres;
quant à la forme d'un système de conditions, relatives au contour
et aux discontinuités, indépendantes entre elles, et suffisant pour
déterminer la fonction, ce fait a pour conséquence que parmi ces
conditions i| ne peut s'en présenter aucunes susceptibles d'être
déterminées arbitrairement en chaque point le long d'une ligne.
Pour le but actuellement envisagé, il semble donc plus approprié
de choisir, non un exemple tendant à ces circonstances, mais beau-
coup plutôt un exemple où la fonction de la variable complexe
dépend d'une fonction arbitraire.
Pour faire saisir la question d'une manière nette et claire, nous
allons présenter cet exemple sous la forme géométrique dont on
a fait usage à la fin du § XIX. Il s'agit alors dans cet exemple de
rechercher la possibilité d'opérer une représentation connexe et
semblable en ses pins petites parties d'une surface donnée, repré-
sentation dont la forme est donnée ; nous entendons, en parlant
ainsi, que l'on donne la courbe du lieu géométrique de chaque
point d'encadrement de la représentation, la même courbe pour
tous ces points, et que l'on donne en outre le sens de la direction
de l'encadrement ainsi que les points de ramification. Nous nous
en tiendrons à la solution de ce problème au cas où, à chaque
point d'une surface, correspond un point imiq ue de l'autre, et où
les surfaces sont simplement connexes, cas où la solution est ren-
fermée dans le théorème suivant :
Deux surfaces planes, simplement connexes données, peuvent
toujours être rapportées l'une à l'autre, de telle sorte qu'à
y Google
50 l'IlLMlÈRE PARTIE. — «ÉlIOinKS PUBLIÉS PAR RIEMA^N.
chaque point de riine corresponde un point unique de Vautre
dont la position varie d'une manière continue avec celte du
premier, et de telle sorte que les plus petites parties correspon-
dantes des surfaces soient semblables ; de plus, pour vs point
de l'intérieur et pour rw point de l'encadrement de la surface,
les points correspondants de Vautre surface peuvent être don-
nés quelconques; mais alors la correspondance est déterminée
par cela même pour tous les points.
Lorsque deux, surfaces T et R sont rapportées sur une iroî-
sième S, de telle sorte qu'entre les plus petites parties corres-
pondantes de Tel S et de R et S il j ail similitude, par cela même
il existe une correspondance entre les surfaces T et R, où le
même fait a évidemment lieu.
Le problème de la représentation de deux surfaces quelconques
l'une sur l'autre, de telle sorte que la similitude soit conservée
dans leurs plus petites parties, est donc ramené à celui-ci : repré-
senter chaque surface quelconque sur une même surface déter-
minée de sorte qu'il y ait similitude en les plus petites parties.
Ainsi, pour démontrer notre théorème, si nous décrivons sur
le plan B, du point h'=:o comme centre, un cercle K. de rayon i,
il suffira seulement de démontrer ceci : une surface simplement
connexe quelconque T recouvrant A, peut être toujours repré-
sentée sur le cercle K d'une manière connexe, la similitude étant
conservée dans les plus petites parties, et cela d'une façon unique,
en opérant de telle sorte qu'au centre du cercle corresponde un
point donné quelconque Oo à l'intérieur deT, et à un point donné
quelconque de la circonférence nn point donné quelconque O'
sur l'encadrement de T.
Distinguons lesdésignations déterminées de la grandeur z et du
point Q relatives aux points Oo et O', en leur attribuant l'indice
ou l'accent correspondant, et décrivons sur T du point Oo comme
centre un cercle quelconque 6, qui ne s'élend pas jusqu'à l'enca-
drement de ï et ne renferme aucun point de ramification. Intro-
duisons des coordonnées polaires en posant ; — ;„ = re'r' ; l'on
aura, pour la fonction log(3 — ;SCTIO>S
conlinue, iiorniis au point O,,, où elle devient infinie. Quant à la
partie imaginaire, lorsque parmi les valeurs possibles de f l'on
ciioisit partout la valeur positive la plus petite, elle prend le long
du rayon où ;; — Sj, prend des valeurs réelles positives, d'un côté
la valeur o, de l'autre ai^; mais d'ailleurs en tous les autres points
elle varie d'une manière continue. Ce rajon peut être évidem-
menl remplacé par «ne ligne quelconque /menée du centre à la
circonférence, de telle sorte que la fonction log(^^3o), lorsque
le point O traverse cette ligne du bord négatif (c'est-à-dire où p
est négatif, § VIII) au bord positif, éprouve une brusque diminu-
tion de valeur 2Tzi: mais d'ailleurs elle varie avec la position de O
d'une manière continue sur le cercle tout entier.
Prenons maintenant la fonction complexe « + p i de x, y égale
dans le cercle© àlog(3 — :«); mais, en dehors du cercle, la ligne /
étant prolongée d'une manière quelconque jusqu'au contour deT,
choisissons-la comme il suit :
i" Sur la circonférence de 0, égale à log(5 ^ ;„). sur le con-
tour de T, imaginaire pure;
2° A la traversée du bord négatif au bord positif de la ligne /,
elle devra varierde — 2-i; mais, dans tout autre cas, pour une va-
riatioQ infiniment petite dn lieu, elle devra varier d'une grandeur
infiniment petite de même ordre; ces fixations i" et a" sont tou-
jours possibles.
Ceci posé, l'intégrale
/[(i-i)'-(ê-^gn-.
relativement à 0, aune valeur nulle; relativement à tonte la partie
restante de la surface T, elle a iine valeur finie. Par conséquent,
a + ^t par l'adjonction d'une fonction continue de a^, y, purement
imaginaire sur le contour et déterminée à un reste près constant
purement imaginaire, peut être transformée en une fonction
f ^ m -f- ni de z. La partie réelle m de cette fonction sera égale
à o sur le contour, à — oo au point Ou, et partout ailleurs sur T
elle variera d'une manière continue.
Pour chaque valeur a de m située entie o et — oo, la surface ï
est donc partagée par une ligne où m ^= a, d'une part, en parties
y Google
53 l'REmtîRE PARTIE, — (lÉJiOlRLS PUBLIÉS PAR ItlEMANN,
oà m <,a qui renferment à leur intérieur le point Ou et, d'autre
part, en parties où m > « dont l'encadrement est formé en partie
par le contour de T, en parue par des lignes oà m ^ a.
L'ordre de connexion de la surface T ou bien ne sera pas di-
minué par cette décomposition, ou bien le sera ; comme cet ordre
est égal à — i , la surface sera donc décomposée soit en deux mor-
ceaux d'ordres de connexion o et — i, soit en plus de deux
morceaux. Mais cette dernière circonstance est impossible, car,
dans un de ces morceaux an moins, la partie réelle m devrait être
partout finie et continue et constante en toutes les parties de
l'encadrement, et, par suite, devrait avoir soit une valeur con-
stante en une portion de surface, soit une valeur maxima ou bien
minima en un endroit quelconque, c'est-à-dire en un point ou le
long d'une ligne, ce qui est contraire au § XI, proposition III. Les
points où. m est constant forment, par conséquent, des lignes par-
tout simples, qui se ferment et qui forment chacune l'encadrement
d'un morceau renfermant le point Oo, et où ni décroit nécessai-
rement vers l'intérieur. Il s'ensuit que pour un circuit positif
(où s croît, d'après le § VIII) la grandeur n, tant qu'elle est con-
tinue, est toujours croissante, et, par conséquent, puisqu'elle
éprouve une variation brusque de — aiî (') seulement quand on
passe du Lord négatif au bord positif de la ligne l, elle sera alors
égale une fois à chaque valeur comprise entre o et an, abstrac-
tion faite d'un multiple de it..
Posons maintenant e'=w, e'"- et n seront alors les coordon-
nées polaires du point Q relativement au centre du cercle K pris
comme origine.
Mais l'ensemble des points Q forme évidemment une surface S
recouvrant K partout simplement. Le point Qo de celle-ci tombe
au centre du cercle, mais le point Q' peut, par l'entremise de
la constante dont on peut encore disposer dans la fonction n,
être porté en un point donné quelconque de la circonférence.
(') Puisque la ligne l mÈne d'un point n
rieuf, il faut, lorsqu'elle en coupe ptusienrs fois l'eiicadL'etneut, qu'elle trai
(le l'intérieur à l'eïtérieur une fois dt plus
somme des variations brusques de n pendant
csalà-2T. - (RiE.iiANy.)
yGoosle
FONCTIONS D USE GRANDELB VARIABLE (
Au cas OÙ le point 0^ est un point de ramification d'ordre (n — i
l'on arrive au but cherché par des conclusions tout analogues f
remplaçant seulement log (s — Zg) par - log(:7 — So), et le trait
ment ultérieur serait aisément complété à l'aide du § XIV.
L'extension complète des recherches du paragraphe précédent
au cas plus général où, à un point unique d'une surface, corres-
pondent plusieurs points de l'autre et où l'on ne présuppose pas
que les surfaces aient une connexion simple, sera laissée de côté
ici, d'autant plus qu'au point de vue géométrique toute notre
étude eût pu être présentée sous forme plus générale. La restric-
tion de nos considérations à des surfaces planes, unies sauf ex-
ception en des points isolés, n'est pas essentielle. Bien plus, le
problème de la représentation d'une surface donnée quelconque
sur une autre donnée quelconque, en conservant la similitude
dans les plus petites parties, peut être traité d'une manière tout
analogue. Nous nous contenterons, à ce sujet, de renvoyer le
lecteiir aux deu'ï Mémoires de Gauss, celui cité au § III et celui
intitule : Disqiiîsidones générales circa superficies curvas
(article 13).
yGoosle
PREMjrRK TAliTiE. -
TABLE DES MATIERES i'
Une grandeur variable compleie iv = u+ vi est dite une fonclion
d'une autre grandeur variable s = j; +j-i lorsqu'elle varie avec
elle, de telle sorte que ^ est indépendant de rfs. Cette défini-
tion est motivée par la remarque que ce tait a toujours lieu lorsque
la dépendance de la grandeur mj de ^ est donnée par une expres-
Les valeurs des grandeurs variables complexes s elw sont repré-
sentées par les points O et Q de deux plans A et B, et leur dépen-
dance mutaelle par la représentation d'un des plans sur l'autre.
petites pariicE
La condition que -j— si
:e est telle que -j^ est indépendan
iriginal et sa représentation simili
= (§i), il j
e. It. pi..
indépendant de dz est identique
On en déduit
'''± H- ^ = ^ -H !^ =. o
ôx' Oy' ' dx' ày''
Comme champ d'évolution du point O on substitue au plan A une
surface T ayant un encadrement et recouvrant ce plan. Points
de ramification de cette surface
Connexion d'une surface , ,
L'intégrale f{j- +—) rfT,relative à toute la surface T,est égale
à — AxcosS + YcosTi) ds, prise autourdc tout l'encadrement,
lorsque X et Y sont des fonctions quelconques de s:, y continues
en tous les points de T
Introduction des Coordonnées s et/n du point O relativement à une
ligne quelconque. La dépendance mutuelle des signes de ds et dp
est fixée de telle sorte que l'on ait^ = ''■^..
ôs '
dp--
yGoosle
FONCTioss D uni; (inAsnELit vaiiiahle cowplrïe.
de surface, -^ + -^ —■ o
Conditions sous iesquelles à l'intéiieur d'une sut-facc T, rccouïcanL
simplement A, une fonction «, qui, en général, satisfait à l'équa-
.. d-u _ d'u _ „.,
e et continue.
e toutes ses dérivées, partout
dT, reiat
XI. Propriétés d'une telle fonction :!5
XII. Conditions sous lesquelles à l'intérieur d'une surface ï, simplement
connexe recouvrant simplement A, une fonction w de a est, ainsi
que toutes ses dériïées, partout finie et continue ■i-^
XIII. Discontinuités d'une pareille fonction en un point intérieur '!(|
XIV. Extension des théorcmes des g XII et XIII aux points a l'intérieur
d'une surface plane quelconque 'io
XV. Propriétés générales de ia représentation d'une surface T recouvrant
le pian A sur une surface S recouvrant le plan lî, représentation
qui représente géométriquement les valeurs d'une fonction ivde^. 33
XV,. .,..,„,./[(*-|)V(J.£)-]
la surface T, prend toujours, lorsque l'on adjoint ù i des fonc-
tions continues ou discontinues seulement en des points isolés et
qui sont égales à zéro sur le contour, une valeur minima pour
une de ces fonctions, lorsque l'on exclut des discontinuités qui
peuvent être détruites par modification en des points isolés
XVII. Démonstration, à l'aide de la méthode des limites, d'un théorème
admis dans le paragraphe précédent
XVJII. Lorsque sur une surface plane connexe quelconque ï, décomposée
par des sections transverses en une surface simplement connexe
T', l'on donne une fonction a + pi de a:, y pour laquelle l'in-
relative à toute la surface, est finie, cette fonction peut toujot;
et cela d'u
de 3 par l'adjonci
ditlons suivantes
nique, être transformée en une fonction
satisfait aux con-
e contour, v est donnée ei
ms de p. sur T, de v
iulement de telle
/[(i)'-(iy]-" /[(£)■-(»)'] "'■•
y Google
PREMIÈRE PiRTIE. — 11É3I01HES PUBLIÉS I
Évaluaiion comparative des conditions nécessaires et suffisantes
pour la dÉtermination d'une fonction d'un argument complexe
dans un domaine de grandeurs donnÉ ^3
Le mode de détermination d'une fonction par des opérations sur
les grandeurs, usité antérieurement, renferme des parties su-
perflues. Les considérations traitées ici réduisent l'ensemble des
agrégats de condition d'une fonction à leur quantité néces-
saire ^6
Deux surfaces données, simplement conneies, peuvent toujours être
rapportées l'une à l'autre, de telle sorte qu'à chaque point de
l'une corresponde un point unique de l'autre, dont la position
varie d'une manière continue avec celle du premier et de telle
sorte que les plus petites parties correspondantes soient sem-
blables. Four un point intérieur et un point de l'encadrement
d'une des surfaces, les poinls correspondants de l'autre peuvent
être donnés quelconques; par cela même la correspondance est
déterminée pour tous les points 49
. Observations finales 5Î
NOTES.
[1] (p. 1). On a trouvé dans les manuscrits de Rie
vante, qui se rapporte à ce passage :
« Par l'espressioa : la grandeur w varie d'
entre les limites z ~ a, z — b, nous entendons ceci : Dans cet intervalle,
à toute variation infiniment petite de z correspond une variation infini-
ment petite de iv ; ou encore, en s'esprimant d'une manière plus détaillée :
pour une grandeur donnée quelconque s, l'on peut toujours déterminer la
grandeur a, de telle sorte que dans un intervalle relatif à a, plus petit que a,
la différence entre deux valeurs dé w ne soit jamais plus grande que e. La
continuité d'une fonction, même lorsque ce point n'est pas e\p
énoncé, entraine d'après cela ce fait : la fonction est toujours fi
[2] (p. 7), S'il n'y a pas une inadvertance, en cet endroit, c'ei
mann aura fait usage de l'expression de gauche à droite dans
fication contraire à celle emplojée d'habitude, ofi le sens d'un .
défini par la manière dont le verrait décrit un observateur placé
et suivant des jeux le point décrivant le circuit.
ane signi-
u centre
[3j (p. 20 ). L'exemple suivant peut s
sage, exprime d'une manière un peu o\y.
à réclaircissemeut de ce pas-
y Google
1) USE GR*>DEUH 1
Dans la figure ci-dessous T est une surface tiiplem
la première section cransvcrse 171, el (cd) la deuxiè
Nous avons ici à distinguer trois différences de valeurs distinctes con-
stantes de la fonction
Désignons ces différences relaiivemeni à la partie (ac) par A, à la partie
(c6) par B et à la partie {cd) par G. Si l'on décrit d'abord (crf), C pourra
avoir ici une valeur quelconque; si l'on décrit ensuite alors (ôc), B de
même peut avoir ici encore une valeur quelconque. Mats pour (ac), d'après
cela, la différence de valeurs constante A de la fonction Z est complète-
ment déterminée; ce sera (les signes étant déterminés comme il convient)
A = B-i-G. En général, on conclut d'une manière analogue le résultat
suivant : Chaque fois que, pendant le cheminement en sens rétrograde sur
le système des sections transverses, l'on arrive à un point où une section
transverse déjà décrite prend son origine, la variation qu'éprouve la diffé-
rence de valeurs constante de la fonction est alors complètement déter-
minée.
[4] (p. 23). L'on obtient (a formule
./(■•|:-"'l)
on prend u! — i, car alors, prise relativement à l'encadrement d'une por-
tion de surface où u satisfait aux hypothèses du § X, elle s'évanouit.
[o] (p. 36). La méthode de démonstration du § XVIa été plus tard désigné.;
par fiiemann {Théorie des fonctions abéliennes, § III, IV des Prélimi-
y Google
58 rREHIÈlîE PABTIr. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR BIEMANN.
naires) sous le nom rfe Principe de Diricklet (d'après les Leçons de Di-
richlet). Gauss aussi a appliqué de pareilles conclusions (Théorèmes géné-
raux relatifs aus forces d'attraction et de répulsion qui s'exercent en raison
inverse du carré de la distance, Œuvres, t. V). Dans ces derniers temps
la validité de ce mode de déduction a été combattue; en particulier et avec
raison, l'évidence de l'existence d'un minimum pour l'intégrale Si a été
niée. Mais l'exactitude du théorème lui-même, pour la démonstration du-
quel cette mélliode doit servir, théorème qui prête aux travaux de Rie-
mann sur la théorie des fonctions leur caractère particulièrement simple
et général, a été démontrée par de nouvelles recherches reposant sur
d'autres principes. [Voir en particulier les travaux sur ces sujets de H. -A,
Schwari {Monatsberichte der Berliner Akad., oct. 1870. — Journal de
Creile, tome 74; et Gesammelte Mathematiscke Abhaiidlungen,^l ceux
de C. Neumann {Recherches sur le potentiel logarithmique et le poten-
tiel de Newton; Leipzig, 1877, — Leçons sur la Théorie riemannienne
des Intégrales abéliennes, a° édit. ; Leipzig, 1884. )]
[6] (p. 40), Les remarques suivantes sont tirées, presque mot pour mot,
des brouillons, esquisses du § XVII, trouvés dans les papiers de Ricmatin
et écrits de sa main; ils serviront en partie à éclaircir, en partie à com-
pléter cette recherche.
Des valeurs P| et Pj l'une peut être aussi prise partout = o, lorsque seu-
lement T' a une étendue finie, et de cette façon notre démonstration sera
applicable au cas où la discontinuité se présenterait le long d'une partie
de l'encadrement ou aurait lieu par l'elfet d'une modification des valeurs
de 7 le long d'une ligne à l'intérieur. On n'a pas attribué directement à m.
la valeur la plus petite de (f ,— 71)' dans l'intervalle assigne de/ii et /),,
afin que la démonstration soit aussi applicable au cas oii -f admettrait uno
infinité de maxima et minima. par exemple au cas où 7 aurait dans le voi-
sinage de la ligne de discontinuité la valeur sin - -
D'une manière pareille l'on peut faire voir que L croît au delà de toutes
limites, lorsque i tend indéfiniment vers une fonction -y qui, au point 0',
possède une discontinuité telle qu'en une partie d'une circonférence dé-
crite du point O' comme centre avec un rayon p, p -J-i p -, tendraient
pour p infiniment petit vers une limite finie ou seraient infinis.
Dans ce cas, l'on peut assigner à p une valeur R telle qu'au-dessous de
■.rm<
■ns la plus petite valeur de cette grandeur dans cet intervalle par a,
contribution apportée à L par une couronne circulaire comprise
y Google
FOSCTIOSS B ISE GRAMIEUR VAilEADLE COlirLESK. 01)
et, par suite, lorsque J'on prenii r = Re ", elle sera > C.
Par conséquent alors, si l'on choisit pour encadrement de T' un cercle oi'i
_C
p< Re ", la partie de L qui provient du reste de T et, par suite, I. lui-
même, sera > C, quel que soit X à l'intérieur du cercle.
[Cette étude se rapporte, il est vrai, d'abord à un point qui n'est ni point
de ramification ni point de l'encadrement; mais elle n'éprouve de modi-
fication essentielle que pour un point de l'encadrement oii la surface au-
rait un point saillant, c'est-à-dire où l'encadrement aurait un point de re-
broussement. Mais, dans ce dernier cas aussi, la détermination d'un ordre
de discontinuité, auquel ne peut atteindre 1, repose sur les mêmes prin-
cipes ; nous nous contentons donc de l'indiquer.]
Lorsque la portion de surface où 1 et y sont différentes devient infini-
ment petite, T' lui-même, dans le cas d'une ligne de discontinuité, la partie
restante de T, dans le cas d'un point de discontinuité, fourniront donc à
L une contribution infinie, et notre affirmation est ainsi justifiée lorsque
la discontinuité atteint l'ordre supposé. Sa légitimité en ces circonstances
nous suffit ; en effet, pour des discontinuités d'ordre inférieur elle n'aurait
plus lieu, comme, par exemple, lorsque pour la distance p entre le point
de discontinuité et le point 0, l'on a
^(..5)' ..
1^ < „ ■
Noua ajouterons donc la restriction suivante à la première partie du
théorème du g XVI : Ou bien l'intégrale Û, où l'on a posé lo = a -1- X, pos-
sède un minimum pour une des fonctions 1, ou bien, pendant que û tend
vers sa plus petite valeur limite, X n'admet une discontinuité qu'en des
points isolés et telle que l'ordre de —,— , lorsqu'ils sont infinis, n'at-
teigne pas l'unité.
Une discontinuité de la fonction lu, qui peut être détruite par modifica-
tion de valeur en un point, doit se présenter, par exemple, lorsqu'on sup-
pose qu'il existe en un endroit quelconque sur la surface un trou, c'est-â-dire
un point d'encadrement isolé où l'on devrait donc supposer X = o.
[7] (p, 48). Des recherches plus modernesont fait voir que
des expressions analytiques s'exerce même bien au delà de ce que !'(
posait d'après ces mots de Riemann. A ce sujet, Seidel le premier a
de remarquables exemples {Journat de Crelle, t. 73, p. 279); ains
indiqué des expressions analytiques qui dépendent de z et qui d
y Google
6o PUEIILÈRE PARTin. — ÎIÉllOlilES l'LIlI.lfiS F'AR !tlE)Il>>".
cercle sont égales à une fonction quelconque de s, et en dehors du cercle
sont égales à zéro; ou encore qui partout, à l'exception du contour d'un
cercle, sont nulles et qui sur le contour sont égales à i. Si l'on admet les
intégrales définies, l'on peut aller bien plus loin encore et, par exemple,
représenter x ou y, ou ^^j'-i-j^, comme fonction de 3 = 37-1-/1'.
Weierstrass [Sur la Théorie des/onctions (MonatsberîchCe d. Bertiner
Akad., août 1880) et aussi dans la Collection, de Mémoires sur la théorie
des fonctions ; Berlin, 1886] a fait voir comment l'on peut trouver des sé-
ries infinies, dont les termes sont des fonctions rationnelles de s et qui,
dans un nombre quelconque de domaines de la variable z différents, re-
présentent des fonctions différentes quelconques données de ^.
y Google
CONTRIBUTION
THÉORIE DES FONCTIONS
nEPRÉSGNTABLtS PAR LA SÉUIB DB OAIISS
e la Société Royale des Sciences de Gôttingue, t.
Œuvres de Riemann, a' édit-, p. 67; 1895.)
La série de Gauss F(^-i 3i "p ^)i considérée comme fonction
de son qualrième éléments, ne représente celte fonction que tant
qtie le module de x ne surpasse pas l'imité. Pour faire l'étude de
celte fonction dans toute son étendue, c'est-à-dire quand la varia-
bilité de cet argument x n'est pas limitée, il s'est, dans les tra-
vaux antérieurs, présenté deux voies de recherches. L'on peut ainsi
prendre comme point de départ soit une équation différentielle
linéaire, à laquelle elle satisfait, soit son expression par des inté-
grales définies.
Chacune de ces méthodes a des avantages qui lui sont propres;
cependant jusqu'ici, dans le fécond Mémoire de Kuminer, paru
dans le tome XV du Journal de Crelle, et de même dans les
Recherches de Gauss , qui n'ont pas encore paru ('), la première
méthode seule est employée, principalement parce que le calcul
relatif aux intégrales définies entre des limites complexes n'était
pas encore suffisamment avancé, ou hien encore parce que Ton
(') Œuvres de Gaitss, t. Ill, p. 307; iSSl - {-VVeisei.,)
y Google
62 PREMIÈRE TATITIE. — MÉMOIRES PlKLIÉS PAR lilElHS>,
ne pouvait le supposer bien connu par un nombre suffisant de
lecLeurs.
Dans le Mémoire siiivanl, je Iraile c!e eelle transcendante
d'après une nouvelle méthode qui reste essentiellement applicable
à toute fonction qui satisfait à une équation didérentielle linéaire
à coefficients algébriques. Avec son aide, les résultats trouvés anté-
rieurement en partie par des calculs assez pénibles se déduisent
presque directement de la définition; c'est ce que nous faisons
dans la partie ici publiée de ce Mémoire, principalement afin de
donner, en vue des nombreuses applications de celte fonction aux
recherches de la Physique etde l'Astronomie, un résumé commode
de toutes ses représentations possibles. Il est nécessaire d'exposer
en préHniioaires quelques remarques générales relatives au traite-
ment d'une fonction lors de la variabilité illimitée de son argu-
Considérant la valeur de la grandeur variable indépendante
x = y+ zi,en\ue d'une interprétation plus commode de sa varia-
bilité, comme étant représentée par un point d'un plan indéfini
dont les coordonnées rectangulaires sont^j' et j:, et supposant que
la fonction icsoit donnée en une partie duditplan, l'on peut alors,
d'après un théorème facile à démontrer, prolonger la fonction au
delà de ce domaine, conformément à l'équation -— = i -r- > etcela
d'une seule et unique manière.
Ce prolongement, cela s'entend de soi, ne doit pas avoir lieu le
long de pures lignes, car l'on ne pourrait appliquer à une telle
question une équation aux dérivées partielles, mais doit être ef-
fectué sur des bandes de surface de largeur finie. Quant aux
fonctions qui sont, ainsi que celle que nous allons traiter, a mul-
tiformes )), ou qui, pour une même valeurde x, peuvent admettre
plusieurs valeurs selon le chemin le long duquel est effectué le
prolongement, il existe pour elles certains points du plan des x
autour desquels la fonction se prolonge en une autre comme, par
exemple, le point a pour les fonctions \/x — a, log{a^ — a),
(x — a)V-j jA désignant un nombre qui n'est pas entier.
Si l'on conçoit une ligne quelconque tirée de ce point «, la
valeiir de la fonction peut être choisie dans le voisinage de a telle,
qu'en dehors de la ligne susdite, elle varie partout d'une manière
y Google
TEIÉIIRIE 1H;S [■0>CT10\S REPRÉSESTABLES PAR I.A SÉR[E DE (lAUSS. C3
oontiniie, mais telle que, sur chacun des deux Lords de cette ligne,
elle prenne des valeurs différentes, en sorte que le prolongemenl
de la fonction à travers celte ligne donne sur l'autre Lord une
fonction difiereole de celle qui se présentait auparavant.
Pour simplifier le langage, les différents prolongements d'une
fonction pour la même partie du plan des a; seront dits les branches
de la fonction el une valeur de x, autour de laquelle une Lranche
se prolonge en une autre, sera désignée sous le nom de valeiif
de ramification; pour une'valeur où n'a Heu aucune ramification
la fonction est dite uniforme ou monodrome.
Je désigne pai
une fonction de x qui satisfait aux conditions suivantes :
i" Elle est pour toutes les valeurs de x, Lormis «, h, c, uni-
forme et finie ;
2" Entre trois LrancLcs quelconques P', P", P" de cette fonc-
tion a toujours lieu une équation linéaire homogène à coefficients
constants
3" La fonction peut se mettre sous les formes
CaF'«' ■+- Ca^P'^'', C3 P'?' -+■ Cfs-Ptp'', c^P'T' -4- Cj-P'-ï'',
OÙ Ca. i^ï', . ■ -, Cf désignent des constantes, et cela de telle sorte
que, pour jr=«,
restent uniformes et ne deviennent ni nulles, ni infniics. et qu'il
en soil de même, pour x = 6, de
yGoosle
64 PUEMIÈnE PARTIE, — JlÉHOIRliS PUBLIÉS PÀli
et, pour ^ ^ c, de
piï'(.^-crv, vrHx~c)-r.
RclativcmcnL aii\ six. grandeurs a, a', . . . , "
c des dîfTéreaces
n'osl un nombre enNcr et, du plu5, que l'on a pour la somme de
ces grandeurs
La variété de fonctions qui reraplissenl ces trois conditions reste
pour le moment indéterminée; nous la déterminerons dans le
cours de notre étude (§ IV).
l'our simplifier le langage, je nommerai x la variable \ a, b, c les
première, deuxième, troisième valeurs de ramification, et a, 5.';
P, |5'; v, Y les premier, deuxième et troisième couples d'expo-
sants de la fonction P.
§ n.
En premier lieu, quelques conséquences évidentes de la défi-
Dans la fonction
les trois premières lignes verticales peuvent être échangées entre
elles d'une manière quelconque, et de même a et a', 3 et 'i',
Y et y'. L'on a ensuite
,.1: : ; .LpSrrr.i
lorsque l'on prend pour x' une expression rationnelle du premier
degré en x qui, pour œ = a, h, c, prend les valeurs a', b' , c'.
y Google
TIIÉORIR DES FO.NCnOPiS IlEPRÉSIiNTABLES PAR LA SÉRIK DE GAUSS. 65
La fonction
forme à laquelle, par suite, peuvent se ramener toutes les fonc-
tions P à mêmes a, a', . . ., y', je la désignerai, pour abréger
récriture, simplement par
p ' " !* ■' » I
i »' ?■ Y' f
Dans une telle fonction, parmi les grandeurs a, a'; ,3, P'; ■;, y';
l'on peut intervertir les éléments de chaque couple, et l'on peut
aussi échanger entre eus, d'une manière quelconque, les trois cou-
ples de grandeurs lorsque l'on a seulement soin, dans la fonction P
ainsi obtenue, de substituer à la variable une fonction rationnelle
de premier degré en x qui, pour les valeurs de x correspondant
aux premier, second et troisième couples d'exposants de cette
fonction, prend respectivement les valeurs o, », i .
L'on obtient de celte manière la fonction
I .' ?■ ■,' r
exprimée par des fonctions P aux variables respectives x., i — x.
-, \^ -■> -'^^-> -^— et aux mêmes exposants, mais rangés en
un ordre différent.
Comme conséquence de la définition, on a de plus
et, par conséquent, aussi
A l'aide de cette transformation, deux exposants de couples
différents peuvent prendre des valeurs données quelconques, et
y Google
66 l'RESlIÈIlE l'AliriE. — MftMOIRES PUBLIÉS PAK HIEMANN.
comme valeurs des exposants l'on peut introduire ainsi, puisque
l'on a la condilion a + a'-|-;î-l-^' + y + y'= i, toutes autres
valeurs pour lesquelles les trois différences a — a', ^ — T, y — y'
restent les mêmes. En ayant égard à ce fait, je désignerai plus
tard, pour faciliter la discussion, par
toutes les fonctions renfermées sous la forme
§ ni.
11 est maintenant, avant toutes choses, nécessaire d'étudier
d'une manière plus détaillée la marche de la fonction.
A cet effet, concevons une ligne /, qui se ferme en revenant
sur elle-même, passant par tous les points de ramiticallon de la
fonction, et qui partage l'ensemble de toutes les valeurs com-
plexes en deux domaines séparés de grandeurs.
A l'intérieur de chacun de ces derniers, chaque branche de la
fonction aura une marche continue et séparée des autres branches ;
mais le long de la ligne de contour commune auront lieu, entre
les branches de l'un et de l'autre domaine, des relations différentes
en des portions d'encadrement différentes. En vue d'une représen-
tation plus commode de ces relations, je désignerai les expressions
linéaires /*ï -H î«) rt + su, formées des grandeurs /, u à l'aide du
système de coefficients S = ('^'^Vpar(S)((, h). De plus, par
analogie avec la désignation, proposée par Gauss, àhinité posi-
tive latérale pour +/, l'on regardera comme côté positif, relati-
vement à une direction donnée, celui qui est situé par rapport à
cette direction comme -1- i l'est par rapport à i {c'esl-à-dire, sur
la gauche, dans la méthode habituelle de représentation des gran-
deurs complexes),
Aimix décrit un circuit positif autour d'une valeur de ra-
mification a, lorsqu'il décrit le contour total d'un domaine de
y Google
TUÉOniE DES FOXCriûKS REPnÉSESTABLES PAR LA SÉRIE DE GAUSS. 67
grandeurs contenant celte valeur de ramification et nulle autre
dans une direction située positivement par rapport à la direction
qui va de l'intérieur à l'extérieur du domaine.
Supposons alors que la ligne l passe, dans cet ordre respcclif,
par les points x^=c, x = b, x =:a, et, dans le domaine qui est
situé du côté positif de /, soient P', P" deux branches de la fonc-
tion P n'ayant pas entre elles im rapport constant.
Toute autre branche P"', puisque dans l'équation
c'I"-i-c"P"-i-c"'P™=o,
qui a lieu en vertu des hypolhèses, c'" ne peut s'évanouir, peut
alors s'exprimer linéairement en P' et P" à l'aide de coefficients
constants.
Si l'on suppose alors que P', I*" soient respectivement trans-
formés par l'effet d'un circuit positif de la grandeur x autour
de a en (A) (F, F'), autour de i en (B) (F, P"), autour de c en
(C)(P', P"), la périodicité de la fonction sera complètement dé-
terminée par les coefficients des systèmes (A), (B), (C).
Mais entre ceux-ci il existe encore des relations.
En effet, lorsque x décrit le bord négatif de la ligne /, les
fonctions P', F' doivent reprendre leurs valeurs primitives, puisque
le chemin décrit dans le sens négatif forme l'encadrement total
d'un domaine de grandeurs à l'intérieur duquel ces fonctions sont
partout uniformes. Or, cela revient à faire marcher la variable ^
de l'une des valeurs c, b, a jusqu'à la suivante sur le bord positif
et à décrire chaque fois ensuite un circuit positif autour de celle
valeur; ceci a pour conséquence de transformer successivement
(F, P") en (C)(F, F'), (C) (B) (F, P") et enfin en (C) (B) (A) (P', V") ;
on a par conséquent
(0 (C)(1S)(A)^(;| ^j,
équation qui fournit quatre équations de condilion entre les douze
coefficients de A, B, C.
Dans la discussion de ces équations de condition, je m'en tien-
drai, pour fixer tes idées, à la considération de la fonction
'(:•?• 3, ^>
y Google
phemière partie. — méhoiiies publiés
i-dlrc au cas où l'on a
ce qui n'influe pas essentiellement sur la généralité des résultats,
et je choisis comme ligne qui doit passer par i, , o la ligne des
valeurs réelles qui, pour traverser les points c, b, a dans l'ordre
indiqué, doit être parcourue de — oo à + oo.
A l'intérieur du domaine situé du côté positif de cette ligne,
et renfermant les valeurs complexes à termes imaginaires positifs,
les parties de la fonction P caractérisées précédemment, c'est-
à-dire les grandeurs P", P''', P^, P^', P''', P""^, sont alors des fonctions
uniformes de x parfaitement déterminées à des facteurs constants
près qui dépendent du choix des grandeurs <;„, Ca', ■ ■ . . cy-
Les fonctions P*, P" , par l'effet d'un circuit positif décrit par
la grandeur x autour de o, deviennent ?"«"""', P" e" '"' ; de même,
lors d'un circuit positif de cette grandeur autour de oo, les fonc-
tions PP, P^' deviennent P^e^'"', P^'e^'*™; et lors d'un circuit
positif autour de i, les fonctions P''', P"'' deviennent P'^'e^'"',
Si l'on désigne par P' la valeur que prend P par l'effet d'un
circuit positif décrit par vautour de o, lorsque P = CaP^ + CjP^ ,
l'on aura
Ces expressions de P et P' ont un déterminant différent de o,
puisque par hypothèse a — a' n'est pas un nombre entier et, par
suite, inversement, P*, P^' peuvent s'exprimer linéairement en P,
P avec des coefficients constants et, par conséquent aussi, en
P^ P^'; P^, P^'.
Si l'on pose maintenant
P' ^ a„ P^ 4- ctg.P^' = 5-j.pï -1- ttj.P'î",
p-f'- a' p? -1. a' P^' - a' PT -(- a' pl^'
et si l'on écrit pour abréger
y Google
THÉOHIB DES FONCTIONS REPRËSENTABLES PAB LA SÉRIE DE GÂtlSS. 69
el si Ton désigne aussi les substitutions inverses de (b) et de (c)
respectivement par (&)"' et {c)~\ l'on obtiendra pour les fonc-
tions (P^, P>') les substitutions suivantes :
(A) =
* ^
Del'équation(C)(B){A)= ( ' "1 l'on conclut d'abord, puisque
le déterminant d'une substitution composée est égal au produit des
déterminants des substitutions qui la composent,
1 = Dct.(A)DÉt.(B)Dét.(G)
= ^<^-*-^'^^*?'+'!n''''^- i)ét.(b)Déi.{b)-i Déi.(c)D6t.{c)-\
c'est-à-dire, puisque T>ét.(b)'Dél.{b)-' = i et Dét. (c) Dét. (c)"' = i ,
(2) a -(- a'4- p 4- p'-f-'f-i- y'= nombre entier;
résultat avec lequel est compatible l'hypothèse faite précédem-
ment que la somme de ces exposants est égale à Tunité.
Les trois relations restantes, comprises dans l'égalité
(G)(B)(A)^(^'_'),
fournissent trois conditions pour (i) et (c), que l'on peut obtenir
plus aisément comme il suit :
Quand a; décrit un circuit négatif, d'abord autour de o, puis
autour de 00, le chemin ainsi formé revient simplement à un cir-
cuit positif décrit autour de i . La valeur que prend de cette ma-
nière P" est par conséquent égale à
Si l'on multiplie celte équation par un facteur arbitraire e~°^'
et l'équation
y Google
70 PREMIÈRE PARTIE. MÉMOIRES PCBLIËS PAR RIEMAAN.
par C""', l'on oblient, après suppression d'un facteur coiiiTimn,
D'une manière toute pareille l'on a aussi, en remplaçant par-
tout a par «', l'équation suivante, renfermant la grandeur arbi-
traire cr,
«^ sin(^ + a'H- |i)TTe-"'+P"''l'P+ =;;,, sm(=+ a'+ p')7:e-"'+P'""'pE''.
Si l'on débarrasse les deux équations de l'une des fonctions, par
exemple de P'' , en déterminant a- convenablement, les équations
résultantes ne peuvent différer que par facteur général constant,
puisque —ô-. n'est pas égal à une constante. Cette élimination de
P^ nous donne, par conséquent,
et l'élimination toute pareille de P"^ nous donne
^'> «V "psin("'+P + -f)t^-«'™^ ap,sin(«'-Hfi'^-Y)T.e->'™'
ce qui constitue les quatre relations cliercliées. L'on en tire les
rapports des quotients -Çr -i- ' -?> -?-■ L'égalité des deux valeurs
"î* ""' "r "t'
de -^ : -r tirées des deuxième et quatrième relations se recon-
naît aisément comme conséquence de a4-ï-'+ p-\- p'+'f + f'^ i
à l'aide de l'Identité sin5-= sin([ — s)-.
par l'une d'elles, par exemple par -, et les trois grandeurs cl'b-,
Kj., a'y, le sont à l'aide des cinq antres ap, a'^, ap, a.y, ay. Mais ces
y Google
THËOBIE DES FONCTIO.VS BEPRÉSENTAfiLES PAR lA SÉRIE DE GAUSS. 71
cinq grandeurs dépendent, lorsque la foncûon P est donnée, des
facteurs encore arbitraires contenus dans P", P^ , P , P'^ , P^, P^ ,
011 plutôt de leurs rapports, et elles peuvent, par une détermina-
tion convenable de ces facteurs, prendre toutes les valeurs finies
possibles [1].
La remarque que nous venons de faire ouvre la voie à ce tliéo-
rème que, dans deux fonctions P à exposants égaux les éléments
qui appartiennent aux mêmes exposants ne diffèrent que par un
facteur constant.
En effet, si P) est une fonction aux mêmes exposants que P, on
peut donner aux cinq grandeurs ap, ag', a^, Oy- et a^ les mêmes
valeurs pour les deux fonctions, et alors les grandeurs aji., ctp œj.
auront aussi les mêmes valeurs pour les deux. On a donc simul-
(p^p^')^fi)(p^Ff') = (c)(p■^,K)
et
(pf,pf)-(;')(pf,pf) = (c)(pï,py),
(p'l>;'"_P^'PÎ')=Dùi.{ï.)(pî^pf — pf'pf) = DéL.(e)(P"''py-Pl"p|).
De ces trois expressions, la première, multipliée par œ~'-'~'^',
reste évidemment uniforme et finie pour ar^o; il en est de
même de la deuxième, multipliée par a;?+3'= .î,'-='-a'-ï-ï'+' pour
x = 'x; de même de la troisième, multipliée par (i — 37)~t~ï',
poura::=i, et il en est de même pour toutes les Irois expres-
sions, pour toutes les valeurs de x autres que o, a;, i ; par suite
est une fonction partout continue et uniforme; c'est, par con-
séquent, une constante. Elle est enfin = u pour a? ^ co et, par
suite, elle doit être partout = o.
y Google
3 l'IiEHIÈRE PAIITEE, — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIE.MASN.
L'on Cil conclut
La fonction —}- est donc nniforme; elle doit en outre être par-
pi > F
tout finie, et, par conséquent, être égale à une constante, ce qui
reste à démontrer ; la démonstration sera obtenue si l'on fait voir
que P et P ne peuvent s'évanouir ensemble pour une valeur de x
différente de o, i, oo.
Pour y arriver, l'on remarquera que l'expression
et que, par conséquent, pour x^o, x,, i elle sera respectivement
infiniment petite des ordres
mais partout ailleurs restera continue et uniforme, de sorte que
(''■^■-
"'(i-^y
rT-r+
est une fonction partout continue et uniforme et, par suite, a une
valeur constante. Cette valeur constante de cette fonction est néces-
sairement différente deo, sinon l'on aurait logP* — '"gP" = const.
et, par suite, a = -j.', contrairement à l'hypothèse.
Cette fonction devrait être nulle si, pour une valeur de x diffé-
rente de o, I , co, les fonctions P", P" s'évanouissaient en même
dP" f/P"' j. - . j r ■ ■,■
temps, car—; — , — ; — ,■ comme dérivées de lonctions unilormes et
' dx dx
continues, ne peuvent devenir infinies.
Par conséquent, P" et P" ne deviennent en même temps égales
y Google
THÉORIE DES FOMCTIONS REPRÉSESTiBLES PAR LA SÉKIE DE GAUSS. "ji
à zéro pour aucune valeur de x différente de o, i , os, et la fonc-
tion uniforme
P f _ Pf ■ _ P^ _ I^' _ Pj _ Pï '
p^ - pK' ~ pfi ^ pfi' ^ pï ~ pT'
est partout finie et, par conséquent, constante. c. q- f. n.
Il résulte du théorème que Ton vient de démontrer qu'à i'aide
de deux branclies d'une fonction P, dont le quotient n'est pas
constant, l'on peut exprimer linéairement avec des coefficients
constants toute autre fonction P aux mêmes exposants, et qu'en
vertu des propriétés proposées dans le § I pour définir la fonction,
celle-ci est complètement déterminée, à deux constantes près,
qu'elle renferme linéairement. Ces constantes seront trouvées en
chaque cas très aisément, à l'aide des valeurs de la fonction pour
des valeurs spéciales de la variable, et la manière la plus com-
mode sera d'égaler la variable à une valeur de ramification.
La question de savoir s'il existe toujours une fonction qui rem-
plit les conditions du § I reste encore, il est vrai, sans réponse;
mais elle sera résolue plus tard en donnant une représentation
effective de la fonction à l'aide d'intégrales définies et de séries
hypergéomé triques, et ne nécessite donc aucune étude particulière.
Outre les transformations possibles pour foutes les valeurs des
exposants indiquées au § II, l'on tire encore aisément de la défi-
nition les deux transformations
(A) P o f. ■! ;r =P j Y 2^ 7 /^ {,
où l'on doit supposer, d'après ce qui pré»
yGoosle
7^ PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIES PAR RIEMANN.
OÙ y + y'^^ î et OÙ p désigne une racine cubique imaginaire de
l'unité.
Pour embrasser d'une manière commode toutes les fonctions
qui peuvent se ramener les unes aux antres à l'aide de ces trans-
formations, il est bon, au Heu des exposants, d'introduire leurs
différences et, comme nous l'avons proposé précédemment, de dé-
signer par
toutes les fonctions comprises sous la forme
^)^P
endonnantàoL — î.', !j — ^', v — y' les nomsde première, deuxième,
troisième différence d'exposants,
11 résulte alors des formules du § TI que, dans la fonction
P(l. ,^, V, .r),
chacune des grandeurs )., |J., v peut être remplacée par la même
grandeur changée de signe et que ces grandeurs peuvent être échan-
gées d'une manière quelconque entre elles, La variable, par l'effet
de ces opérations, prend l'une des six valeurs x, i — x, -^ i ,
, , et, parmi les quarante-huit fonctions P que l'on ob-
tient de celte manière, dans chacun des groupes de huit fonctions
qui résultent du simple changement de signes des grandeurs ).,
[A, V, la variable reste la même,
La première des transformations (A), (B), indiquées dans ce
paragraphe, est applicable lorsque parmi les différences des expo-
sants Tune ^3 i, ou bien lorsque deux sont égales entre elles ; la se-
conde (B) est applicable, lorsque parmi ces différences deux sont
égales à | ou bien lorsque toutes les trois sont égales entre elles.
A l'aide de l'application successive de ces transformations l'on
obtient donc, exprîniccs l'une par l'autre, les fonctions suivantes :
1.
P(lA, V, 1, ^,), !'(,., 2., ;., X,), P{v, ^!i, V, X,),
OÙ
yGoosle
TRÉORIE DES FOKCTIONS REPRÉSENTADLES PAR LA SÉRIE UE GALSf
d'où
>=, = 4«,(i-»,) =
"4«>{i-«=)
ir.
P(., V, V, I.),
p(.,.,l,..), p(....,j.,.).
lorsque
J_ _ 3(p — p-) J^id — a^a)
et enfin, d'après 1,
m.
,'(:.:.-,..), PC,..,.,»-,),
■"G'-i-)' "G'-'i"*)'
Toutes ces fonctions peuvent être encore transformces à l'aide
de la transformai! OD générale; et leurs difTcrences d'exposants
peuvent être ainsi échangées entre elles indifféremmenl et affec-
tées de signes quelconques.
Outre les deux transcendantes II et III, au cas où une différence
d'exposants peut demeurer arbitraire, la fonction
p(.,i,i) = p(.,„.,
seule peut encore admettre une nouvelle répétition des transfor-
y Google
76 PHGMIËRE PARTIE. — MÉMOIRES PCJiLIÉS PAR RIEMANN.
mations (A) et (B), mais cela conduilàdcs formules tout élémen-
taires puisqu'on a l'égalité
PI ^ j = const. X'' + const'.
En effet, la transformation (B) n'est applicable qu'à P(v, v, v)
c'est-à-dire seulement à la transcendante II. Mais
-a
la transformation (A) peut être répétée plus souvent que dans les
formules I, et cela seulement lorsque parmi les grandeurs |j., -1,
ajjL, 2v l'une d'elles est prise égale à |, ou encore si l'on a une des
équations [a^^v, iji=:2v, vi=aijL. Les hypothèses j^^^iav, ou
V := a [i conduisent à la transcendante II, l'hypothèse <^ = -> comme
aussi a[j,zi;- ou av^^^à la transcendante III, et enfin l'hypothèse
|x^-ou v^- à la fonction P I v, - > - ) -
L'on obtient le nombre des différentes expressions que l'on
tire à l'aide de ces transformations pour chacune des transcen-
dantes I-III, en observant que dans les précédentes fonctions P
l'on peut admettre comme variables toutes les racines des équa-
tions qui les déterminent, et que chaque racine fait partie d'un
système de six valeurs qui peuvent être introduites à la place les
unes des autres comme variables par le moyen de la transforma-
tion générale. .
Mais, dans le cas I, les deux valeurs de x^ et x-^ qui corres-
pondent à un X^ donné conduisent au même système de six va-
leurs, de sorte que chacune des fonctions I peut être représentée
comme fonction P à l'aide de 6. 3 ;= 18 variables différentes.
Dans le cas II, parmi les valeurs des variables correspondant à
une valeur de x^ donnée, les deux valeurs de x^ et X;,, les six va-
leurs de x-i et les six valeurs de :»:| combinées deux à deux con-
duisent toujours à un même système de six valeurs, tandis que les
trois valeurs de 372 conduisent à trois systèmes différents de six
valeurs. Ainsi, x^ et x^ fournissent chacun trois systèmes de six
valeurs elXs, x^, x^, Xt chacun un système de six valeurs, ce qui
fait en tout, par suite, 6. 10:= 60 valeurs de variables, et chacune
des fonctions II peut s'exprimer à l'aide des fonctions P de ces
variables.
y Google
THÉORIE DES FONCriONS KEFRËSEK TABLES PAR LA SÉRIE DE f.AesS. •)-]
Enfîn, dans le cas III, ^j, les deux valeurs de x.^^ les deux va-
leurs de x^ et les quatre valeurs de x^ combinées deux à deux
fournissent chacune un système de six valeurs, de sorte qu'alors
chacune des fonctions III est représentable par des fonctions P
correspondant à 6.5 = 3o différentes variables.
Maintenant, dans chaque fonction P, l'on peut sans modifier la
variable faire prendre des signes quelconques aux différences d'ex-
posants à l'aide de la transformation générale; l'on peut donc,
puisqu'aucune de ces différences d'exposants n'est égale à zéro,
représenter une seule et même fonction comme fonction P de la
même variable de huit manières distinctes. Comme nombre total
de ces expressions nous avons donc ainsi :
Cas 1 : 8.6.3 = i44; Cas II : 8.6.10 = 480; Cas III:
8.6.5:= 24û.
Quand on fait varier de nombres entiers tous les exposants d'une
fonction P, les grandeurs
sir
i(:!-i-
P'-Hf)--
-a»
(a'-l-[
i'+Y')^^'
-a' m
w
i(«-f-
?vr).e-
-an;
■"(»'-^-a'-f-T)-e-^''='
dans les équations (3) du § III restent inaltérées.
Si, dans les fonctions
U' r -,' -C "1 .; ?; ■,; ' \'
les exposants correspondants a, et a, ... diffèrent de nombres
entiers, l'on peut donc prendre les huit grandeurs {ap)i, (t^p)(,
(œp-),, ... égales aux huit grandeurs ap, a^, «p-, . .. puisque, de
l'égalité pour cinq qui peuvent être prises arbitrairement, résulte
l'égalité pour les trois restantes.
D'après le raisonnement dont on a fait usage dans le § IV, l'on
en conclut
yGoosle
78 PRËUlftlIR rAKTJF,. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEÏIASN.
et, si parmi les grandeurs a + a', eL cl, -{-%', P -r- |3', et ^, + ^',
y + y', et y, + y', l'on désigne les grandeurs de chaque paire qui
sont inférieures d'un nombre entier positif aux aiTtres par a, [i, y,
l'on aura, en
une foiietiondcx, qui reste uniforme et finie pour :r =; o, ^'^i,
et toutes les autres valeurs finies de X, mais qui pour x^x
devient infinie d'ordre ^ a ^y — ^1 et par suite est une fonc-
tion entière F de degré — 0, — ^ — y.
Désignons maintenant comme précédemment les différences
d'esposanlS7. — a.'. P^^', y — y'parX, 5^,7; relalivenienl à celles-ci
nous remarquerons d'abord que leur somme varie d'un nombre
pair lorsque tous les exposants varient de nombres entiers. En
effet, elle surpasse la somme de tous les exposants, somme inal-
térée qui reste = i , de
grandeur qui varie ainsi d'un nombre pair. Mais les différences
d'exposants peuvent varier de nombres entiers quelconques dont
la somme est paire.
Désignons ensuite «i — a',, p, — P', , Yi — T'i P^^^h f^ii ''i ^t par
1\, AjjL, Av les valeurs absolues des différences X — /,, |j. — a,,
V — V|. Alors celle des grandeurs a -]- «', et a'+a, qui est infé-
rieure à l'autre du nombre positif iX est égale à
et, par conséquent,
AX a + 1
et de même
_ i|i_ p-H p;+3'+p,
Le degré de la fonction entière F, qui est égal à la somme de
ces grandeurs, est donc égal à
y Google
THÉOniE DES FONCTIONS RIIPRÉM
l SfRIF, DE GAUSS.
§ VU.
Si l'on désigne
trois fonctions où les exposants correspondants diffèrent de nom-
bres entiers, l'on conclut de ce qui précède, au niojen de l'équa-
tion identique
cet important théorème d'après lequel a lieu, entre leurs termes
correspondants, une équation linéaire homogène dont les coeffi-
cients sont des fonctions entières de j: et d'après lequel, par
conséquent :
Toutes les fonctions P dont les exposants cof-respondants
digèrent entre eux de nombres entiers, peuvent s'exprimer
linéairement à l'aide de deux quelconques d!entre elles avec
des fonctions rationnelles de x comme coefficients.
Une conséquence particulière des principes de démonstration
de ce théorème, c'est que la dérivée seconde d'une fonction 1'
peut être exprimée linéairement à l'aide de la dérivée première
et de la fonction elle-même avec des fonctions rationnelles pour
coefficients; et, par suite, la fonction satisfait à une équation dif-
férentielle linéaire homogène du second ordre.
Tenons-nous-en, pour simplifier le calcul autant que possible,
au cas y ^= o, auquel on peut aisément ramener le cas général à
l'aide du §11; posons P^_>', P'^^y, P^' = j.-"; l'on reconnaît
alors que les trois fonctions
-y
df
y Google
8o PREMlfiKE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEHANN.
multipliées par j:~''~"'(i — .2^)~ï'+- restent finies et uniforincs
pour les valeurs finies de ^ , et deviennent infinies du premier
ordre pour ^r =^ co, et qu'en outre le premier de ces produits de-
vient infiniment petit du premier ordre pour œ ^ i. Pour
^ = consi'.y+coii5i".jj"
a donc lieu une équation de la forme
(—) 4?ir. -<*-'") ï$ï + <*■-»''»•- »•
OÙ A, Bj A', B' désignent des coefficients qui restent encore à dé-
terminer.
Par la méthode des coeflîcients indéterminés, l'on peut déve-
lopper une solution de celle équation différentielle en une série
procédant siiivanl des puissances ascendantes ou descendantes suc-
cessives; l'exposant [* du premier terme dans le premier cas, cas
où cet exposant esl le plus petit, est déterminé alors par l'équation
dans le second cas, où cet exposant est le plus élevé, par l'équalion
[i' — B (i-H B' = n.
Les racines de la première équation doivent reprcsenlcr a et a',
celles de la seconde — fj et — ^' et, par suite,
ei la fonction P f , „, , x] = y satisfait à l'équation différcn-
lie lie
Enfin les coefficients peuvent être déterminés au moyen de l'un
y Google
THËOniB DES FONCTIONS RGFRËSEnTiBLES PAR LA SÉRIE DE GAUSS-
qiielconque d'enlre eux à l'aide de !a formule de récurrence
à laquelle satisfait
^'jU(-n-|i)Il(-n-jî')^
■^- "' ' ■^U(«-«jU(n-a')II(-/i-ii)ll(-n_p',
lorsque les exposants successifs commençant paraou a'aTigmeiitenl
chaque fois de un, de même que lorsque ceux commençant par
— P ou — p' dimimienl successivement de un, représente une so-
lution de l'équation différentielle : à savoir respectivement les
quatre solutions particulières désignées précédemment par 1*^,
D'après Gauss, qui désigne par
une série où le quotient du (n 4- a)''^"'= terme par le (n H- i)"^"'= est
égal à '" "*""'*" Ij^^ et où ie premier terme est égal à i , ce
résultai dans le cas le plus simple, où a := o, peu! s'exprimer
comme il suit :
ou encore
On lire encore aisément de notre résultat une expression de la
fonction F au moyen d'une intégrale définie, en introduisant dans
le terme général de la série, au lieu des fonctions H, une intégrale
eulcrienne de seconde espèce et en inlcrvcrtissant alors l'ordre de
{') Al'csemplcde Gjuss, Riomann désigne par n[j^-i) la fonction que i».i
désigne plus souvent aujourd'liui parr(3;). - (L.h-)
y Google
Sa PHEMIÈRE PAHTIE. — aiÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEJIANS.
sommation et d'intégration. L'on trouve de cette manière que ['in-
tégrale
prise depuis chacune des quatre valeurs o, i, — ,00 jusqu'à l'une des
trois autresvaleurs le long d'un chemin quelconque, représente une
fonction P S , „, , «^ S et que, par l'effet d'un chois convenable
_ I a p -f i 1 r
de ces limites et du chemin qui les joint l'une à l'autre, elle repré-
sente chacune des six fonctions P"", P^. ..., pl"' [2]. Mais l'on
peut aussi montrer directement que cette intégrale possède les pro-
priétés caractéristiques d'une telle fonction ; c'est ce que l'on verra
dans la suite, où cette expression de la fonction Ppar.une intégrale
définie sera utilisée pour la détermination des facteurs qui restent
encore arbitraires dans les P^, P^ , .... Je ferai ici observer seule-
ment que, pour rendre cette expression applicable dans chaque
cas, il est nécessaire que le chemin d'intégration soit modifié
lorsque la fonction sous le signe d'intégration devient, pour l'une
des valeurs o, 1 , -, ce, infinie de telle sorte qu'elle ne soit pas sus-
ceptible d'intégration jusqu'à cette valeur [3].
D'après les deux équations, obtenues dans le § Il ei dans le
de chaque expression d'une fonction à l'aide d'une fonction P,
l'on conclut un développement de celte fonction en série hjper-
géométrique procédant suivant les puissances ascendantes de la
variable que renferme la fonction P.
D'après le § V, il y a huit représentations d'une fonction par
des fonctions P de la même variable, que l'on déduit les unes des
y Google
THÉOBIE DES FONCTIONS RErRËSEKTADLES PAR LA SÉnTE DE GAUSS. 83
aiilres par échange des exposants correspondants, et l'on a ainsi,
par exemple, huit représentations avec la variable x. Mais, parmi
ces dernières, chaque couple qui se présente lors de l'échange
rautiiei du second couple ^ et ^', fournit le même développement;
on obtient donc quatre développements suivant les puissances as-
cendantes de œ, dont deux, qui résultent l'un de l'autre par l'é-
change de y et y', représentent la fonction P'^, les deux autres la
fonction P" .
Ces quatre développements sont convergents lant que le mo-
dule de a; est ■< T et sont divergents lorsqu'il est >- i ; landis qtie
les quatre développements procédant suivant les puissances des-
cendantes de X, et qui représentent P'^^ et P"^ , convergent dans le
cas inverse du précédent.
Dans le cas où le module de x = i , l'on conclut, d'après la
série de Fonrier, que les séries cessent d''èlre convergentes lorsque
la fonction pour x^^i devient infinie d'un ordre supérieur au
premier, mais restent convergentes lorsque la fonction, pour ^;= i,
devient infinie d'ordre Inférieur à i, ou bien demeure finie [41. Par
conséquent, en ce cas aussi, des huit développements suivant les
puissances de x, une moitié seulement converge lorsque la partie
réelle de y'— y n'est pas comprise entre — t et + i , et ils con-
vergent tous lorsque celle partie réelle esl, au contraire, comprise
enire ces limites.
Ainsi, l'on a en général, pour la représentation d'une fonc-
tion P, vingt-quatre séries hjpergéométriques différentes procé-
dant suivant les puissances ascendantes ou descendantes de trois
grandeurs distinctes, et, parmi ces développements pour une gran-
deur donnée du x, la moitié, c'est-à-dire douze, sont en chaque
Dans le cas I (§ V), dans le cas II et dans le cas III tous ces
nombres doivent être respectivement multipliés par 3, par lo el
par 5. Pour le calcul numérique, le chois le plus convenable sera
le plus souvent celui de la série dont le quatrième élément a le
plus petit module.
Pour ce qui est relatif aux expressionsd'unc fonction Pau moyen
d'intégrales définies, que l'on tire des intégrales à la fin du para-
graphe précédent à l'aide des transformations du § V, ces expres-
sions sont toutes différentes. L'on obtient donc dans le cas gé-
y Google
8-1 PRLlSILÈltE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR SIEUANN.
néral 48, dans le cas I (44, dans le cas //480 et dans le cas III
240 intégrales définies qui représentent le même terme d'une
fonction P et, par conséquent, ont entre elles un rapport indé-
pendant de S.
Parmi ces intégrales, a4 paires, déduites l'une de l'autre par un
nombre pair d'échanges d'exposants entre eux, sont aussi transfor-
mables entre elles par une substitution linéaire telle que pour
trois quelconques des quatre valeurs o, i, od, - de la variable d'in-
tégration s, la nouvelle variable prenne les valeurs o, 1 , od.
Les équations restantes, autant que j'ai poursuivi cette re-
cherche, nécessitent, pour être établies par les méthodes du Cal-
cul intégral, la transformation d'inlégrales multiples.
NOTES.
[IJ(p. 71). Dans une Noie de l'écrilure de Riemann datée de juillet i856,
l'on ti-ouve les formules suivantes, que l'on tire de (3) en attribuant aux,
intes arbitraires des valeurs convenablement choisies ;
. !!?!i^±i!±Y>I
.ln((..-
-0"
sin(ï'-4- ':
!■+ ï)i
.i»(|i'-
-f)r. -
sin(a + P
'h-Y')-
.fn(f-
-■{)^
»»(.■*?
-^ï)"
sin(^'-
-P), ■
.i~(.'+fl
+ Y')=
.in(fl'-
-?)»
sin(a+S
l + ■,>'=
.»(-,■-
-Y)Tt
.in(»'+(
l'+v)^
>"iT
; les formules (î) du | II!, suffisent à la di
y Google
iS PnEHTÈRE PARTIE. — MfiMOTRES PllBlItS
[3] (p. 8a). Un chemin d'intégration, qui peut
es cas, est indiqué par Pochhammer (Malh. Ai
chemin forme un double circuit autour de deux
:omme l'indique la Jlff. 3.
t intégrer jusqu'aux, points d et é, ce
^i de n
1 être
■tre emplojÉ dans tous
nalen, t. XXXV). Ce
loints de ramification,
chemin peut être re-
joignant a et b. Si l'on
Félix Klein a donné une présentation encore plus élégante de ces expres-
sions des fonctions P en introduisant des variables homogènts (Math. A n-
nalen, t. XXXVIII ).
[4] (p. 83). D'après le complément à sa démonstration de la conver-
gence de la série de Fourier, donné par DirichJet dans le Supplément au
Mémoire Sur les Fonctions sphériques (Journ. de Crelle, t. 4; Reper-
toriu/nùe Dove, t.I; Journ.de Crelle, 1. 17; Œuvres A& Dirichlei, p. 117,
|33, 3o5), une fonction périodique d'un argument réel qui devient en un
point infinie d'ordre inférieur au premier peut être développée en une
série de Fourier. Si l'on applique ce théorème aux valeurs qu'une fonc-
tion P, développable en série hjpergéométrique, admet sur le cercle de
rayon unité qui a l'origine pour centre, l'on obtient une série qui ne peut
être différente de celle que l'on a lorsque l'on prend dans la série hjper-
géomélrique le module (la valeur absolue) de x égal à 1.
y Google
i FOSCTIOSS ItËPRl^SEN TABLES I
ANNONCE DU PRÉCÉDENT M£UOIR£ PTiBLIÉE PAR L'AUTIUR LUI-MEMi:
ttANS LES Gôitinger Naohrichten, n" 1 ; \%-)-.
Le 6 novembre i85(> a élé présenté à la Société Rojale, par
l'un de SCS membres, le D'" Riemann, un essai mathématicjue ren-
fermant une Contribution à ta théorie des fonctions représen-
tables par la série de Gauss F(a, p, yi ■^)-
Ce Mémoire traite d'une classe de fonctions dont il esl fait
usage pour résoudre des problèmes divers de Physique inatlié-
matique.
Les séries que l'on forme à l'aide de ces fonctions remplissent
dans des problèmes plus difGciles le même but que, dans des cas
plus simples, les séries employées aujourd'hui si fréquemment,
qui procèdent suivant les cosinus et sinus des multiples d'une
grandeur variable.
Ces applications, et notamment les applications astronomiques,
après qu'Euler déjà se fut souvent occupé de ces fonctions au point
de vue de l'intérêt théorique, paraissent avoir conduit Gauss à en-
treprendre ses recherches, dont il publia une partie dans le Mé-
moire sur la série qu'il désigne par F{*, |3,y,-r), présenté par
lui à la Société Royale, en 1812.
Cette série est une série où le quotient du (n + a)''™^ terme par
le précédent donne
et où le premier terme est égal à i . La désignation qu'on lui donne
aujourd'hui, de série hypergéométrique, a été déjà proposée an-
térieurement par Johann Friedrich Pfalï pour ces séries plus gé-
nérales, où le quotient d'un terme par le précédent donne une
fonction rationnelle de l'indice; tandis qu'Euler d'après Wallis
désigna ainsi une série où ce quotient est une fonction entière du
premier degré de l'indice.
y Google
8S PREMIÈBE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR HIEMAK.N.
Lu partie non publiée des recherches de Gauss sur celle série,
que l'on a trouvée dans ses manuscrils posthumes, a élé complétée
déjà en allendant par les travaux de Kummer, qui ont paru dans
le lome 15 du Journal de Crelle, en i835. Hy est question des
expressions de celte série par des séries analogues, où l'élément a:
est remplacé par une fonction algébrique de cette grandeur.
Un cas particulier de ces transformalions avait été déjà trouvé
par Euler et traité par lui dans son Calcul intégral et dans plu-
sieurs Mémoires (sous sa forme la plus simple, dans les A'oi'a^cf«
Acad. Petropol., t. XII, p. 58), et la relation en question est
plus lard démontrée de différentes manières par Pfaff (Disques,
analyt. Helmstadii, 1797), par Gudermaun {J. de Crelle, t. 7,
p. 3o6), ainsi que par Jacobi.
Kummer, en partant de la méthode d'Eulcr, réussit à trouver
un procédé à l'aide duquel toules les transformations peuvent être
obtenues; mais l'application effective de ce procédé exige de si
pénibles discussions, qu'il recula devant l'exposition des détails
relatifs aux transformations du troisième degré etse contenta d'ex-
poser d'une manière complète celles du premier et du second el
celles qui en sont composées.
Dans le Mémoire annoncé, l'auteur traite ces transcendantes
d'après une méthode dont il a exposé les principes dans sa Dis-
sertation inaugurale {§ XX.), et par laquelle on arrive presque
sans calcul à tous les résultats obtenus antérieurement. Aussi
l'auteur cspère-t-il pouvoir bientôt présenter, à la Société Royale,
quelques nouveaux résultats obtenus à l'aide de cette méthode.
y Google
FONCTIONS ABÉLIENNES.
Journal de Crelte, l
AVANT-PROPOS. - PRELIMINAIRES.
I. — Hypothèses générales et méthodes pour l'étude des fonctions
de grandeurs à variabilité illimitée.
Le dessein de présenter aux lecteurs du Journal de Mathé-
matiques mes reclierches sur diverses Iraoscendanles et en par-
liculier aiissi sur les fonctions abéliennes, m'inspire le désir, afin
d'éviter les répétitions, de réunir au commencement, dans une
exposition préliminaire, les principes généraux qui seront le point
de départ de mon traitement du sujet.
Pourla grandeur variable indépendanteje prendrai, comme point
de départ, la représentation géométrique de Gauss, aujourd'hui
bien connue, d'après laquelle une grandeur complexe ; = ,r + iy
est regardée comme un point d'un plan indéfini dont les coordon-
nées rectangulaires sont x ^\.y-
Je désignerai les grandeurs complexes et les points qui les
représentent par les mêmes lettres. Je considérerai comme fonc-
tion de ^ -f-jK' toute grandeur w qui varie avec cette quantité en
satisfaisant toujours à l'équation
y Google
QO PRElllÈilE l'ABTlE. — .MÉMOIRES TUBLIÈS PAR RIEllANN.
sans faire l'ii^pollicsc d'une expression de iv en a; cly. Comme
conséquence de cette équation différentielle, en vertu d'un théo-
rème connu, la grandeur tf est représenlable par une série procé-
dant suivant les puissances entières de ; ~ rt, de la forme
pourvu que dans le voisinage de a ello admette partout une valeur
déterminée variant d'une manière continue avec ;; et cette pos-
sibilité de représentation a lieu jusqu'à une distance de «, c'est-
à-dire une valeur de inod. (3 — a), où il se présente une discon-
tinuité.
A l'aide de considérations, qui reposent sur les principes de la
méthode des coefficients indéterminés, on reconnaît que les coef-
ficients a„ sont complètement déterminés lorsque (v est donné
le long d'une ligne finie partant de a, quelque petite d'ailleurs
qu'elle soit.
En réunissant ces deux propositions, l'on s'assurera aisément
de l'exactitude de ce théorème :
Une fonction de x -{-yi, qui est donnée en une portion du
plan des {x,y), ne peut être prolongée au delà d'une manière
continue que d'une seule façon.
Maintenant, concevons que la fonction à traiter ne soit pas dé-
terminée par des expressions ou équations analytiques quel-
conques contenant z, mais plutôt par ce fait que la valeur de la
fonction est donnée en une portion du plan des s à conlour
d'encadrement quelconque et qu'elle est prolongée au delà d'une
manière continue, en vertu de l'équation diflerentielle partielle
Ce prolongement, en vertu des propositions précédentes, est
complètement déterminé, si l'on suppose qu'il est pratiqué, non le
long de pures lignes, car alors l'on ne pourrait faire l'application
d'une équation différentielle, mais sur des bandes de surface de
largeur finie. Maintenant, d'après la nature de la fonction à pro-
longer, elle reprendra, ou non, toujours la même valeur pour une
y Google
THÉORIE DES FONCTIONS AUÉLIENNP.S. Ql
même valeur de s, quel que soil le chemin suivant lequel le pro-
longement a lieu.
Dans le premier cas, je la nommerai uniforme; c'est alors pour
toute valeur de z une fonction parfaitement déterminée et elle ne
devient jamais discontinue le long d'une ligne. Dans le second
cas, où l'on dira qu'elle est multiforme, on doit avant tout, pour
saisir la marche de cette fonction, porter son attention sur cer-
tains points du plan des s, autour desquels la fonction se prolonge
en une autre. Un tel point, par exemple, esl le point a pour la
fonction log(s — a).
Concevons une ligne quelconque menée de ce point a; on
peut, dans le voisinage de «, choisir la valeur de la fonction, de
telle sorte que la fonction varie partout d'une manière continue
sauf en cette ligne; mais, sur les deux bords de cette ligne, elle
prend des valeurs différentes, la valeur sur le bord négatif surpas-
sant de 2ït( celle qu'elle prend sur le bord positif (').
Le prolongement de la fonction au delà de l'un des bords de
cette ligne, par exemple le bord négatif, dans la région située de
l'autre eôté, fournit alors évidemment une fonction différente de
celle qui se présentait auparavant et qui, dans le cas envisagé ici,
surpassera partout cette dernière de i-ni.
Pour simplifier les désignations de ces relations, on nommera
les divers prolongements d'^/ie fonction pour une même portion
du plan des z les branches de cette fonction, et un point autour
duquel une branche de la fonction se prolonge en une autre
un point de ramification de la fonction. Partout où il ne se
trouve aucune ramification, la fonction est dite monodromc ou
uniform.c.
Une branche d'une fonction de plusieurs grandeurs variables
indépendantes c, .î, t, ... esl uniforme dans le voisinage d'un
système déterminé de valeurs z^^a, s ^= b, t^c, . . . , lorsqu'à
toutes les combinaisons de valeurs jusqu'à une distance finie de
celui-ci (c'est-à-dire lorsqu'à une grandeur finie déterminée des
modules de s — n, s — i, ( — c, . . .), correspond une valeur dé-
(') Suivant les désignations Je Gauss, qui nomme
je nomme bord positif d'une ligne donnée celui qui
direction dt Ij ligne eommc + i l'est par rapport a i
y Google
ga PiiEMifeKiî PARTI];. — mémoires pucLits par R1EllA^"^.
terminée de celte branche de la fonction, variant d'une manière
continue avec les grandeurs variables.
Un lien de ramiflcalion, ou un lieu autour duquel une branche
se prolonge en une autre, sera foriaé pour une fonction de plu-
sieurs variahles par toutes les valeurs des grandeurs variables indé-
pendantes, satisfaisant à une équation entre ces variables.
D'après un théorème connu, dont on a parlé précédemment, la
propriété d'être uniforme revient pour une fonction à la possibi-
lité d'être développée suivant les puissances entières positives ou
négatives des accroissements des grandeurs variables, et la ramifi-
cation de la fonction revient à la non-possibilité d'un tel dévelop-
pement. Mais il ne semble pas utile d'esprimerlcs propriétés, qui
sont indépendantes du mode de représentation, à l'aide de ces
caractères, qui reposent sur une forme déterminée explicite de
l'expression de la fonction.
Dans quelques recherches, notamment dans l'élude des fonc-
tions algébriques et abéliennes, il sera utile de représenter le
mode de ramification d'une fonction multiforme de la façon géo-
métrique suivante :
Concevons une surface étendue sur le plan des (x, y) et coïn-
cidant avec lui (ou si l'on veut un corps infiniment mince étendu
sur ce plan), qui s'étend autant et seulement autant que la fonc-
tion y est donnée. Lorsque la fonction sera prolongée, celte sur-
face sera donc également étendue davantage. En une région du plan
où se présentent deux ou plusieurs prolongements de la fonction,
la surface sera double ou multiple. Elle se composera alors de deus
ou de plusieurs feuillets dont chacun correspond à une branche de
la fonction. Autour d'un point de ramification de la fonction, un
feuillet de la surface se prolongera en un autre feuillet, et de telle
sorte que, dans le voisinage de ce point, la surface pourra être re-
gardée comme un hélicoïde dont l'axe est perpendiculaire au plan
des {x,y) en ce point et dont le pas de vis est infiniment petit.
Mais lorsque la fonction, après que S a décrit plusieurs tours autour
de la valeur de ramification, reprend sa valeur initiale [comme,
par exemple, (3 — a)", m, « étant premiers entre eus, après n
tours décrits par z autour de n] , on devra alors supposer que le
y Google
THÉORIE DES FONCTIOHS ABÉLIENSES. gS
feuillet supérieur de la surface se raccorde avec le feiûllel infé-
rieur en passant à travers le reste des feuillels.
La fonction mulUforme admet en chaque point d'une surface,
qui en représente ainsi le mode de ramification, une seule valeur
déterminée, et peut donc être regardée comme une fonction par-
faitement déterminée du lieu (d'un point) sur cette surface.
II. — Théorèmes de 1'" Analysis situs >> relatifs à la théorie
des intégrales de différentielles totales â deux termes.
Dans l'étude des fonctions qui proviennent de l'intégration de
diflérentielles totales, quelques théorèmes appartenant à i'Ana-
lysis situs sont presque indispensables. Sous cette désignation
employée par Leibnitz, quoiqu'en un sens peut-être un peu diffé-
rent, on peut ranger une partie de l'élude des grandeurs continues
où l'on ne considère pas les grandeurs comme existant indépen-
damment de leur position et comme mesurables les unes par les
autres, mais où l'on étudie seulement les rapports de situation des
lieux et des régions, en faisant complètement abstraction de tout
rapport métrique.
Comme j'ai l'intention, dans une autre occasion, de traiter ce
sujet qui faitcomplètement abstraction des relations métriques, je
me contenterai d'exposer sous forme géométrique quelques théo-
rèmes nécessaires pour l'intégration des différentielles totales à
deux termes.
Soit T une surface donnée, recouvrant une ou plusieurs fois
le plan des (^, jk) ('), et soient X, Y des fonctions continues du
lieu sur cette surface, telles que X^ àj) \ôy ùx) J ■
étendue à toute la surface, possède une valeur finie, cette
fonction peut toujours, et cela d'une manière unique, être
transformée en une fonction de x^yi par la soustraction
y Google
THÉORLE DES FONCTIONS ABÉLIENSES, lOJ
d' une fonction ^i. -\--/i de x, y, qui satisfait aux conditions
suivantes :
i" Sur le contour y. ^ o, on du moins diffère de zéro seule-
ment en des points isolés; en un point, -/est donnée d'une ma-
nière arbitraire;
2° Les variations de pi sur T, celles de v sur T' ne sont discon-
tinues qu'en des points isolés, et cela seulement de telle sorte
que les intégrales
relatives à toute la surface, restent finies ; de plus les varia-
tions de V le long d'une .tection transverse sont égales sur les
deux bords.
Lorsque la fonction a -f- pr, en des points où ses dérivées de-
viennenlinfinies, esldisconliniie comme une fonction discontinue
de^ + yi en ces points, et lorsque la fonctionne présente aucune
discontinuité qui disparaîtrait par l'effet d'une modification de
sa valeur en un point isolé, alors û (a) reste finie et [x + vicst
partout continue sur T'.
En effet, puisqu'une fonction de ^4-^*' ne peut admettre cer-
taines discontinuités, telles que, par exemple, des discontinuités
de première espèce {Dissertation inaugurale, § XII), la difl'é-
rencede deux pareilles fonctions doit être continue, pourvu qu'elle
ne soit pas discontinue de deuxième espèce.
Ainsi, d'après le théorème démontré, une fonction de x -i-yi
peut être déterminée de telle sorte qu'à l'intérieur de T, abstrac-
tion faite des discontinuités de la partie imaginaire relatives aux
sections transverses, elle présente des discontinuités prescrites,
et que sa partie réelle prenne sur le contour une valeur qui y est
partout donnée arbitrairement; ceci présuppose que, en toiit point
où les dérivées de la fonction deviennent infinies, la discontinuité
prescrite est celle d'une fonction de x -\-yi donnée, discontinue
en ce point,
La condition relative au contour peut, comme c'est aisé à re-
connaître, être remplacée par maintes autres sans que les conclu-
sions éprouvent de modifications essentielles.
y Google
- aÉaOlRES PUBLIÉS l
IV. — Théorie des fonctions abéliennes.
Dans le Iravail qui suit, je traite des fonctions abéliennes d'a-
près une méthode dont j'ai exposé les principes dans ma Disser-
tation inaugurale, et que je viens de présenter dans les trois pa-
ragraphes précédents sous une forme légèrement modifiée.
Pour faciliter la lecture de ces recherches, je les ferai précéder
d'un compte rendu sommaire,
La première Section contient la théorie d'un sj'stème de fonc-
tions algébriques à mêmes ramifications et de leurs intégrales,
sans qu'il y soit nécessaire d'aborder la considération des sé-
ries ihéta. Dans les § I-V, il s'agit de la détermination de ces
fonctions d'après leur mode de ramification et leurs discontinuités ;
du § VI au § X, il s'agit de leurs expressions rationnelles en fonc-
lion de deux grandeurs variables liées par une équation algébrique,
et du § XI au § XIII, de la transformation de ces expressions par
les substitutions rationnelles. Danscette élude s'offre alors la con-
ception d'une classe d'équations algébriques, qui peuvent se trans-
former entre elles par des substitutions rationnelles, et qui pourra
aussi être d'une haute importance dans d'autres recherches, et la
transformation d'une équation de cette nature en équations de
sa classe de degré minimum sera aussi utile en d'autres circon-
stances. Enfin cette Section traite, dans les derniers § XIV-XVI
comme préliminaires à la Section II, des applications du théorème
d'addition d'Abel, relatif à un système quelconque d'intégrales
partout finies de fonctions algébriques à mêmes ramifications, à
l'intégration d'un système d'équations différentielles.
Dans la seconde Section, dans le cas d'un système quelconque
d'intégrales partout finies de fonctions algébriques, à mêmes ra-
mifications et (a/) + i)fois connexes, l'on exprimera les fonctions
d'inversion de Jacobi de p grandeurs variables, à l'aide de sé-
ries thêta /i-uplement infinies, c'est-à-dire à l'aide de séries de
la forme
yGoosle
TEIÉORIE DES FONCTIOXS AltÉLlENNES. 107
OÙ les sommations dans l'exposant se rapporlenl à [a et p', et où
les sommations exlérieures se rapportent à nit , m^, . . . , mp. On
reconnaît que, pour la solution générale de ce problème, une cer-
taine classe de fonctions thêta suffit; cette classe devient particu-
lière pour/)>3, cas où, entre les ^ ^ — grandeurs a, ont lieu
-^ ^ ^ relations, en sorte que, parmi ces grandeurs, 3/) — 3
seulement restent arbitraires.
Cette partie du Mémoire forme en même temps une lliéorledc
cette espèce particulière de fonctions 2f. Les fonctions S générales
resteront exclues de cette étude ; elles peuvent se traiter du reste
par une méthode tout analogue.
Le problème d'inversion de Jaeobi, résolu ici, l'a été déjà de
plusieurs manières dans le cas des intégrales hyperelliptiques
par les travaux persévérants et couronnés de tant de succès de
M. Weierstrass ; un aperçu en a paru dans le Tome 47 du Journal
de Mathématiques de C relie, page 289. Ce n'est cependant jus-
qu'à ce jour que la partie de ces travaux, esquissée dans les § I, Il
et la première moitié du § HI relative aux fonctions elliptiques,
dont l'exposition détaillée a été çu\A\ét (^Tournai de C relie, t. 52,
p. 285). La coïncidence qu'il peut y avoir entre les parties ulté-
rieures des travaux de M. Weierstrass et ceux que je présente ici,
non seulement dans les résultats, mais encore dans les méthodes
qui y conduisent, ne pourra être connue en grande partie que
lors de la publication de ces travaux qui a été annoncée.
Le travail qui suit, à l'exception des deux derniers § XXVI,
XXVII, dont le sujet n'eût pu qu'être brièvement indiqué dans
mes Leçons, est une analyse d'une partie de celles que j'ai pro-
fessées à Gœttingue depuis la Saint-Michel i855 jusqu'à Ja même
date en i856.
Relativement à la découverte de certains résultats et quant aux
§ I-V, IX et XII et aux théorèmes préliminaires que j'ai étendus
plus tard en vue de mes Leçons, de la manière exposée dans ce
travail, j'y ai été conduit pendant l'automne de l'année i85i et le
commencement de iSSa, par des recherches sur la représenta-
tion conforme de surfaces muitiplement connexes; mais, plus
tard, j'étais détourne de celte recherche par un autre sujet.
Je n'ai repris ce travail que vers Pâques en i855 et l'a
y Google
I08 PREMIËRR PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR IllEMAN.V.
jusqu'au § XXI, pendant les vacances de Pâques el de la Saînl-
Michel de la même année. Le reste a été terminé vers la Saînt-MÎ-
chel de i856.
Un certain nomlire de propositions supplémentaires se sont
présentées en maint endroit pendant la mise au net.
SECTION I.
Soit s la racine d'une équation irréductible de degré n dont les
coefficients sont des fonctions entières de z de degré m; à chaque
valeur de z correspondent « valeurs de s, qui varicnl avec z d'une
manière continue partout où elles ne deviennent pas infinies. Si
l'on représente alors le mode de ramification de cette fonction
(p. g3) par ime surface T sans contour d'encadrement, recou-
vrant le plan des z, celte surface, en toute partie du plan, possède
n feuillets et s est alors une fonction uniforme du lieu sur cette
surface.
Une surface sans contour d'encadrement peut être considérée
comme une surface dont l'encadrement est rejeté à l'infini ou
comme une surface fermée, et c'est à ce point de vue que nous
regarderons la surface T, en sorte qu'à la valeur s^zoo correspond
un point sur chacun des n feuillets, à moins que pour 3=00 l'on
n'ait un point de ramification.
Toute fonction rationnelle de 5 et s est également, c'est évi-
dent, une fonction uniforme du lieu sur la surface T, et possède
donc le même mode de ramification que la fonction s, et l'on
verra plus loin que la réciproque est ég'alement vraie.
L'intégration d'une pareille fonction donne une fonction dont
les différents prolongements pour la même portion de la sur-
y Google
THÉORIE DES
ABÉL1EM\ËS.
109
face T ne diffèrent que par des constantes, puisque sa dérivée pour
le même point de cette surface reprend toujours la même valeur.
Un pareil système de fonctions algébriques à mêmes ramifica-
tions et d'intégrales de ces fondions fera d'abord l'objet de notre
étude; mais, au lieu de prendre comme point de départ les ex-
pressions de ces fonctions, nous les définirons par leurs discon-
tinuités en appliquant le Principe de Diiichlet (p. io4).
Pour simplifier ce qui suit, je dirai qu'une fonction est infini-
ment petite du premier ordre en un point de la surface T
lorsque son logarithme augmente de a-rcf, quand on décrit dans
le sens positif le contour d'une portion de cette surface renfer-
mant ce point où la fonction reste finie et différente de zéro. Pour
nt (
T
elle-
Afoi
il e
■st
ne valeur finie o, de [z -
t (- 1 qui devient infi-
ainsi, lorsque z est é
à-dire de {dz)'^; mais, lorsqui
nimenl petit du premier ordre. Le cas où une fonction devient
infiniment petite ou infiniment grande d'ordre v en un point de
la surface T peut être traité comme si la fonction y devenait infi-
niment petite ou infiniment grande du premier ordre en v points
qui coïncident (ou se rapprocbent indéfiniment les uns des autres).
C'est ce que nous ferons quelquefois par la suite.
La manière dont les fonctions que nous aurons à traiter ici de-
viennent discontinues peut alors s'exprimer ainsi. Si l'une d'elles
est infinie en un point de la surface T, elle peut toujours, r dési-
gnant une fonction quelconque qui devient infiniment petite du
premier ordre en ce point, être transformée par la soustraction
d'une expression finie de la forme
A!ogr4-B/-i-i- Gt-'-t-.,.
en une fonction qui y est continue, ainsi que cela se voit d'après
les propositions connues sur le développement d'une fonction en
y Google
ITO TREMIÈItE PAaTIE, — MÉMOIRES PUBI.lfiS PAR RI
séries de puissances, proposilions que l'on peut déi
Cauchv ou bien à l'aide de la série de Fourier.
§ ni.
Concevons maintenani ([ue l'on donne une surface connexe T,
recouvrant partout n fois le plan des z, sans contour, mais que
l'on peut, d'après ce qui précède, regarder comme une surface
fermée.et que l'on ail décomposé celle surface en une surface sim-
plement connexe T'. Comme la courbe d'encadrement d'une sur-
face simplement connexe est formée par un contour unique, mais
qu'une surface fermée prend, par l'effet d'un nombre impair de
sections, un nombre pair de portions d'encadrement, et, par l'effet
d'un nombre pair de sections, un nombre impair de portions d'en-
cadrement, poiir effectuer cette décomposition de la surface, il sera
donc nécessaire de pratiquer un nombre pair de sections. Soit a/j
le nombre de ces sections iransverses. Pour simplifier ce qui va
suivre, la décomposition sera pratiquée de telle sorte que chaque
nouvelle section soit faite à partir d'un point d'une des sections
précédentes et aboutisse au point avoisinanl sur l'autre bord de
celle même section ; alors, lorsqu'une grandeur varie d'une ma-
nière continue le long dn contour d'encadrement complet de la
surface T', et éprouve dans tout le système de sections des vu-
rialions égales sur les deux bords, la différence entre les deux
valeurs qu'elle prend au même point du réseau de sections esl
égale à une même constante en toutes les parties d'une même
section transverse.
Posons maintenant z^^ x -\-yi et considérons sur T une fonc-
tion a -H Pi de x,y définie comme il suit :
Dans le voisinage des points êi,Sï, ... elle sera déterminée
comme étant égale à des fonctions de x+yi données qui sont in-
finies en ces points, et cela de telle sorte qii'en t^, elle soit égale
à une expression finie de la forme
où i\ désigne une fonction quelconque de s qui devient infini-
ment petite du premier ordre en s^, les h.„ Hv, Cv, . . . étant des
yGoosle
THÉOKIE DES FONCTIONS ABIÎLIEXSES. I 1 [
constantes arbitraires. On mènera ensuite à l'intérieur de ï', jus-
qu'en un point quelconque à partir de tous les points t pour les-
quels la grandeur A est différente de zéro, des lignes qui ne se
coupent pas ; ia ligne parlant de Ev sera désignée par /y. Enfin sup-
posons la fonction, à l'inléricur de tout ce qui reste encore de la
surface T, définie ainsi : En dehors des lignes l et des sections
Iransverses, elle est partout continue; sur le bord positif (gauche)
de la ligne /« elle surpasse de — ait/Av, et sur le bord positif de
la v'^""* section transverse elle surpasse de la constante donnée A''''
les valeurs respectives qu'elle possède sur les bords opposés de
ces sections; enlîn l'intégrale
/[(
dx ôy }
dT,
relative à la surface T, a une valeur finie. Il est aisé de reconnaîlrc
que cela est toujours possible quand ia somme de toutes les gran-
deurs A est égale à zéro, et de plus n'est possible que sous cette
condition, car c'est seulement en ce cas que la fonction, après nn
circuit décrit le long du système des lignes /, peut reprendre de
noiiveau sa précédente valeur.
Les constantes additives /("', A'^', ...,/('■/", dont s'accroît une
pareille fonction en passant du bord négatif au bord positif des
sections transverses, seront dites les modules de périodicité de
celte fonction.
Maintenant, d'après le principe de Diricblet, la fonction a -h pi
peut être transformée en une fonction m de x +yi par la sous-
traction d'une pareille fonction de œ,j, partout conlinue en T',
à modules de périodicité purement imaginaires, et cette fonction
est complètement déterminée à une constante additive près. La
fonction w admet les mêmes discontinuités que a-i-^ià l'intérieur
de T' et les mêmes parties réelles des modules de périodicité. Par
conséquent, dans la composition de w, les fonctions -3^ et les par-
ties réelles des modules de périodicité peuvent être données
arbitrairement. Eu égard à ces conditions, la fonction est complè-
tement déterminée à une constante additive près et, par con-
séquent, il en est de même de la partie imaginaire de ses modules
de périodicité. On verra que cette fonction w comprend, comme
cas particuliers, toutes les fonctions indiquées au § I.
y Google
ira PIIEMIÈTIE PARTIR. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIESiSN.
§ IV.
Fonctions ui partout finies (intégrales de première espèce).
Nous allons d'abord considérer les plus simples parmi cesfonc-
tions, celles qui restent toujours finies et qui, par conséquent,
sont continues partout à l'intérieur de la surface T'. Si l'on dé-
signe par
, (ï'„ de telles fonci
fonction de même nature,
,v = aiW,-i-a2U', -i-.,.+ 3pH'p-i-conn,,
les Kf, 3L^, . . ., o-p étant des constantes quelconques. Désignons
les modules de périodicité des fonctions ic, , ic^, . . . , Wp relatifs à
la v'^"" section transverse par Ar^'i /<"'■, ■ ■ - , k'-J'. Le module de pé-
riodicité de w relatif à cette section transverse est alors
i;t, si l'on écrit les grandeurs a sous la forme y -t- 3/, les parties
réelles des 2p grandeurs A'", â:'^', .,.,k^-P' sont des fonctions
linéaires des grandeurs Yi, Y^- • ■ -i Y/" ^i, Si, . . . , 3p.
Maintenant, lorsque aucune équation linéaire à coefficients
constants n'a lieu entre les grandeurs w,, Wj, . . -, n'j., le déter-
minant de ces expressions linéaires ne peut s'évanouir.
En effet, s'il n'en était pas ainsi, l'on pourrait déterminer les
rapports des grandeurs a de telle sorte que les modules de pério-
dicité de la partie réelle de iv seraient tous égaux à zéro, et que,
par suite, la partie réelle de te et, par conséquent aussi, w elle-
même devraient, en vertu du principe de Dirichict, se réduire à
Par conséquent les 3/> grandeurs y elÔ peuvent être déterminées
de telle sorte que les parties réelles des modules de périodicité
prennent des valeurs données; par suite, iv peut représenter
toule fonction w restant toujours finie, lorsque w, , n'a, ..., Wp ne
satisfont à aucune équation linéaire à coefficients constants. Mais
ces fonctions peuvent être toujours choisies de manière à rem-
plir cette condition ; en effet, tant que [a<^/j, des équations de
y Google
condition linéai
partie réelle de
THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENKES, Il3
■es ont lieu entre les modules de périodicité de la
et ainsi Wn^i n est pas renfermé dans cette forme, quand on déter-
mine les modules de périodicité de la partie réelle de cette fonc-
tion fie telle sorte qu'ils ne satisfassent pas à ces équations de
condition, ce qui est toujours possible, d'après ce qui précède.
Fonctions m qui sont infinies du premier ordre en un point
de la surface T (^intégrales de deuxième espèce).
Supposons maintenantque wdevienne infinie en un seul point e
de la surface T, et que pour ce point tous les coefficients dans ^,
sauf B, soient nuls. Une telle fonction est alors déterminée, à une
constante additive près, par la grandeur B et par les parties réelles
de ses modules de périodicité. Si l'on désigne par ("(s) une fonc-
tion quelconque de cette nature, dans l'expression
;(0 = P'"(0^^.«'. + «.«'2 + ..-^«,.«'„ + con=t.,
les constantes P, et,, «a, . . ., stp peuvent toujours être détermi-
nées de telle sorte que pour cette expression la grandeur B et les
parties réelles des modules de périodicité prennent des valeurs
quelconques données. Celte expression représente donc toute
pareille fonction.
ui sont loffariekmiquemen,
de la sur/ace T (intégrales de t.
e espèce).
Considérons en troisième lieu le cas où la fonction w devient
infinie seulement logarithmiquement ; cela doit avoir lieu, puisque
la somme des grandeurs A doit être égale à zéro, au moins en deux
points de la surface T, £,, £2, et l'on doit avoir A^ := — A). Si
l'on désigne l'une quelconque des fonctions pour lesquelles ce
fait a lieu, les deux dernières grandeurs étant égales à i, par
i3''(ei,£2), toutes les autres fonctions, en vertu de conclusions
y Google
Il4 FREMIËRE PARTIE. — 31ËJI0IRES PI^BUËS PAR RIEHANN.
analogues ù celles employées précédemment, sont comprises dans
la forme
Dans les remarques qui suivent nous supposerons, pour sim-
plifier, que les points e ne sont pas des points de ramification et
qu'ils ne sont pas situés à l'infini. On peut donc poser i\^z — Svi
en désignant par z^ la valeur de z au point e„. Alors, lorsque l'on
différentie ra(£|, e^) par rapport à z, de telle sorte que les parties
réelles des modules de périodicité (ou aussi p des modules de pé-
riodicité) et la valeur de ra(£|, s^) en un point quelconque de la
surface T restent constantes, l'on obtient une fonction i{£i) qui
est discontinue en e, comme l'est
Réciproquement, t{s.{) désignant une telle fonction, l'intég:rale
/ t[zi)dz,, prise le long d'une ligne quelconque, menant de
Es à £3, sur la surface T, est égale à une fonction ra(£î, £n). D'une
manière toute pareille, on obtient, par l'effet de n différentiations
successives d'une telle fonction ï(si), prises par rapport à 3(,
des fonctions w qui sont discontinues au point e,, comme l'est
n\[z — 2| )-"-', et qui partout ailleurs restent finies.
Pour les positions des points s que nous avons exclues, ces
théorèmes exigent une légère modification.
Maintenant, il est évident que l'on peut déterminer une expres-
sion linéaire à coefficients constants formée de fonctions «■■, de
fonctions m et de leurs dérivées prises par rapport aux valeurs de
discontinuité, expression telle qu'à l'intérieur de T' elle admette
des discontinuités quelconques données de même forme que celles
de (0, et telle que les parties réelles de ses modules de périodicité
prennent des valeurs quelconques données. On peut, par consé-
quent, représenter toute fonction o> par une pareille expression.
y Google
THÉOREK BES PONCTIONS ABÉI.IESXES.
i V.
L'expression générale d'une fonction to, qui devient infiniment
grande du premier ordre en m points ^,,s^, -..,£»; de la surface T
est, d'après ce qui précède,
où îv est une fonction quelconque ^(ev) et où les grandeurs a et p
sont des constantes. Lorsque, parmi les m points s, un nombre p
d'entre eux se réunissent au même point r, de la surface T, les p
fonctions t correspondant à ces points doivent être remplacées
par une fonction t(r,) et par les p — i premières dérivées de cette
fonction, prises par rapport à sa valeur de discontinuité (§ II).
Les 2/j modules de périodicité de cette fonction s sont des
fonctions linéaires homogènes des p -i- m grandeurs a et p.
Lorsque m^p-h i, parmi les grandeurs a et p, 2/j d'entre elles
peuvent donc être déterminées comme fonctions linéaires homo-
gènes de celles qui restent, de sorte que les modules de périodicité
soient tous nuls. La fonction renferme alors encore m — p+i con-
stantes arbitraires dont elle est fonction linéaire homogène, et
elle peut être regardée comme une expression linéaire de m — p
fonctions, dont chacune devient infinie du premier ordre seule-
ment pour p + I valeurs.
Lorsque m ^p -j- i, les rapports des a/> + i grandeurs a et j3
sont complètement déterminés pour chaque position des p ■+- i
points e. Mais, pour des positions particulières de ces points,
quelques-unes des grandeurs P peuvent être égales à zéro. Soit,
par exemple, m — \t. le nombre de ces grandeurs égales à zéro, de
sorte que la fonction ne devient infinie du premier ordre que
pour u. points. Ces [j. points doivent alors avoir une position telle
que, parmi les a^o équations de condition entre les /j + jn grandeurs
restantes ^ et a, /) + i — y. d'entre elles soient une conséquence
identique de celles qui restent; par suite il n'y en a que 2 il — p— 1
qui peuvent être choisies arbitrairement. En outre la fonction con-
tient encore deux constantes arbitraires.
Maintenant, proposons-nous de déterminer a- de telle sorte que 1*
y Google
ri6 PREMIÈRE PARTIE. ^ SIÉMOIRES l'LBLlÉS PAR BIEMANN.
soil le plus petit possible. Lorsque s est [i. fois infinie du premier
ordre, il en est de même de loule fonction rationnelle de j du pre-
mier degré; on peut done, dans la résolution du problème, choisir
im des [A points arbitrairement, La position des autres doit être
alors déterminée telle que /:> + i — [* des équations de condition
entre les grandeurs a et ^ soient une conséquence identique de
celles qui restent.
Il faut donc, lorsque les valeurs de ramification de la surface T
ne satisfont pas à des équations de condition particulières, que
/l-r-I-il^H- 1 ou iX^^p-^-l-
Le nombre des constantes arbitraires que renferme une fonc-
tions, qui ne devient infinie du premier ordre que pour m points
de la surface T et reste continue partout ailleurs, est dans tous les
cas égal à 2 ni — p -\-t-
Une telle fonction est la racine d'une équation de degré n
dont les coefficients sont des fonctions entières de z de de-
Soient S|, ^2, ,.., s„ les h valeurs de la fonctions pour la même
valeur de z et désignons par rf une grandeur quelconque; alors
(rf — S\) {fi — Sa). ■ .(tf — s«) est une fonction uniforme de z qui
ne devient infinie qu'en un point du plan des a qui coïncide avec
un point s, et l'ordre de cet infini sera égal au nombre des points t
qui s'y réunissent.
Ea effet, en un point £ qui n'est pas un point de ramification,
un seul des facteurs du produit est infini du premier ordre; pour
un point £, autour duquel la surface tourne sur elle-même |jl fois,
il y a |JL facteurs infinis, chacun d'eux étant infini d'ordre -• Si l'on
désigne maintenant les valeurs de s en ces points s, où s n'est pas
infini, par !^), Ç,, . . ., i^y? «L le produit (s — ^i) (^ — ^2) ■■■(z — Ç^)
par «0, alors «i>(tf — ■'1) ("^ — S2)--.(rf — s„) est une fonction uni-
forme de 3 qui est finie pour toutes les valeurs finies de s, et qui,
pour s = oo, devient infinie d'ordre m; c'est, par conséquent, une
fonction entière de z du m'™* degré. C'est également une fonction
entière de d du n'"°' degré qui s'évanouit pour rf = s. Désignons-
la par F et désignons, comme nous le ferons dans ce qui suit, par
y Google
THÉOBIE DES FO.NCTIO.NS ABÉLIEXNES, I I7
F {d, a) une fonction entière F de degré ii en a* et de degré m
en s ; alors s est racine d'une équation F ( j, z) =:= o.
La fonction F est «ne puissance d'une fonction irréductible,
c'est-à-dire qui ne peut se décomposer en un produit de fonctions
entières de rf et de a. En effet, tout facteur rationnel entier de
F(rf, z), puisqu'il doit s'évanouir pour certaines d'entre les ra-
cines *,,Sa, ..,, s„, représente pour 0'=: s une fonction de z qui
doit s'évanouir en nne portion de lu surface T et qui, par suite,
cetle surface étant connexe, doit être nulle sur toute celle surface.
Mais deux fadeurs irréductibles de ¥{d, z) ne pourraient s'éva-
nouir simultanément pour un nombre fini de couples de valeurs,
que si l'un d'eux ne pouvait être obtenu en multipliant l'autre
par une constante. Par suite, F est nécessairement puissance d'une
fonction irréductible.
Lorsque l'exposant v de cette puissance est >- 1 , le mode de ra-
mification de la fonction j n'est pas représenté par la surface T,
mais par une surface -r recouvrant partout - fois le plan des a, et
recouverte elle-même partout v fois par la surface T. On peut
alors considérer s, ilest vrai, comme une fonction ramifiée comme
l'est la surface T, mais l'on ne peut pas réciproquement dire que
T est ramifiée comme l'est s.
Une fonction pareille à s, discontinue seulement en certains
points de T, est représentée aussi par -jj- En effet, cette fonction
reprend la même valeur sur les deux bords des sections transverses
et des lignes l, puisque la différence des deux valeurs que pos-
sède w sur ces coupures est constante le long des lignes. Elle
peut être infinie seulement en les points où l'est (>> et en les points
de ramification de la surface, et partout ailleurs elle est continue,
puisque la dérivée d'une fonction uniforme et finie est également
uniforme et finie.
Toutes les fonctions o> sont donc des fonctions algébriques
de a, ramifiées comme la surface T, ou sont des intégrales de telles
fonctions. Ce système de fonctions est déterminé lorsque la sur-
face T est donnée, el ne dépend que de la position de ses points
de ramification.
y Google
PREHlfcRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS 1
Supposons malntenant'qiie l'on donne l'éqiii
et que l'on demande de déterminer le mode de ramification de la
fonction s ou de la surface T qui la représente. Lorsque, pour une
valeur ^ de z, [i. branches de la fonction se rattachent ensemble
de telle sorte qu'une de ces branches, après a circulls autour
de P, se reproduise, ces [j; branches de la fonction (comme c'est
facile à démontrer d'après Cauchy ou à l'aide de la série de
Fourier) peuvent être représentées par une. série procédant sui-
irani des puissances ascendantes rationnelles de s ^ P, dont les
exposants ont pour plus petit dénominateur commun u, et réci-
proquement.
Un point de la surface T, où se rattachent ensemble seuieinent
deux branches d'une fonction de telle sorte qu'autour de ce point
la première branche se prolonge en la seconde el la seconde en la
première, je le nommerai un point de ramification simple.
Un point d'une surface autour duquel celle-ci tourne sur elle-
même {[Ji + i)fois, peut alors être regardé comme formant [n. points
de ramification simples coïncidents (ou infiniment voisins).
Pour le démontrer, soient, sur une portion du plan des s
contenant ce point, s,, Sï, ■■■,Sn+i des branches uniformes de Ja
fonction s, et soient rt,, dj, ...,«n des points de ramification
simples situés sur le contour de cette portion et se suivant en cet
ordre dans le sens positif de l'encadrement. Supposons qu'un cir-
cuit décrit dans le sens positif autour de «, permute 5, el Sj, qu'un
circuit décrit dans le même sens autour de «a permute .î, et Sj, ...,
enfin qu'un circuit décrit dans le même sens autour de «p, per-
mutes, etS|t|.,. Alors, après un circuit positif autour d'un domaine
contenant tous ces points (et nul autre point de ramification),
sont remplacés par
y Google
THÉORIE BES FONCTIONS ABÉLIENSES. J I9
et, par snÎLo, lorsqu'ils coïncident, c'est un poinl <\c ramification
d'ordre |J. qui prend naissance.
Les propriétés des fonctions m dépendent essenlicllemeiit de
l'ordre de connexion de la surface ï. Pour le trouver, proposons-
nous d'abord la détermination du nombre des points de ramifi-
cation simples de la fonction s.
En un point de ramification les branches de la fonction qui se
rattachent ensemble ont la même valeur et, par conséquent, deux
ou plusieurs racines de l'équation
deviennent égales. Cela peut seiilement avoir lieu lorsque
ou la fonction uniforme de s,
Fr^^)F|^.i...F|',^j
s'évanouit. Cette fonction ne devient infinie, pourdes valeurs finies
de z, que lorsque j =: oo, el par conséquent lorsque «„ = o, et elle
doit pour rester finie être multipliée par cr"^^. C'est alors une fonc-
tion uniforme de z, qui reste finie pour toute valeur finie de z,
et qui, pour ; ^ co, devient infinie d'ordre 9.m{n — i) et c'est,
par corisiiqucnt, une fonction entière de degré ini{n — i). Les
valeurs de z, pour lesquelles F'(s) et V{s) s'évanouissent simulta-
nément, sont donc les racines de l'équation, de_degré 2m{n— i),
q(„-)-<-=J|f'(.,,=o,
ou encore, puisque F'(s,) = «„ TT (5, —s,-), [i^ i'], de l'équa-
tion
que l'on peut former en éliminant s entre
F'(.)^o ot F(s)-o.
yGoosle
20 P1tE>IIËRE PARTIE. — MEMOIRES rUBLIÉS PAR RIEJIANN.
SiF(.i, ;) = opours = «, 5 = f, o» a
;<'-""--?) + ^<'
'Os às^ "■ ' Ils as '
Par conséquent si, pour 5 ^ a, ; ^^ ^, on a
comme t'est (s — ^)', et, par conséquent, il se présente un point
de ramification simple. Dans le produit I 1 F'{5,) deux facteurs
également seront infinîmenl petits, comme l'est (- — P/j^t Q(s) a
donc (s — ^) pour facteur. Dans le cas où j- et -T-7 ne s'éva-
nouissent jamais lorsque F et — sont simultanément nuls, à chaque
facteur linéaire de Q(s) correspond alors un pointde ramification
simple et le nombre de ces points est, par conséquent,
La position des points de ramification dépend des coefficients
des puissances de s dans les fonctions a et varie avec eus d'une
manière continue.
Lorsque ces coefficients prennent des valeurs telles que deux
points de ramification simples, appartenant au même couple de
brandies, coïncident, ces points se détruisent et deux racines de
F(s) ^ o deviennent égales entre elles, sans qu'un point de rami-
fication prenne naissance.
Si, autour de chacun de ces points, s, se prolonge en s-^ et s^
en s,, alors, par l'efi'el d'un circuit autourd'une portion du plan
des z renfermant les deux points, 5| s'échange en s, els-n en s^, et
lors de la réunion des deux points les deux branches seront uni-
y Google
T«ftORlE DKS FONTTIOSS ABÉLIESNRS. 131
formes. Par conséquent, leur dérivée -r est alors uniforme et finie
et, par suite, on aura
ôz dz ôs
: a, - ^^ P, alors les trois termes
suivants du développement de F(«, ;) fournissent deux valeurs
pour
z-i^ dz ^ ' ^'
Si ces valeurs sont inégales et finies, les deux brandies de la fonc-
tions, auxquelles elles appartiennent, ne peuvent s'y réunir ni par
conséquent s'y ramifier. Alors -r- devient pour les deux branches
infiniment petite comme l'est ;: — fi, et Q{z) aura pour facteur
{c — ^y ; par conseillent seulement deux points de ramifications
simples coïncident.
Dans chaque cas, oii, pour 2 = p, plusieurs racines de l'équa-
tion F(j) 1= o deviennent égales à et, pour distinguer combien de
points de ramifications simples coïncident pour (s = a, z = p),
et combien d'entre ceux-ci se détruisent, l'on devra développer
ces racines [d'après le procédé de Lagrange ( ' )], suivant les puis-
sances ascendantes de z — p, j usqu'à ce que ces développements
soient tous difi'érents, et l'on obtiendra ainsi toutes les ramifica-
tions ayant encore une existence effective. On doit ensuite cher-
cher de quel ordre F'(s) devient infiniment petite pour chacune
de ces racines, afin de déterminer le nombre des facteurs linéaires
correspondants de Q(3), c'est-à-dire le nombre des points de ra-
mifications simples coïncidents pour j ^ a, 3 ^ p.
Si l'on désigne par p le nombre indiquant combien de fois la
surface T tourne sur elle-même autour du point (s, s), F' (s) sera
au point (s) infiniment petite du premier ordre autant de fois qu'il
s'y trouve de points de ramifications simples coïncidents, dz P
(' ) Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des
séries. {Mémoires de l'Académie de Berlin, XXIV; 1-80. Œuvres de Lagrange,
t. III, p.5.) _ (Weber.)
y Google
laa rREMitiiti; pautie. — mémoirks ri^BLiEs far riemann.
le sera autant de fois qu'il s'y présente de points de ramifications
simples effectifs, et, par suite, F'{s)dzf le sera autant de fois
que parmi les points de ramification il j en a qui se détruisent.
Désignons parwle nombre des ramifications simples effectives,
et par ar le nombre de celles qui se détruisent, oo a
Si l'on suppose que les points de ramifications coïncident seu-
lement par paires et en se détruisant, on aura, pour /■ paires de
valeurs (s = fp, = = 5p),
V paires de valeurs de s et s, l'o
]\ous nous en tiendrons, en général, à la considération de ce
dernier cas, car l'on peut aisément en étendre les résultats aux.
autres, regardés comme cas limites; et nous pouvons le faire d'au-
tant mieux que nous avons fait reposer la théorie de ces fonc-
tions sur des principes indépendants de leur forme d'expression
et qui ne sont soumis à aucune exception.
§ vu.
Maintenant, relativement à une surface simplement connexe
recouvrant une portion finie du plan des 2, la relation suivante a
lieu entre le nombre des points de ramification simples et le
nombre des circuits formés par le parcours de son contour d'enca-
drement : ce dernier nombre est d'une unité supérieur au premier;
y Google
THÉORIE l>KS FOSCTiOSS ABÉLULNMIS. 123
à l'aide de cette relation l'on peiil en tirer une autre, relative-
ment à une surface muUiplement connexe, entre ces nombres elle
nombre de sections Iransverses qui décomposent cette surface en
une surface simplement connexe.
Celle relation, indépendante au fond de toute relation métrique
et qui se rapporte à Vanalysis sitns, peut se déduire pour la sur-
face T comme il suit.
En vertu du principe de Dirichlet, sur la surface simplement
connexe T', la fonction de z, logî^ peut être déterminée de telle
sorte que ^ en un point quelconque à l'inlérieur de cette surface
soit infiniment petit du premier ordre, et que logÇ, le long d'une
ligne quelconque ne se coupant pas elle-même et allant de ce polnl
rejoindre le contour, soit plus grand de — 2tv( sur le côté positif
de cette ligne que sur le côté négatif, et soit partout ailleurs
continu et le long du contour de T' imaginaire pure. Alors la
fonction Ç prend une fols chaque valeur dont le module est <; i .La
totalité de ses valeurs sera donc représentée par une surface recou-
vrant une fois un cercle sur le plan des Ç. Atout point de T' corres-
pond donc un point du cercle et réciproquement. Par conséquent,
en un point quelconque de la surface où z = z\ '!^^='C,', la fonction
Ç ^ Ç' est infiniment petite du premier ordre et, par conséquent,
en ce point, lorsque la surface T' tourne sur elle-même [i. 4- i fois
autour de ce point, pour s' fini,
(^ + 1)
infini, c'est
qui reste fini. L'intégrale
prise dans le sens positif autour du contour total du cercle, est
égale à la somme des intégrales prises autour des points où -^ est
infini ou nul, et, par suite, est égale à 2-Ki(iv — 2/1).
Désignons par s une portion du contour de T', allant d'un seul
y Google
I2i PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PI BLIÉS PAR RIEMAN.N.
et même point déterminé de ce contour jusqu'en un point variable
de ce même contour, et par t la portion correspondante sur ic
contour du cercle ; on aura
, dz , dz , ds , dt
pour les intégrales étendues à tout le contour on aura
et, par conséquent,
On a donc alors
Or, comme
011 a, par suite,
p=(n-,)(».-i)-,'. [2|,
§ VIII.
L'expression générale des fonctions s' de s, ramifiées comme la
surface T, qui, pour m' points quelconques donnés deT, deviennent
infinies du premier ordre et qui partout ailleurs restent continues,
contient, d'après ce qui précède, m' — p -\- i constantes arbitraires
et en est une fonction linéaire (§ V). Par conséquent, si on peut,
comme on le démontrera tout à l'heure, former des expressions
rationnelles en s et z, qui deviennent infinies du premier ordre
pour m' paires de valeurs de s et z quelconques données, satisfai-
sant à l'équation F ^= o, et qui sont des fonctions linéaires de
m' — p + I constantes arbitraires, alors toute fonction s' peut être
représentée par ces expressions.
Pour que le quotient de deux fonctions entières y{s,z) et
i^{s, s) puisse prendre, pour s = co cl s ~co, des valeurs quel-
conques fioles, les deux fonctions doivent être de même degré.
y Google
THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. I BJ
Désignons donc l'expression, par laquelle ï' doit ôlre repré-
ifs. B) - T
sentee, par-i , et soient en outre yin — i , [f-^m — i. Lorsque
deux branches de la fonction s deviennent égales sans se prolon-
ger l'une dans l'autre, et lorsque l'on S, par conséquent, en deux
points distincts de la surface ï, ■0 = 1'' * =^ ^i *'i ^n général, pren-
dra des valeurs difTércnles en ces deux points; pour que l'on ail
partout i — s'-/ = o, on doit donc avoir, pour deux valeurs diffé-
rentes de s',
et, par suite,
/(Y, Ô) = o ei ^(Y,5) = o.
Par conséquent, les fonctions ■/_ et 4" s'évanouissent pour les r
couples de valeurs (s = yp, ^ = Sp) [p. lao] (').
La fonction V s'évanouit, pour une valeur de :, pour lacpielle
la fonction uniforme de z et finie pour;: fini,
est égale à Kéro; cette fonction, pour z infini, devient infinie
d'ordre wv + «pi; c'est, par conséquent, une fonction entière de
degré mv -i- «ji.
Puisque, pour les couples de valeurs (y, S), deux facteurs du
produit TTx(''i) deviennent infiniment petits du premier ordre,
et que, par conséquent, K(3) devient infiniment petit du second
ordre, alors y sera en outre infiniment petit du premier ordre pour
couples de valeurs de s et s, c'est-à-dire de points sur T.
(') Ici, comme il a été indiqué précédemment, l'on ne s'occupe que du cas où
les points de ramification de la fonction s coïncident seulement par paires en
ae détruisant. En général, les fonctions x *' 'l'i ^" "" point de T, où coïncident,
conformément au g 6, des points de ramification qui se détruisent lorsque T
tourne p fois autour de ce point, doivent devenir infiniment petites comme l'est
r'(î) dzP , afin que les premiers termes du développement suivant les puia-
riîscntcr puissent prendre des valeurs
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126 l'HIiMirillE PARTIE. — MfiMOlRES rUBI.IÉS PAR RIRflANN.
Si V > H — 1 , ij. >• wi — 1 , alors la valeur de la fonction -^ reste
Inalttîrce lorsque Ton remplace
X{s,£)^p( . , ^ )F(,,^),
OLi p est quelconque; par conscquenl, parmi les coefficients de
cette expression, il y en a
( „ + ,)(;,_„, .Hl)
qui peuvent être pris arbitrairement. Maintenant, si parmi les
(^_.:_,)(v+,)-(v-,^ + ,)(^-,« + ,)
qi(i restent, on en détermine /■ comme fonctions linéaires des
autres, en sorte que y s'évanouit pour les r couples de valeurs
(y, S), alors la fonction y^ renferme encore
. = (i^+0(v + i)-(-'~'i^O(H-'«-0-''
= „.^_„,,_(„_,)(„,_,)_^ + ,
constantes arbitraires. On a, par conscquenl,
Maintenant, si l'on choisit [i et v tels que l'on ail e > m', l'on
peut déterminer -/ de telle sorte que, pour m' couples de valeurs
quelconques donnés, cette fonction devienne infiniment petite du
premier ordre, et alors, lorsque m'>jO, l'on peut disposer de à,
de façon que ;■- reste finie pour toutes les autres valeurs res-
tantes.
En effet, -^ est également une fonction linéaire bomog-ène de
£ constantes arbitraires, et, par conséquent, on peut, lorsque
e — i + flî' > I , déterminer i — m' d'entre elles comme fonctions
linéaires de celles qui restent, en sorte que -t^ s'évanouit égale-
ment pour les i — m' couples de valeurs de s et r pour lesquels ■/
est encore infiniment petit du premier ordre, La fonction i ren-
ferme donc
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constantes arijii
toute fonclion s
§ IX.
Comme les fonctions -=— sont des fonctions a]^é^riques de ::
ramifiées comme l'est s, elles peuvent, en vertu de la propasilion
qui \ient d'être démontrée, s'exprimer rationnellement en s et z,
et toutes les fonctions w peuvent être représentées eomme inté-
grales de fonctions rationnelles de s et z.
Si l'on désigne par «■ une fonction w qui est partout finie,
-j— sera infinie du premier ordre en chaque point de ramification
simple de la surface T, puisque (/(v et {dzY y sont infiniment
petits du premier ordre, mais partout ailleurs elle reste eonlinue,
et, pour 5 = oD, elle est infiniment petite du second ordre. Réei-
proquement, l'intégrale d'une fonction qui se comporte ainsi de-
meure partout finie.
Pour exprimer cette fonction -j- comme quotient de deux fonc-
tions entières de s et z, l'on doit (d'après le § VII), prendre pour
dénominateur une fonction qui s'évanouit en les points de rami-
fications et pour les r cou pies de valeurs (y, 5). On remplira cette
condition de la manière la plus simple en prenant une fonclion
qui s'annule pour ces seules valeurs et
_ =«(,«ï'^->-4-n,(«-i)s"-^ + .,.-o„-,
est une telle fonction.
Cette fonction, pour s infini, devient infinie d'ordre (n — a)
(puisque i7„ est alors infiniment petit du premier ordre), et, pour
z infini, elle devient infinie d'ordre m.
De plus, ~ devant, hormis en les points de ramification, rester
fini, et, pour z infini, être infiniment petit du second ordre,
le numérateur doit être, par conséquent, une fonclion entière
F("s , z ), qui s'évanouit pour les /■ couples de valeurs (y. S)
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PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PL'BMÉS I
J Os J dz
OLi tp = pour s — Ypi -= = ^p) ^'^^'^ p = I, 2, . . ,, /■.
La foûclion tp renferme (n — i) {m — i) coefficients constants,
et lorsque /■ d'entre eux sont déterminés comme fonctions linéaires
de ceux qui restent de telle sorte que ^ = o pour les ;■ couples
de valeurs .î^ y, ^ = 3, alors il en reste encore (m ^ i)(n — i) — r,
c'est-à-dire /», qui sont arbitraires et cp prend ainsi la forme
ai pc
!nts for m
spécial de cette fonction. Par conséquent, toutes les fonctions qui
deviennent infinies du premier ordre pour moins de jt» + 1 points
de la surface T peuvent être représentées sous la forme i^> on
sous la forme -j— (j^' lorsque iv'" et iv*^' sont deux intégrales par-
tout finies de fonctions rationnelles de s et ;,
iXI.
Une fonction a, de z, ramifiée comme T, qui devient infinie du
premier ordre pour /i, points de cette surface est, en vertu de ce
qui précède (p. 1 16), racine d'une équation de la forme
et, par suite, prend chaque valeur pour «, points de la surface T.
Par conséquent, lorsque l'on s'imagine chaque point de T repré-
senté par un point d'un plan représentant géométriquement la va-
leur de s, en ce point, la totalité de ces points forme une surfaceT,
recouvrant partout n^ fois le plan des 3|, surface qui est, comme
l'on sait, une représentation, semblable en les plus petites parties,
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l3o PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS I
de la surface T. A chaque point d'une de ces surfaces correspond
aîors un point unique de l'autre. Les fonctions w, c'est-à-dire
les inlégrales de fonctions Ae z, ramifiées comme l'est T, se trans-
forment alors, lorsqu'au lien de Z, on introduit s, comme gran-
deur variable indépendante, en fonctions qui sur la surface T, ont
partout une valeur w«(^i;e déterminée et ont mêmes discontinuités
que les fonctions w aux points correspondants de T, et qui, par
suite, sont des intégrales de fonctions de z^, ramifiées comme
l'est T, .
Si l'on désigne par j, une autre fonction quelconque de z, ra-
mifiée comme l'est ï, qui, pour m, points de T et par suite aussi
de T| , devient infinie du premier ordre, alors (§ V) entre 5, els, ,
a lieu une équation de la forme
où F| est une puissance d'une fonction entière irréductible de s^,
^1 , et l'on peut, lorsque cette puissance a pour exposant l'unité,
exprimer rationnellement en St et Zi toutes les fonctions de z, ra-
mifiées comme l'est Ti, et, parsuile, toutes les fonctions ration-
nelles de j et a (§ VIII).
L'équation F(j, 3) = o peut donc, à l'aide d'une transformation
rationnelle, être transformée en F, (5,, z^) ^ o et vice versa.
Les domaines des grandeurs {s, z) et (j|, S)) ont donc même
ordre de connexion, puisqu'à chaque point de l'un correspond un
point unique de l'autre. Si l'on désigne donc par /■, le nombre
des cas oli s, et 3,, pour deux points différents du domaine des
grandeurs {s,, s,), reprennent tous deux la même valeur, cas où,
par suite, on a simultanément
Fi, — -- et Y^ = o
on doit avoir nécessairement
yGoosle
THÉORIE nv.S FONCTIONS ABÉLIENNKS
§ XII.
On considérera maintenant, comme faisant partie d'une même
classe, toutes les équations algébriques irréductibles entre deux
grandeurs variables, qui peuvent être transformées les unes
dans les autres par des substitutions rationnelles ; de la sorte
V{s.z)^o et F,(s„=,)-o
apparliennenl à la même classe lorsque l'on peut remplacer s et ;
par des fonctions rationnelles de s, et g,, telles cjue F{î,3) = o se
transforme en F, (si , S|) =1; o, S| et s, étant également des fonc-
tions rationnelles de s et ;,
Les fonctions rationnelles de s et 3, considérées comme fonc-
tions de l'une quelconque Ç d'entre elles, forment un système de
fonctions algébriques à mêmes ramifications.
De cette manière, toute équation conduit évidemment à une
classe de systèmes de fonctions algébriques à mêmes ramifications
qui, par l'introduction d'une fonction du système comme gran-
deur variable indépendante, sont transformables les unes dans les
autres, et cela en sorte que toutes les équations àJune classe con-
duisent à la même classe de systèmes de fonctions algébriques ; et
réciproquement (§ XI), tonte classe de pareils systèmes conduit à
une classe d'équations. Si le domaine des grandeurs (j, s) est
{•Ap + i) fois connexe et si la fonction "Q devient infiniment petite
du premier ordre en jt poin ts de ce domaine, le nombre des valeurs
de ramification des fonctions de X„ à mêmes ramifications, qui sont
formées par les autres fonctions rationnelles de j et s restantes, est
égal à 2(0.4-/' — 1), et le nombre des constantes arbitraires que
renferme la fonction X^ est a[i.~jO + i (§ V). Ces constantes
peuvent être déterminées de telle sorte que ajA — jD -}- 1 valeurs
de ramification prennent des valeurs données, quand ces valeurs
de ramification sont des fonctions indépendantes entre elles de
ces constantes, et cela seulement d'un nombre fini de manières,
puisque les équations de condition sont algébriques. En chaque
classe de systèmes de fonctions à mêmes ramifications et {?.p 4- 1 )
y Google
fois connexes il existe donc un nombre fini de sjslèmes de fonc-
tions à [A valeurs, pour lesquels a[A— /i-f-i valeurs de ramifi-
cation prennent des valeurs données. D'autre part, lorsque les
2([JL+/>^i) points de ramification d'une surface (sjP -!- i') fois
connexe, recouvrant partout [x fois le plan des Ç, sont donnés ar-
bitrairement, il existe toujours alors (§ IIT-V) un système de fonc-
tions algébriques de Ç, à mêmes ramifications que cette surface.
Les 3/5 — 3 valeurs de ramification restantes en ces syslonies
de fonctions à mêmes ramifications et à [/. valeurs peuvent donc
prendre des valeurs quelconques; par conséquent, une classe de
systèmes de fonctions ù mêmes ramifications et (a/>+ i) l'ois con-
nexes et la classe d'équations algébriques qui lui appartient, dé-
pendent de 3/1 — 3 grandeurs variant d'une manière continue, qui
seront nommées les modules de la classe.
Cette détermination du nombre des modules d'une classe de
fonctions algébriques (a/> -!- i) fois connexes, est valable seule-
ment dans riiypotbèse faite qu'il y a 2;jl — p -j- i valeurs de rami-
fication qui sont des fonctions, indépendantes entre elles, des
constantes arbitraires que renferme la fonction Z,. Cette bypo-
thèse ne se trouve juste que lorsque l'on a /j > i ; le nombre des
modules est alors égal à 3/> — 3 ; mais, pour^ = i , ce nombre est
égal à I . La recberche directe de ce nombre est difficile à cause
du mode suivant lequel les constantes arbitraires entrent en v
Pour déterminer le nombre des modules, on introduira, comme
grandeur variable indépendante daiis un système de fonctions
(2/* + ') fois connexes à mêmes ramifications, non une de ces
fonctions mômes, mais une intégrale partout finie d'une telle fonc-
tion. Les valeurs que prend la fonction w de 3 sur la surface T'
seront représentées géométriquement par une surface recouvrant
une ou plusieurs fois une partie finie du plan des (v, surface que
nous désignerons par S et qui est une représentation (semblable
en les plus petites parties) de la surface T'. Comme la valeur de w
sur le bord positif de la v"^"'* section transverse surpasse de la
constante additive k'"^ la valeur qu'elle prend sur le bord né-
gatif, le contour d'encadrement de S est formé de paires de courbes
parallèles qui sont la représentation de la même portion du sys-
tème de sections qui figurent l'encadrement de T', et la dilFérence
de situation des points correspondants sur les portions parallèles
y Google
THÉORIE DES PONCTIONS ABÉLIENNES. l33
de l'encadrement de S, qui sont la représentation de ia v'™' sec-
lion transverse, sera exprimée par la grandeur complexe A''''. Le
nombre des points de ramification simples de la surface S est
•ip^i, puisque i^M' est infiniment petit du second ordre enip — 2
points de la surface T. Les fonctions rationnelles de s et 3 sont
alors des fonctions de w qui, pour chaque point de S, ont une
valeur unique variant d'une manière continue partout oii elles
ne deviennent pas infinies, et qui reprennent la même valeur
aux points correspondants sur les portions parallèles d'encadre-
ment. Elles forment donc un système de fonctions de (V à mêmes
ramifications et 2/>-uplemenl périodiques. Maintenant (par une
voie analogue à celle dn § III-V) on peut, les ip — 2 points de
ramification et les ^p difi'érences de situation des portions pa-
rallèles d'encadrement de la surface S étant par hypothèse don-
nés arbitrairement, démontrer qu'il existe toujours un système
de fonctions à mêmes ramifications que cette surface, qui, ans
points correspondants sur les portions parallèles d'encadrement,
reprennent la même valeur et sont, par conséquent, aj^-uple-
ment périodiques et qui, regardées comme fonctions de l'une
d'entre elles, forment un système de fonctions algébriques
{ip-\-\) fois connexes à mêmes ramifications et conduisent par
suite à une classe de fonctions algébriques { 2/) -i- 1) fois connexes.
En effet, en vertu du principe de Diricblet, une fonction de tv
est déterminée sur la surface S, à uneconstante additive près, par
ces conditions : à l'intérieur de S elle admettra des disconlinuilés
quelconques données de même forme que celles de usur T',elaux
points correspondants sur les portions parallèles d'encadrement
elle prendra des valeurs qui diffèrent de constantes dont la partie
réelle est donnée. On conclut de cela, comme on l'a fait d'une ma-
nière analogue au § V, la possibilité d'existence de fonctions qiii
ne deviennent discontinues qu'en des points isolés de S et qui re-
prennent la même valeur en les points correspondants sur les por-
tions parallèles d'encadrement. Si une telle fonction z est infinie
du premier ordre en n points de S et n'est discontinue nulle part
ailleurs, elle prend alors chaque valeur complexe en n points
de S; en effet, a désignant une constante quelconque, l'inté-
^raiej'd log{3 — a), prise autour de S, est nulle, les intégrales
prises le long de parties parallèles de l'encadrement se détruisant,
y Google
l3.'| PREMrÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIES PAR HIEUANN.
el z — a devient donc sur la surface S autant de fois infiniment
2>eLit du jiremier ordre qu'il y devient de fois infiniment grand
du premier ordre. Les valeurs que prend s seront, par suile, re-
présentées par une surface recouvrant partout rt fois le plan des;,
et les autres fonctions de «' ramifiées de même et périodiques for-
ment donc un système de fonctions algébriques de «, (2/> + i)
fois connexes, à mêaies ramifications que la surface, ce qu'il fallait
démontrer.
Maintenant, étant donnée une classe quelconque de fonctions
algébriques, (2/» -H 1) fois connexes, l'on peut, dans la grandeur
que l'on inlroduiracommevariableindépendante, déterminer elles
grandeurs a, de telle sorte que, parmi 2/> modules de périodicité,
p d'entre eux prennent des valeurs données, et la constante c, lors-
que /> est >. I , de telle sorte qu'une des 2p — 2 valeurs de ramifi-
calion des fonctions périodiques de w ait une valeur donnée. De
cette manière w est complètement déterminé et, par conséquent,
les 3p — 3 grandeurs restantes dont dépend le mode de ramifica-
tion et la périodicité de ces fonctions de w le sont aussi; et, puis-
(ju'à des valeurs quelconques de ces 3/) — 3 grandeurs corres-
pond une classe de fonctions algébriques, (a/>-l-i) fois connexes,
une telle classe dépend de 5p — 3 grandeurs variables indépen-
dantes.
Lorsque/) ^ 1 , i! ne se présente pas de points de ramifications,
et, dans l'expression
la grandeur a, peut être déterminée de telle sorte c\uun des mo-
dules de périodicité prenne une valeur donnée, et l'autre module
de périodicité est déterminé par cela même.
Le nombre des modules d'une classe est, par conséquent, dans
y Google
TLIÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENNES.
i xni.
D'après les principes précédents de la transformation {dévelop-
pés au § XI), pour transformer, par une substitution rationnelle,
une équation quelconque donnée F(.(, z) ^^ o en une équation
de la même classe et du degré le plus petit possible, on doit d'a-
bord déterminer pour s, une expression r(s, z), rationnelle en s
et s, telle que «i soit aussi petit que possible, puis déterminer
également pour s, une autre expression rationnelle r'(s, s) de
telle sorte que m, soit le plus petit possible et qu'en même temps
les valeurs de s, , correspondant à une valeur quelconque de z, ,
ne soient pas distribuées en groupes de valeurs égales entre elles,
de manière que F, (j,, ;,) ne puisse être une puissance d'une fonc-
tion irréductible supérieure à la première.
Lorsque le domaine des grandeurs (s, z) est {-ip -^ ]) (ois
connexe, la plus petite valeur que puisse prendre n, est, d'une
:f-.. (IV),
et le nombre des cas où S) et z, prennent tous deux la même va-
leur pour deux points différents du domaine de grandeurs est
égala
(n,-i)(m,-i)-_p.
Dans une classe d'équations algébriques entre deux grandeurs
variables, lorsque les modules de la classe ne sont pas astreints à
vérifier des équations de condition particulières, les équations
du degré minimum ont, par conséquent, la forme suivante :
Pour p ^ I Fil,l] =0, rrr-.o.
F('J, = )
yGoosle
;36 PKEMltRE PARTIE. — MÉMOIRES PIULIÉS PAR RIEMAKN.
Parmi les coefficients des puissances de j cL ; dans les fondions
entières F, l'on doit en déterminer ;■ comme fonctions linéaires
, , . ■ I àF dF ,,
homogènes de ceux qui reslenl tels que -- et — s évanouissent
simultanément pour r couples de valeurs satisfaisant à l'éc|uatîon
F^o. Les fonctions rationnelles de s et 3, considérées comme
fonctions de l'une d'entre elles, représentent alors tous les sys-
tèmes de fonctions algébriques (■!/> + i) fois connexes.
Je ferai maintenant usage, d'après Jacobi (') {Journ.de Crelle,
vol. 9, n" 32, § VIII), du théorème d'addition d'Abel pour l'inté-
graiion d'un système d'équations différentielles. Sur ce point, je
m'en tiendrai à ce qui sera plus tard nécessaire dans le cours de
cette étude.
Lorsque dans une intégrale w, partout finie, d'une fonction ra-
tionnelle de s et a on introduit comme grandeur variable in-
dépendante une fonction rationnelle i^ de 5 et s, qui, pour m
couples de valeurs de s et z, devient infinie du premier ordre,
alors -^ est une fonction de i^ à ni déterminations. Si l'on dé-
signe les m valeurs de iv pour le même "C par n'<'>, iv'-', .... iv''"'.
(/■i-iw
dx^'"'
cnl uneionction uniforme dcî^ dont l'intégrale reste partout finie,
el, par conséquent, l'intégrale
/'
di^
est aussi partout uniforme et finie et, par suite, égale à u
stante. D'une manière analogue, on trouve que, w"', w
id*'"' désignant les valeurs, correspondant an même i^, d'u
(!) OEuvrcf:, t. I[, |). <~j. — f W. ctD.)
y Google
IHÉOniE DES FONCTIONS ABÉLIRN'NES. l3j
grale quelconque oi d'une foncLloii rationnelle de s et;, l'intégrale
est déterminée, à une constante addiiive près, au moyen des dis-
continuilés de w, ei cela sous la forme d'une somme d'une fonc-
tion rationnelle de î^ et de logarithmes de fonctions rationnelles
de C afPectés de coefricients constants.
A l'aide de ce théorème, comme il le sera démontré bientôt,
on peut intégrer, d'une manière générale ou complète, les /> équa-
tions différenli elles simultanées entre les /) + i couples de va-
leurs (j|, :,), (.So, 3j), . . ., {sp^,,Zp^,) de i et 3 satisfaisant à l'é-
quation F{s, z) ^ 0,
0Ù«=I,2, ...,/>. ^
A l'aide de ces équations différentielles, parmi les couples de gran-
deurs (sp^iZii),/» d'entre eux sont complètement déterminés comme
fonctions de l'un des couples qui reste, lorsque, pour une valeur
quelconque de ce dernier, les valeurs des autres sont données.
Par conséquent, lorsque l'on détermine ces /> H- i couples de
grandeurs comme fonctions d'une unique grandeur variable (^, de
telle sorte que, pour la même valeur zéro de cette grandeur, elles
prennent des valeurs initiales (s", ="), {s",z?^), .... (/"^.i- s" ,)
quelconques données et satisfont aux équations différentielles,
on a ainsi par cela même intégré les équations différentielles d'une
manière générale. Maintenant la grandeur y peut toujours être
déterminée comme fonction uniforme et, par suite, rationnelle
de (5,3), de telle sorte qu'elle soit infinie seulement, et cela seule-
ment du premier ordre, pour la totalité ou une partie des (/» -i- 1 )
couples de valeurs {s|[, s^), puisque, dans l'expression
les rapports des grandeurs a ot [3 peuvent toujours être déter-
y Google
l38 THEMIÈBE PARTIE. — UËHOIHËS FUBUÉS I
minés en sorte que les modules de périodicité soient tous égaux
à zéro. Alors, lorsqu'aucun des p n'est égal à ïéro, les (p + i)
branches des fonctions j et z de i^, fonctions de !^ à mêmes ramifica-
tions et à/5 -!- 1 déterminations, (s,, z,), (.«a, ^a). (v+i' "/>+')'
qui, pour Ç = o, prennent les valeurs (s", :"), (s'^, z^), . . -,
(5" ,, s" ), satisfont aux équations différentielles à résoudre.
Mais, lorsque parmi les grandeurs ^, certaines d'entre elles, par
exemple les p -i- 1 — m dernières, sont égales à zéro, alors les
équations différentielles à résoudre sont satisfaites par les m
branches des fonctions, à m déterminations s et z, de Ç, (s, , s, ),
(sa-Sï) (-î™. s„,) qui, pour i; = o, sont égales à (sj, <),
(.«*,3"). . . ., (s^, 3"„), et par des valeurs constantes des gran-
deurs îra+i, c,„+,. . . .; 5/,+!, Sp+i, c'est-à-dire, parconséqiient, par
leurs valeurs initiales s"^^, , s",^, . ...; s* ,,2" ,. Dans ce der-
nier cas, parmi les p équations linéaires homogènes
, /> + I — «i d'entre elles
conséquence de celles qui restent. Cela fournil donc /) H- 1 — m
équations de condition qui doivent, pour que ce cas se présente,
avoir lieu entre les fonctions {s,, s,), (sî, 2^), ■■ -. {sm-,^m) et, par
conséquent, aussi entre leurs valeurs initiales (s"i="), (■'■'". s"), ■■■,
(sniiS?,,); par suite, comme on l'a déjà trouvé au § V, parmi
celles-ci, 2/w — p — 1 seulement peuvent être données arbitrai-
rement.
g XV.
Désignons mainlenant Tinlégralc
f
prise à Tinléricurde la surface V, par w^, et le module de pério-
y Google
THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENHES. iSq
dicitc de tv^, relatif à la v"'"'^ section transverse, jiar/fiï'; de la
sorte les fonctions iv,, (Vj, ..., Wp du couple de grandeurs (s, s),
lorsque le poinl (5, s) passe du bord négatif au bord positif de la
v'™* section transverse, éprouvent simultanément un accroisse-
ment de k''^\ A'j", . . ■ , k'p. Pour abréger le langage, l'on dira qu'un
système de p grandeurs (i, ,63, .... bp) est congru à un autre
((2i, «21 ■ ■ ■ 5 ^p) relativement à zp systèmes de modules conju-
gués, lorsqu'il peut êlre déduit de cet autre système par l'addition
simultanée de modules conjugués (zusammengehôriger) k tous
les éléments respectifs de ce système.
Ainsi, si le module de la ti'''"'^ grandeur dans le v'*'""^ système
est A-^ï', on dira que
(^'1,''. bi.)^{a„a„ ....a„),
lorsque l'on a
.-2"
,i!.-^'
où t: ^ 1, 2, . ..,/7, ni), m;, . . ., m^p étant des nombres entiers.
Comme /7 grandeurs quelconques, a,, a^, ■ ■ ., Up peuvent tou-
forme
de telle sorte que les 2p grandeurs ^ soient réelles, et comme en
faisant varier ces grandeurs ^ de nombres entiers l'on obtient tous
les systèmes congrus à ce système de grandeurs ti,, a, . . ., «^ et
ceux-ci seulement, l'on obtient alors un système, et un seul, de
chaque série de systèmes congrus, lorsque, dans ces expressions,
l'on fait varier d'une manière continue chaque grandeur ^, en lui
faisant prendre successivement toutes les valeurs depuis une gran-
deur quelconque jusqu'à une grandeur qui la surpasse de [, iine de
ces deux limites étant comprise dans l'intervalle.
Ceci posé, des équations différentielles précédentes ou des
p équations
y Google
l4o PMEUIÈUE l'AllIIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR nlEMANN,
l'on lire, par intégration,
[2* S»?', -...!:<']-<-«. ->.■
où les C|, Co, .. ., Cp sont des grandeurs constantes qui dépendent
des valeurs (s'^, z").
Si l'on exprime ^ comme quotient ^- de deux ionctions entières
de s et 3, les couples do grandeurs (ai, 2|), ■ . - , (.î„(, z„,) sont les
raeines communes des équations
Puisque la fonction entière
s'évanouit pour tous les couples de valeurs pour lesquels 7 et -b
s'évanouissent simultanément, quel que soit X,, alors les couples de
grandeurs {5(,«,}, ...,(sn!,5„i)peuvent être aussi définis comme des
racines communes à l'équation F:z=o eiàune équationy(j,i) = o,
dont les coefficients varient de telle sorte que toutes les autres
timunes demeurent constantes. Lorsque l'on a
m
1,1, a.,.
..p)
soient satisfaites, est résolu d'une manière absolument générale
quand, pour ces 2/) — 2 couples de valeurs, l'on choisit les racines
communes aux deux équations F:= o, i:p ^= o, qui sont différentes
des r racines s = ^p, 2 = 3p (§ VI), c'est-à-dire les 'ip — 2 couples
de valeurs pour lesquels dtv devient infiniment petit du second
ordre; de la sorte le problème n'admet qu'une solution unique.
De pareils couples de grandeurs sont dits associés par l'entremise
de l'équation '^ ^ o. Gomme conséquence dos équations
le svstènte
les sommes s'étendant aux couples de grandeurs (associés), est
congru à un système
c„)
de grandeurs constantes, où Cj: dépend seulement de la constante
additive dans la foiletion (v^, c'est-à-dire de la valeur initiale de
l'intégrale exprimant cette fonction,'
y Google
PREMIÈRE PARTIE. ~ MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIËMASN.
SECTION II.
s xvil.
Pour l'étude uUérieiire des intégrales de fonctions algébriques
(■jn-j-i^ fois connexes, il sera d'une grande utilité de consi-
dérer une série S/>-iiplement infinie, c'est-à-dire une série />-uple-
inent infinie où le logarithme du terme général est une fonction
entière du second degré des indices. Dans cette fonction, pour un
terme dont les indices sont m, , m^, . . . , nip, nous désignerons le
coefficient du carré m^ par «|i,„, celui du double produit /n^^m^i^
par «ji^i^'^ ^'ii', |ii celui du double de la grandeur in^^ par Cj,., et le
terme constant sera pris égal à zéro. La somme de la série, éten-
due à tontes les valeurs entières positives ou négatives des gran-
deurs m, sera regardée comme une fonction des p grandeurs f ,
et nous la désignerons par 3(i'), v^, ■ • ■ , i'p), de sorte que l'on a
"-U
■.(f)'--.^-----l>"
où les sommations dans l'exposant se rapportent à [i et |j.', et
celles du signe extérieur à m,, /«a, .... m^. Pour que cette série
(?)'
soit convergente, la partie réelle de I V ) ai^^'m^mp.- doit être
essentiellement négative, c'est-à-dire que, représentée comme une
somme de carrés positifs ou négatifs de fonctions réelles linéaires
indépendantes entre elles des grandeurs m, elle doit être com-
posée de/i carrés négatifs.
La fonction 3 jouit de cette propriété qu'il existe des systèmes
d'accroissements simultanés des valeurs des p grandeurs c, pour
lesquels log3 ne varie que d'une fonction linéaire des gran-
deurs i', et le nombre de ces systèmes indépendants entre eus
(c'est-à-dire aucun d'eus n'étant une conséquence des autres)
y Google
THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. 11(3
est ip. En effet, en négligeant d'éerive sous le signe fonction-
Del & les grandeurs i', qui n'éprouvent pas de changenient de va-
leur, l'on a, pour [j: ^ i , 2, . . ., p,
(■1) 3 = S(tv + 7T.-)
et
(3) Sr = e!"^+.^^.i.&(<',-Ha,,n,<'î+as,ti, . . . , Cp+ «„,^),
comme cela se voit de suite, lorsque dans la série S l'on change
l'indice m^^ en m^+ 1, opération qui, sans en altérer la valeur,
lui fait prendre la forme dans le second membre de (3).
La fonction S est déterminée, à \\n facteur constant près, et par
ces relations, et par la propriété dont elle jouit de rester partout
finie. En effet, par suite de cette dernière propriété et des rela-
tions (2), c'est une fonction de e^"', e*"', . . . , e-",' uniforme et
finie pour les f finis, et, par conséquent, c'est une fonction déve-
loppable en une série p-uplement infinie de la forme
lefficients constants A. Mais des relations (3) l'on tire
M'^
On peut donc employer ces propriétés de ta fonction pour la
définir. Les systèmes des accroissements simultanés des valeurs
des grandeurs f , par l'effet desquels logS ne varie que d'une fonc-
tion linéaire, seront dits systèmes des modules de périodicité
conjugués des grandeurs variables indépendantes dans celte fonc-
tion 3.
yGoosle
- MÉMOIRES PL'ItLlÉS PAR RIEMAS.V.
i XVIII.
Je substituerai maintenant aiix/> grandeurs C), v^, ---, Vp, p in-
tégrales H,, u^,...,Up, reslanL toujours finies, de fonctions ration-
nelles d'nne grandeur variable ;; et d'une fonction algébrique s,
{ip + i) fois connexe, de cette grandeur z, et aux modules de pé-
riodicilé conjugués des grandeurs v je substituerai des modules
de périodicité conjugués (c'est-à-dire qui sont relatifs à la même
section transverse) de ces intégrales, de telle sorte qu'ainsi logS
est transformé en une fonction d'une variable unique z qui \arie
d'une fonction linéaire des grandeurs u lorsque s et s reprennent
la même valeur après une variation continue de z.
Il s'agit d'abord de démontrer qu'une telle substitution est pos-
sible pour toute fonction s de s, (2/) -i- i) fois connexe. A cet
effet, la décomposition de la surface T doit être pratiquée à l'aide
de 2/) sections a, ,a-,, . . . , ap, bt,b-., . ..., bp revenant sur elles-
mêmes de manière à remplir les conditions suivantes :
Lorsque l'on choisit it,, Mo, . .. , Up, de façon que le module de
périodicité de u^, relatif à la section a^, soît égal kvi. et que, re-
lativement aux autres sections a, les modules de périodicité de i/^
soient nuls, alors, le module de périodicité de u^i, relatif à la sec-
tion ivi étant désigné par «^^j,, l'on devra avoir
et la partie réelle de
devra être négative pour tontes les valeurs réelles (entLères)des />
grandeurs m.
§ XIX.
La décomposition de la surface T ne sera pas pratiquée, comme
on l'a fait jusqu'ici, à l'aide seule de sections Iransverses revenant
sur elles-mêmes, mais de la manière suivante. On pratiquera d'a-
bord une coupure «, revenant sur elle-même et ne morcelant pas
y Google
THÉORIE DES FO:*nTIONS AEÉLIESSES. 140
la surface, puis on découpera une section transverse i,, partant
du bord positif de ai et rejoignant aii point de départ le bord né-
gatif de cette même coupure, ce qui forme un contour d'enca-
drement d^une seule pièce. Ensuite, l'on pourra pratiquer une
troisième section transverse (lorsque la surface n'est pas encore
rendue simplement connexe), parlant d'un point quelconque de
ce contour pour rejoindre un autre point quelconque du contour
d'encadrement, poiutqui, par conséquent, peut être aussi situé sur
le parcours antérieur de cette section transverse. On adoptera ce
dernier mode d'opération; de la sorte celte section transverse
est formée par une ligne a^ revenant sur elle-même et par une por-
tion c, , parcourue avant cette ligne et la rattachant au système de
sections précédent. La section transverse suivante b> sera menée
depuis le bord positif de a-^ jusqu'au point de départ sur le bord
négatif, et le contour d'encadrement formé jusqu'ici est encore
d'une seule pièce.
La décomposition ultérieure, lorsqu'elle est nécessaire, sera
de nouveau encore formée par deux sections a^ et b^, issues des
mêmes points et y aboutissant, et par une ligne de rattachement c^,
réunissant le sysième de lignes «a et b^ à ces lignes «3, 63. Si
l'on continue ce procédé d'opérations jusqu'à ce que la surface
devienne simplement connexe, l'on obtient un réseau de sec-
tions formé par/) paires de deux bgnes, a, et b,, a^el b^, •■•, dp
et bp, commençant et finissant respectivement en un même point,
et par p — i lignes c, , c^, . . . , Cp^, qui rattachent chaque paire à
la suivante. La ligne de rattachement Cv pourra être menée d'un
point de b^ à un point de «V4.i- Le réseau de sections sera alors
regardé comme pratiqué ainsi : la (av — 1)'"""^ section transverse
sera formée par la combinaison de la ligne c^_\ et de la ligne a^,
partant de l'estrémité de Cv_i poiir y revenir, et la aw"'"'* section
transverse sera formée parla ligne b^. partant du bord jOo«a/ de «v
pour revenir en a^ sur le bord négatif. Le contour d'encadre-
ment de ia surface est ainsi, après un nombre pair de sections,
formé ^iine seule pièce; après un nombre impair de sections, il
est formé de deux pièces.
Une intégrale w, partout finie, d'une fonction rationnelle de s
et z reprend alors la même valeur sur les deux bords d'une ligne c.
En effet, tout l'encadrement antérieur est formé d'i(/»e ie«/e pièce.
y Google
l46 l'ItEMEÈIlE PARTIE. — MÉMOIRES PlltLlÉS PAR RIE^IA^^.
et, dans l'Intégralion prise le long de celui-ci et partant d'un bord
de la lignée pour revenir en l'autre bord, rinlégralerrfiv est prise,
relativement à chaque élément de section pratiquée précédem-
ment, deux fois et en sens contraires. Une telle fonction est donc
partout continue sur la surface T, hormis en les lignes a et b.
La surface T décomposée ainsi par toutes ces lignes nous la dé-
signerons par T".
§ XX.
Soicntniaintcnant W),iV2, ...,tTp de pareilles fonctions indépen-
dantes entre elles; soient A'j^' le module de périodicité de iVp, relatif
à la section transverse avelB'|]|*celui relatif à la section transverse ^v-
Alors l'intégrale JWjirfifii', prise positivement autour de la sur-
face T", est =; o, puisque la fonction sous le signe d'intégration
est partout finie. Pendant cette intégration, chacune des lignes a
et b est décrite une fois dans le sens positif, une fois dans le sens
négatif et pendant l'Intégralion, lorsque ces lignes servent de con-
tour au domaine dont l'encadrement est décrit dans le sens positif,
il faut prendre pour iVula valeur sur les bords positifs, valeur que
l'on désignera par (vj, tandis qu'au cas opposé on devra prendre
la valeur sur les bords négatifs, valeur que l'on désignera par iv".
L'intégrale est, par conséquent, égale à la somme de toutes les
intégrales /((vjt — M'j;r)<^^*'|i' relatives aux lignes a etb. Les lignes ô
mènent du bord positif au bord négatif des lignes «, et, par suite,
les lignes a mènent du bord négatif au bord positif des lignes b.
L'intégrale prise le long de la ligne a„ est donc égale à
ft^l^dw^. = a;;" fdwy. --= A|;iB|;'j ;
l'intégrale prise le long de b^
= /"b|;i dw^- = — Bj;i A'^; .
L'intégrale / iVp, <^W|i', prise dans le sens positif autour de la
surface T", est donc égale à
y Ajl^'Ef':— Ii;;''A'jj^.',
y Google
THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENSES. 1^7
el, par suiLe, cette somme est égale à zéro. Cette dernière relation
a lieu pour chaque combinaison de. deux fonctions tv, , iv.^, ..., -Wp
et elle fournit, par suite, ^-^-; — relations entre leurs modules
de périodicité.
Lorsque, pour les fonctions iv, l'on prend les fonctions u, c'est-
à-dire qu'on les choisit de telle sorte que A*^', pour j* différent de v,
soit nul et que A^' soit égal à Tti, ces relations se transforment en
Il reste encore à démontrer que les grandeurs a possèdent la
seconde propriété que nous avons précédemment trouvée être
nécessaire.
Posons
et, pour le module de cette fonction, relatif à la section trans-
verse flv, posons
et, pour celui relatif à la section b.„
B.')dy relatives aux lignes a
el 6. L'intégrale relative à la ligne a^ est égale à a.^ fd-/ = avS„,
l'intégrale relative à la ligne b-, est égale à t'ifd-i = — ^vY'" ^^'
par suite,
/[(Ê)'^ (!)■]- ^|<-=-^>''
Cette somme est donc toujours positive.
On en tire la propriété des grandeurs a, qu'il s'agit de dcmon-
trer, en remplaçant w par
En effet, alors
par suite, ay est toujours égal à zéro, et l'on a
c'esl-à-dire que l'intégrale est égale à la partie réelle de
expression qui, par conséquent, est positive pour toutes les va-
leurs réelles des grandeurs m.
§ XXII.
Dans la série &[i i); § ^VIl] remplaçons maintenant a^^^- par
le module de périodicité de la fonction u^ relativement à la con-
pure ôp;', et en désignant par ej, e^, . . ., ep des constantes quel-
conques, remplaçons v^ par u^ — ey_; on obtient alors une fonc-
tion de s déterminée et uniforme en tout point de ï,
S[(ti— e,, «î— Ei, .. .. «^— e,,),
qui, sauf en les lignes 6, est eonlinue et finie et qui, sur le bord
y Google
TEIÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. l49
positif de la ligne 6.„ csl (e ■^'"■•"^"*)-fois plus grande qu'elle ne l'est
sur le bord négatif, lorsque ron attribue aus fonctions u sur les
lignes b elles-mêmes la moyenne des valeurs qu'elles prennent sur
les deux bords. Le nombre de points de T', c'esl-à-dirc le nombre
de paires de valeurs de * et 2 pour lesquelles cette fonction devient
infiniment petite du premier ordre, peut être déterminé parla con-
sidération de l'intégrale /rflogS, prise* positivement autour du
contour de T'. Eu effet, cette intégrale est égale au nombre des
points en question multiplié par airi. D'autre part, celte intégrale
estégaieàla somme des intégrales y ((;iogSri- — 6;iogS") relatives
à toutes les lignes de section a, b et c. Les intégrales relatives aus
lignes a et c sont égales à o, mais l'intégrale relative, à b^ est
égale à — 2 f du^^^ aici, et, par conséquent, la somme de toutes
les intégrales est égale à pir^i. La fonction S sera donc infini-
ment petite du premier ordre sur la surface T' en p points que
l'on pourra désigner par r^^, ti^, . . , r^p.
Un circuit positif, décrit par le point (5, s) autour d'un de ces
points, augmente logS de aui, mais le long de la paire de sec-
tions av, ôv de — aTîf ; par conséquent, pour déterminer la fonc-
tion logSl d'une manière partout uniforme, on pratiquera, àpartir
de chacun de ces points ïj, une section à travers Tîntérieur de
la surface, aboutissant chaque fois à une des paires de lignes, la
section /v partant de vjv se rapportant a. a^ el 6„, et cela en la fai-
sant aboutir à l'origine commune de ces lignes, et la fonction
sera déterminée comme étant partout continue sur la surface T'
formée de la sorte. Elle est alors sur le bord positif des lignes l
plus grande de — 27:1, sur le bord positif de la ligne «„ plus
grande de gi^T^i, et sur le bord positif de la ligne ftuplus grande
de — 2(mv — ev)^/'v2Tt(, qu'elle ne l'est sur les bords négatifs
desdites lignes, g^ et Av désignant des nombres entiers.
La position des points ti et les valeurs des nombres g et /* dé-
pendent des grandeurs e, et cette dépendance peut être déterminée
comme il suit avec plus de précision. L'intégrale J log3.'"'
négatifs de ces lignes respectives.
Pour déterminer ces valeurs initiales, on emploiera plus loin
des moyens plus faciles que ceux donnés par l'expression de A^i
par des intégrales.
y Google
TElÈOniE DES FONCTIONS AllfiUENNES. Ii)l
§ XXIII.
Si l'on pose
relalivement ans ip systèmes de modules des fonctions u (§ X\ ),
et, par suite,
Ton aura
Réciproquement, si &= o pour 1'^,= r^, alors (/■,, r^^.
congru à un système de grandeurs de la forme
-/Ip étant choisi arbitrairement, la fonction S, infiniment pel.ile du
premier ordre en r,^, le sera encore en p — i autres points; et, si
on les désigne par yi,, T,n, ..., 'ip_i, l'on a
(-S-'-'-l^ -ï-
>)(')■
La fonction 3 reste inaltérée, lorsque l'on change les grandeurs c
en — ^ y ; en effet, si dans la série pour
se-., ^.. ...,.';,)
on change les signes de tous les indices m, ce qui n'altère pas la
valeur de la série, puisque — »)„ prend les mêmes valeurs que m^,
2l(c,,<^2, ■-•,<'p) devient3(— f,, — fî, ■■-, — «'/-)■
(') Voir \tf^^maii& Sur Vémnouhsement des fonctions S. — (W.clD.)
y Google
52 PREIHÈRE PARTIE. — MtMOIHES FUBLItS PAR RIEJiASN.
Si l'on prend arbitrairement les points ri, ,ï,j, ..., "/,;,_ i ,
-l^.-l^.
et, par conséquent, puisque I
venons de le voir, l'on aura au
;2-"'.2'? K'h
On peut donc déterminer les p — i points v,^, "f;/.+i, -- -, 'r,ip.2i
de telle sorte que
{y- 2-?)'(-2:-'- -2";4
et, par conséquent, qne
(¥•- ■i".?)-(« »)■
La position des p — i derniers points dépend alors de celle
des/? — I premiers, de telle sorte que, ceux-ci variant de position
d'une manière continue, l'on a
Y''*-° (—-■-» p)-
et que, par suite (g XVI), les points ïi sont Q.p — 2 points pour
lesquels une des expressions dw devient infiniment petite du se-
cond ordre; cela revient à dire que, si l'on désigne la valeur du
couple de grandeurs (s, s) au point r,v par (rfu, Çy), les {s'i, î^,},
(^21 Ça). ■■ ■ • i^2p-2> Ksp-î) sont des couples de valeurs associés
{§ XVI) par l'entremise de l'équation tp = o.
Si l'on choisit les valeurs initiales des intégrales u comme
nous r avons fait ici, l'on aura, par conséquent,
1< "i"?) -<-■»)•
y Google
THÉOniE DES FONCTIONS ABÉUENNE9, l53
les sommations étant prises relativement à toutes les racines
communes aux équations
F = o et ci^i-^ CîÇî-l-. . .-i-c,,u,, = o
et différentes des couples de grandeurs (^p, Sp) (S Vï), les
constantes c étant quelconques.
Si S|, £2) ■ ■ M ^w diisignent m pointa pour lesquels une fonc-
tion raiionnellc ^ de s et de s, qui devient m fois infinie du pre-
mier ordre, reprend la même valenr, et si u'^\ %, -ji désijjncot les
valeurs de h^, s, z en nn point t^^, alors {§ XV)
(i»n i"?' i-r
est congru à un système constant de grandeurs {b\, b^, ■ ■-, hp)-
c'est-à-dire à un système indépendant de la valeur de la gran-
deur \,et l'on peut alors, pour chaqnc position arbitraire d'un
point e, déterminer la position de ceux qui restent, de telle sorte
que l'on ait
{pr.pp pry^j.j. M.
On peut donc, lorsque ni ^/>, ramf;ncr
(«1-61, .... u^--b,,\
el, lorsque m 'Cpi ramener
(^„,_''v,j._-i ,,,-y^,«-bX
pour chaque position arbitraire du point {s, z-) et des p ~in
points y,, .i la forme
y Google
l54 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
en faisant coïncider un des points £ avec {s, s), et l'on a, par suite,
, -y. <->...
-%--')-
pour toutes les valeurs, quelles qu'elles soient, des couples de gran-
deurs (s, z) et des p — m couples de grandeurs (d^, i^v)-
§ XXIV.
Des considérations du § XXll résulte comme corollaire qu'un
système do grandeurs quelconque donné (e,, . , ., e^.) est toujours
congru à un seul et unique système de grandeurs de la forme
(i"^' i'-:
lorsque la fonction Sr(H, — e,, ..., Up — ep) ne s'évanouit pas
identiquement; en effet, il faut alors que les points ■/! soient les
p points pour lesquels cette fonction est égale à zéro.
Mais lorsque la fonction 3(k',^'^ e,, .,., u'p— Cp) s'évanouil
pour chaque valeur de {sp, Zp), on peutécrire (§ XXIII)
«■-' .r-.,..^(-î<' -S"?)
et, par conscquenl, pour chaque valeur du couple de grandeurs
(,îp, Zp), l'on peut déterminer les couples de grandeurs (j|,3|), ...,
{Sp-\) -p-i)' "^^ ^^^'*^ sorte que l'on ail
i»" i<)-". "y-
par suite, la position de (Sp, Zp) variant d'une manière continue,
l'on a, pour7i^i,2. . . .. p,
y Google
lilÉORIE TES FONCTIONS AEÉT.IESSES. l.)5
Les p couples de grandeurs (.î^, Zv) sont donc p racines, diffé-
rentes des couples de grandeiirs (yp, Sp), d'une équation « = o,
dont les coefficients varient d'une manière continue et de telle
sorte que les/* — 2 autres racines restantes demeurent constantes,
S! l'on désigne les valeurs de «„, pour ces/* — 2 couples de va-
leurs de s et z, par uT'\ uT^\ ■ - - . «^'^"", o" a
ry<....,Y„A.(o,...,o,,
Réciproquement, lorsque cette congrocncc a lieu, on a
aw.— „ .... <.-.,, = a( 2'.? '%<]="■
Un système de grandeurs quelconque donné (fii , - - - , ep) est,
par conséquent, congru à un seul et unique système de gran-
deurs de la forme
'i< i^}
lorsqu'il n'est pas congru à un système de grandeurs de la
(-1^^' -|<)^
au eas contraire, il est congru à iiiif, infiniié de systèmes.
Puisque
K"-l"^'--'-?"^^K?"^^-" i..
s est une fonction de chacun dcsp couples de grandeurs (d^, Ç^^
y Google
l5f) l'REHIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PXR TtlEMANN.
absolument de môme qu'elle l'est de {s, ;). CetLe fonclloii de
(<ïy.> Kv.) sera nulle pour le couple de valeurs {s, s) et pour les
p — I points associés, par l'entremise de l'équation ^ ^ o, aux
p — 1 couples de grandeurs restantes (a', %). En effet, si l'on de-
signe la valeur de «„ en ces points par pit", p^"', ^if'^ on a
..2..V^-^-^
^r-ï.).
et, par suite, S = o, lorsqui
avec le point (s, s).
^ XXV.
Grâce aux propriétés précédemment esposées de la fonction Sr,
on obtient l'expression de logS à l'aide d'intégrales de fonctions
algébriques de (j, z), (rf., K,), ■■■, i^p, Kp)-
andeur
regardée comme fonction de (rf^, Ç^,), est une fonction de la posi-
tion du point Ti|i, qui devient discontinue au poinl Si, comme l'est
— log(Ç,i — s,), au point s-i, comme l'est — log(Ç^— So); sur
le bord positif d'une ligne joignant s, à e^, cette fonction est
plus grande de 2t:ï, sur le bord positif de la ligne b^, elle est plus
grande de 2{Ky"— Wv'Oi qu'elle ne l'est sur les bords négatifs de
ces lignes respectives, mais, hormis en les lignes b et en la ligne
de rattachement allant de s, à £3, elle reste partout continue.
Désignons maiolenanl par ta'i''(ï,, e») une fonction quel-
conque de (rfji., Ç|i.) qui, sauf en les lignes b, est discontinue d'une
manière pareille, et qui, sur l'un des bords d'une telle ligne, est
également plus grande d'une constante qu'elle ne l'est sur le bord
opposé; cette fonction ne diffère de la précédente {§ 111) que
d'une grandeur indépendante de (d^L, X|i), et, par suite, elle ne dif-
P
fère de 7_ ra'i^'(S|, £j) que d'une grandeur indépendante de toutes
y Google
THÉORIE DES POr(CTIOSS ABÉLIENNES. l57
les grandeurs (^, i^) et qui, par conséquent, dépend seulement de
(.ïi,3,)elde(ss,Za). Alors w'!'' (îi^Ei". exprime, pour (s,z)^(tf|A,Ç5,),
la valeur d'une fonction ro(s,, Ej) du § IV, fonction dont les nao-
diiles de périodicité relatifs aux sections a sont égaux à o. Si
l'on ajoute à cette fonction une constante c, ^rD'l''(£,, z^) est
augmentée de/>c; l'on peut donc, comme il sera fait dans la suite,
déterminer la constante additive dans la fonction ra(E,, s^), ou la
valeur initiale dans l'intégrale de troisième espèce qui représente
cette fonction, de telle sorte que l'on ait
l„g:j!.)_.lt,g&;i)^^^iFi(,„,,).
Comme â dépend de chaque couple de grandeurs (3', XS) d'une
manière tout analogue à celle dont elle dépend de (s, 5), la va-
riation qu'éprouve log3, lorsqu'un quelconque des couples de
grandeurs {s,z), (■i,, Ç,), ..., (^^, t,p) éprouve une variation finie,
tandis que les autres demeurent constants, peut s'exprimer par
une somme de fonctions m.
On peut évidemment, par conséquent, en faisant varier succes-
sivement chaque couple de grandeurs {s,z), (s'i, Ç,), ..., (^y,, i^^),
exprimer logâ par une somme de fonctions ra et par
ou la valeur de logâ pour un autre système quelconque de va-
leurs.
La détermination de logS(o, o, o), comme fonction des
3/) — 3 modules du système de fonctions rationnelles de j et :
(§ XII), nécessite des considérations analogues à celles employées
par Jacobi dans ses travaux sur les fonctions elliptiques pour la
détermination de &{o). On peut y parvenir lorsque, à l'aide des
équations
y Google
l58 première partie. — «émoires pubmés par riemann.
;j. étant différent de [a', l'on exprime, dans l'équation
rflog3-= y ^jP^ da.
les dérivées de logSf, prises par rapport aux grandeurs o, au moyen
d'intégrales de fonctions algébricjues.
Pour pratiquer ces calculs, une théorie plus complète des fonc-
tions qui satisfont à une équation différentielle linéaire à coeffi-
cients algébriques semble nécessaire, théorie dont je pense à en-
treprendre l'élude prochainement en faisant usage des méthodes
employées ici.
Si (Jï,Sï) est infiniment peu différent de (s,, ;,), 73(^1, t.Ç) à.t-
vient et dont les modules de périodicité relatifs aux sec-
lions a ont la valeur zéro. On trouve ainsi que le module de pé-
riodicité d'une telle intégrale relativement à la section 6„ est égal
à 2 -,r-' cl que la constante d'intégration peut être déterminée
de telle sorte que la somme des valeurs de ((e,) pour les /? couples
de valeurs (cf,, Ç,). ■•-, (=?p, Çp) soit égale ^—f~-
Alors — -| — est égal à la somme des valeurs de t{t^^ pour les
(/> — i) couples de valeurs associés, par l'entremise de l'équation
— 0, aux {p — i) couples de valeurs (rf, t) différant de {i^, X,^)
et pour le couple de valeurs (5, z). Pour
l'on trouve alors une expression qui a été donnée parWeierstrass
[Journal de Crelle, t. 47, p. 3oo, expression (35)] pour le cas
où s est une fonction de ; qui ne possède que deux détermina-
tions.
Les propriétés de ro(î,, s 2) et ((e,), comme fonctions de (.v. , s,)
et (*3, z-i), se tirent des équations
yGoosle
tSRTIO.NS AUCLIK?
qui sont renfermées, comme cas particulie
prei
icédentes pour logâ'*' — logâ'" et -
i XXVI.
On peul maintenant traiter le problème qui consiste à repré-
senter des fonctions algébriques de z sous forme de quotients de
deux produits, chacun d'un même nombre de fonctions
&(«i--e„...t,
multipliés par des puissances des grandeurs e".
Une telle expression, lors de la traversée des sections trans-
verses par (s, s), éprouve l'adjonction de facteurs constants, et
ceux-ci doivent être des racines de l'unité, lorsque cette expression
devra dépendre de z algébriquement, c'est-à-dire, par conséquent,
lorsque, prolongée d'une manière continue, elle ne devra prendre
pour
g 2 qu un m
lombre fini de valeurs. Si tous c
( facteu]
sont des racines fj.'''"''^de l'unité, alors la ij. '<■■"'« puissance de celte
expression est une fonction uniforme et, par suite, rationnelle
de s et de ;;.
Réciproquement, l'on peut aisément démontrer que toute fonc-
tion algébrique /■ de z qui, prolongée d'une manière continue sur
l'intérieur de la surface T', ne prend partout qii'u«e valeur et qui,
à la traversée d'une section transverse, est multipliée par un fac-
teur constant, peut être exprimée d'une foule de manières comme
quotient de deux produits de fonctions S et de puissances des
grandeurs e". Désignons une valeur de u^ pour r — ca par ^p, et
pour r = o par Y[i, et menons chaque fois, à partir de chacun des
points où 1- est infini du premier ordre jusqu'à l'un de ceux oii /■
est infiniment petit du premier ordre, une ligne à i intérieur
de T'. De la sorte la fonction log;- sera parloiil continue sur T,
sauf en ces lignes. Alors, si log r, sur le bord positif de la ligne 6v.
est plus grand de g^^-KÎ et, sur le bord positif de la ligne a^, plus
y Google
l6o PillîMlÈRE PAIIIIE. — MÉMOIRES PLiBLLÉS PAR RIE.llAIVN.
grand de — Kit.î, cni'îl ne l'est sur les Lords négatifs de ces
lignes, la considération de l'intégrale de contour y logr^^n, nous
donnera
où a ^ 1, a, ...,/? et où g\ et h^, d'après les remarques précé-
dentes, doivent être des nombres rationnels et où les sommes du
premier membre de l'équation précédente doivent se rapporter à
tous les points où r est infiniment petit ou infiniment grand du
premier ordre, en observant qu'un point où r est infiniment petit
ou infiniment grand d'un ordre plus élevé doit être regardé (§ II)
comme la réunion de plusieurs points où l'ordre est simple.
Lorsque tous ces points sont donnés, hormis p d'entr'eux, ces
derniers p points peuvent toujours être déterminés, et cela, eu
général, d'une seule et unique manière, de telle sorte que les a/»
facteurs e*'»^™, e-^'^"' prennentdes valeurs données (§XV, XXIV).
Maintenant, dans l'expression
où P et Q désignent chacun un produit d'un même nombre de
fonctions 3(m, — 'y^T' ) à même {s, z) et à (rf, Ç) différents,
si l'on substitue les couples de valeurs de s et s, pour lesquels r de-
vient infini, à des couples de grandeurs (rf, Ç) dans les fonctions â
du dénominateur, et les couples de valeurs, pour lesquels ;■ s'éva-
nouit, à des couples de grandeurs (rf, i^) dans les fonctions S du
numérateur, et, si l'on prend égaux les couples de grandeurs res-
tants {rf, Ç), au dénominateur comme au numérateur, alors le lo-
garithme de cette expression admet les mêmes discontinuités que
log/', à l'intérieur de la surface T', et éprouve, de même que logj",
à la traversée des lignes a et b, l'addition d'une grandeur constante
le long de ces lignes et imaginaire pure.
D'après le principe de Dirichlet, ce logarithme, par conséquent,
ne diffère de logr que par une constante, et l'expression elle-même
ne diffère de r que par un facteur constant. Bien entendu cette
substitution n'est admissible que lorsque aucune des fonctions 2f
ne s'évanouit pour chacune des valeurs de s.
y Google
THÉORIE DES FONCTIONS
Ce fait aurait lieu (§ XXIII)si tous les couples de valeurs, pour
lesquels s'évanouit une fonction uniforme de (s, z), étaient substi-
tués dans une même fonction S à des couples de grandeurs (rf, Ç)-
§ XXVII.
Une fonction uniforme, c'est-à-dire rationnelle de (s, =), ne
peut donc pas être exprimée soiis ia forme d'un quotient de deux
fonctions S, multiplié par des puissances des grandeurs e". Mais
toutes les fonctions r qui, pour le même couple de valeurs de s
et s, prennent plusieurs valeurs et ne deviennent infinies du pre-
mier ordre que pour un nombre/» ou moindre de couples de va-
leurs, sont re prés en table s sous cette forme ; et ces fonctions /■ ren-
ferment toutes les fonctions algébriques de z représentables sous
cette forme. On obtient, abstraction faite d'un facteur constant,
chacune d'elles une fois et une seule fois, lorsque, dans
on prend pour /i., et g., des fractions rationnelles positives et plus
petites que i, et que l'on remplace fv par i/y^\'j.'.'f-K
Celle grandeur est également une fonction algébrique de cha-
cune des grandeurs ÎJ, et les principes développés (dans le pa-
ragraphe précédent) suffisent complètement pour trouver son
expression algébrique au moyen des grandeurs 3, Ç,, . . ., Çp,
En effet, regardée comme fonction de s, z, lorsqu'elle est pro-
longée sur toute la surface ï', elle prend partout une valeur ww/yr^^
déterminée, elle devienl infmle du premier ordre pour les couples
de valeurs (rfi, Ç(), ..., (rf^, Çp), et, lorsque l'on passe du bord
positif au bord négatif de la section a-,, elle éprouve l'adjonction
du facteur e*»^"' et, de même, sur la section b.„ celle du facteur
g-^,2ra. toute autre fonction de (s, s) qui remplit ces mêmes con-
ditions n'en dlfTèrc que par un facteur indépendant de (s, s).
y Google
l63 i'IlKMlf.RIÎ l'.lRTIE. — MÉMOIHBS PTÎBLIÉS PAR RIEMANN,
Regardée comme fonction de (o'^i, i^,,,), lorsqu'elle est prolongée
d'une manière continue sur loule ia surface T', elle prend partout
une valeur unique délerrainée , elle devient infinie du premier
ordre pour le couple de valeurs {s, s) et pour les (/> — i) couples
de valeurs (o^,'^', Ç,''')] ■ ■-) i'^*pl,t *5pi|)t associés, par l'entremise de
Péqualion 'ç^o, aux {p — i) autres couples de grandeurs restants
(rf, Ç); elle éprouve, relativement à la coupure a-,, l'adjonction du
facteur e-^yS"' et, relativement à la coupure by, celle du facteur
gê,siti; toute autre fonction de(a'^, Ç|i) qui remplit les mêmes con-
ditions n-'en diffère que par un facteur indépendant de ('i^^, t^). Si
l'on détermine, par conséquent, une fonciion algébrique
/[(■.•);(ï„i;,) (ï„,:,)l
de z, i^,, .... t,p, de sorte que, en tant que fonction de chacune de
ces grandeurs, elle admette ces mêmes propriétés, elle ne différera
de la fonction envisagée que par un facteur indépendant de toutes
les grandeurs s, ^,, -.., Çp, et sera donc égale à A/, A dési-
gnant ce facteur. Pour déterminer ce dernier, exprimons dans /"
les couples de grandeurs (<^, Ç) qui diffèrent de (rf|i,Çji) par
(rf',f", CD' ■ ' ■' ('^ï^-1' ^/-i)' '^^ 1"^ *"^^^ prendre à / la forme
ff[(^'^, ï|i); (.V, ^), ( tf',"', Kf'), .... (.r/i,, ï'pW, )|.
Evidemment, l'on obtient alors la valeur inverse de la fonction
à représenter et, par conséquent, une expression qui doit être
égale à 7-7 lorsque, dans Ag, l'on substitue à {a",,., Z^) le couple
de grandeurs (j, 3) et, lorsque aux couples de grandeurs (s, s),
(rff, ÇW), . . . ^ (^^m^^ ç^^i ^ ) on substitue les couples de valeurs de
(s, z) pour lesquels la fonction à représenter, et par suite/aussi,
sera égale à zéro.
On obtient de cette manière A- et, par suite, aussi A, abstrac-
tion faite du signe qui peut être déterminé par la considération
directe des séries 2l dans l'expression à représenter [4].
y Google
THÉORIE DES FONCTIONS ABËLIËNNES.
NOTES.
irbes 6 et c forme
I de F, i
ie courbes ô et c et qui,
sont simples, peut être
[1] (p. gSj. Le théorènae énoncé ici demande certaines restrictions et
plus de précision, comme Tonelli l'a fait observer (Alti délia R. Acca-
deniia dei Lincei, i' série, vol. II; 1875. — Extrait publié dans les Nach-
richten der Gesellschafl der Wissenschaften de Gôttingue; 1873).
Lorsque le système de courbes a, considéré aussi bien dans sa réunion
avec le système de courbes b que dans sa réunion avec un second système
de courbes c, forme l'encadrement complet d'une portion de la surface F,
alors en général, pour que la réunion des systémi
également l'encadrement complet d'une portio
qu'une partie des courbes a, réunie soit aux b,
déjà l'encadrement d'une portion de surface.
La portion de surface encadrée parles systèmi
même lorsque les portions de surface a, b et a,
formée par plusieurs pièces séparées, est décrite par Tonelli comme il sui
cette portion est formée de la totalité des portions de surface a, b et
c, quand on ne tient pas compte, parmi les morceaux communs à (
deux portions de surface, de ceux dont l'encadrement est formé par 1
L'exemple, choisi par Tonelli, d'une double surface annulaire, dont l'e
cadrement est un point (surface percée d'un trou) et quintuplement co
nexe, éclaircit et rend intuitive cette discussion.
Dans l'application que fait Riemann de ce tbéorème à la délinilion de
connexion (ra + i)-uple, comme le système désigné précédemment par
n'est jamais formé par plus d'une courbe, courbe a qui sera romplac
par b, ces remarques ne portent pas sur l'exactitude de ce qui suit.
[2] (p. .ai). Si l'on pose
iou de l'élément 1-/J de I
iéquent, l'intégrale
./--S^^/-%
est égale au nombre des circuits décrits par la direction de la ligne d'e
cadrement lorsqu'on la parcourt dans le sens positif. Alors chaque se
tion transverse sera parcourue deux fois, en sens opposés, de telle sor
que ces portions du chemin se détruisent el qu'il ne reste que les parti
y Google
r[R. — MÉMOIRES PLBLIÉS PAR RIEÎIANN.
;uds du ré5e.au (le sections transverse
o.n =. -lip - i),
formule dont la proposition qui commence le | VII est la traduction.
Une démonstration de ce théorème où il n'est fait aucun usage du prin-
cipe de Dirichlet, et où il est fait surtout complètement abstraction de
toutes relations métriques, a été donnée parC.Neumann (Vorlesimgen
iiber Riemann's Théorie der Abelschen Intégrale, Giiap.\ï\, §8, -i" édi-
tion, Leipzig, Teubner; i3Si).
[3] ( p. 159). La marche des idées et les tliéories exposées dans ce § XXV
ont été plus lard poursuivies et perfectionnées par J. Thomae (Journal
de Crelle, t. 66, 71, 73); Fuchs {Ibid., t. 73) et Félis Klein {Mathe-
matùc/ie Annalen, t. 36).
[4] (p. i6î). L'on peut encore faire quelques remarques sur la forme
des fonctions algébriquesy :
Lorsque n est le plus petit dénominateur commun des grandeurs A^ et ^v>
la n''™* puissance dey est une fonction uniforme aussi bien de (s, s) luc
de tous les couples de grandeurs (tr, Ç), et, par suite, f est racine k''™'' d'une
fonction rationnelle. Cette fonction rationnelle doit être déterminée comme
fonction de {s, s), de telle sorte qu'elle soit infinie du k''-'"" ordre pour
les/) couples de grandeurs (u, X,), et que, parmi lesn/i points pour lesquels
elle devient infiniment petite, n d'entre eux. soient coïncidents.
Alors î étant une fonction quelconque de (s, z), qui éprouve sur les
sections transverses l'adjonction des mêmes facteurs que la fonction J\
et Xji désignant la valeur de cette fonction pour le couple de valeurs
(«tii ï|i). la fonction /./-iXiXa...Xp est une fonction rationnelle p de (j, -1
et de toutes les grandeurs (ct, Ç), et l'on a, par conséquent,
/- ):r):
ée du hrouill
i les papiers
y Google
LE NOMBRE DES NOMBRES PREMIERS
INFÉRIEURS A UNE GRANDEUR DONNÉE.
Monatsbericltie der Bertiner ^kademie, novembre i85g.
Œuvres de Hiemann, i' édition, pages i4j-i55.
Je ne crois pouvoir mieux exprimer mes remereîments à l'Aca-
démie pour la distinction à laquelle elle m'a fait participer en
m'adoicUant au nombre de ses Correspondants qu'en faisant im-
médiatement usage du privilège attaché à ce titre pour lui com-
muniquer une étude sur la fréquence des nombres premiers. C'est
ini sujet qui, par l'intérêt que Gauss et fiiridilet lui ont voué
pendant de longues années, ne me semble peut-être pas indigne
de faire l'objet d'une telle Communication.
Je prendrai pour point de départ dans cette étude la remarque
faite par Euler que le produit
n~-ii
lorsque p prend pour valeur tous les nombres premiers, et n tous
les nombres entiers. La fonction de la variable complexe s, qui
sera représentée par ces deux expressions, tant qu'elles conver-
gent, je la désignerai par %(s). Toutes deux ne couveraient qu'au-
tant que la partie réelle de s est supérieure à i . Néannioiuh il est
y Google
f66 PltliMIÈRE PARTIE. ~ MÉMOIRES rtIBLIËS PAR RIESLIK.X.
facile 'de trouver pour la fonction une expression qui reste tou-
jours valable.
00 obtient d'abord
Si maintenant l'on considère l'intégrale
prise dans le sens positif de -I- co à -J- ic et autour d'un domaine
de grandeurs qui contient à son intérieur la valeur o, mais qui no
contient aucune autre valeur de discontinuité de la fonction sous
le signe d'intégration, on obtient aisément pour la valeur de cette
intégrale
en faisant l'hjpothèsc que, dans la fonction multiforme
le logarithme de — x est délerminii de telle sorte qu'il soit réel
pour X négatif. On aura donc
■sU(s
..«.)^^-^
l'intégrale étant définie de la manière indiquée ci-dessiis.
Cette équation donne maintenant la valeur de la fonction Ç(i)
pour chaque valeur complexe de s et nous cnseigae que cette
fonction est uniforme, qu'elle est finie pour toutes les valeurs
finies de s, sauf i, et aussi qu'elle s'évanouit lorsque s est égal à
un nombre pair négatif [ 1 ],
Lorsque la partie réelle de s est négative, l'intégrale, ai: lieu
d'être prise dans le sens positif autour du domaine de grandeurs
assigné, peut être prise dans le sens négatif autour du domaine de
y Google
NOMBRE DES NOMBRHS PREMIKRS LNFÉRIEUHS A VNE CRANDEtB DONNÉE, 167
grandeurs qui conticnl toules les grandeurs connilexes reslantes,
car l'intégrale, pour des valeurs dont le module est infiniment
grand, est alors infiniment petite. Mais, à l'intérieur de ce do-
maine, la fonction sous le signe d'intégration ne devient discon-
tinue que lorsque x est égal à un multiple entier de ± lui et
l'intégrale, par conséquent, est égale à la somme des intégrales
prises dans le sens négatif autour de ees valeurs. Mais l'intégrale
relative à la valeur «aiii égale {^— o.7:iy~'{ — itzî)] on obtient
donc
c'est-à-dire une relation entre î^(s) et Ç(i — .s) qui, en vertu de
propriétés connues de la fonction II, peut aussi s'exprimer ainsi :
la quantité
reste inaltérée lorsqiie s est remplacé par i — s.
Cette propriété de la fonction m'a engagé à introduire, au lien
de II(s — i), l'intégrale II ( ij dans le terme général de la
sérieN — . ce qui fournit une expression très commode de la
fonction ^(s). On a en effet
et, par conséquent, si l'on pose
on a
ou bien, puisque
(') Jacobi, Fand. 1
vol. I, p, 335.
y Google
l68 l'KEMIÈRl! PARTIE. — JIÉMOlItËS rUItl.lÉS PAU niEWAXN,
on a encore
„(!-,) .-^ÏM
Je pose maintenant
et
'i(^)('-|)^"'C(')-S(i).
en sorte que
<"'-;- ('" + 9. r*''''''°°'(;"H''"'
(m encore
Cctlt! fonction esL finie pour toutes les valeurs finies de t et
peutêtre développée suivant les puissances de t- en une série qui
converge très rapidemenl. Puisque, pour une valeur de s dont la
partie réelle est plus grande que i,IogÇ(s) = — 21og(i — p~')
reste fini et que ce même fait a lieu pour les logarillimes des fac-
teurs restants de \{t), la fonction \{t) peut seulement s'évanouir
lorsque la parlie imaginaire de t se trouve comprise entre \i et
~\i. Le nombre des racines de ^(i) = o dont les parties réelles
sont comprises entre o et ï est environ égal à
car rintégraley;1os(,-Ç.)h-1.s.(.).
En effet, puisque la densité des racines de grandeur i augmente
seulement avec t comme le fait log — , cette expression converge
et pour t infini ne devient inGnie que comme l'est f logf; elle dif-
fère de log^(i) par conséquent d'une fonction de t- qui, pour/
fini, reste finie et continue et qui, divisée par (-, sera infiniment
petite pour ( infini.
Cette différence, par suite, est une constante dont la valeur
peut être déterminée en posant ( := o.
A l'aide de ces principes auxiliaires, nous pouvons mainte-
nant déterminer le nombre des nombres premiers qui sont infé-
rieurs à X.
Soit F(;r) ce nombre lorsque j: n'est pas exactement égal à un
nombre premier, et soit F{a^) ce nombre augmenté de^, lorsque x
est premier, de telle sorte que, pour une valeur x pour laquelle
F(x) varie par un saut brusque, on ait
F(^) =
V{x^o) + F{x-o-)
yGoosle
IJO rREMIÈRE PARTIE. — MÉMOinES PUBLIÉS PAR IllEHANN.
Si, maintenant, dans l'expression
on rcmf>lace p~' par s / x~^ ' dx, /?"-' par ,v / x~^'' dx . ....
on oblienL
où l'on a désigné par/(x) l'expression
Celte équation a lieu pour toute valeur complexe a + bide s
lorsque « > i . Mais lorsque, sous ces hypothèses, l'équation sui-
vante
a lieu, l'on peut, à l'aide du théorème de Fourier, exprimer la
fonction ft par la fonction g. Celte équation, quand h{x) est réel
et que
se décompose en les deux suivantes :
ig-îib) ^-i C hiT-fx-" s[n(ù logar) rfloga..
Lorsque l'on multiplie les deux équations par
et que l'on intègre de — izs à + oo, l'on obtient, en vertu du théo-
rème de Fourier, dans les seconds membres des deux équations
'T-h[y)y~'^, et, par conséquent, en ajoutant les deux équations et
multipliant par (y", on a
■Kih[y)- I g{s)y-'d.i,
y Google
NOMBRE DES NOMBRES PREMIERS INFÉRIEURS A UNE GRAKDEUR DONNÉE. 171
OÙ l'inlégralion doil être prise de telle sorte que la partie réelle
de s reste constante [2].
Cette intégrale représente, pour une valeur de y pour JaqucUe
a lieu une variation par saut brusque de la fonction, la valeur
moyenne des valeurs de la fonction h de chaque côté du saut.
Avec les modes de détermination exposés ci-dessus, la fonction
/{^) possède cette même propriété, et l'on a donc, d'une manière
toute générale,
On peut maintenant substituer à iogÇ l'expression trouvée pré-
<-2:'°^h^^]
-log(.-o-logn- ^ y log 1+ ~^\-.-iosi(o)
Mais les intégrales de chaque terme de cette expression, prises
jusqu'à l'infini, ne convergent pas; il sera donc convenable de
transformer l'équation précédente à l'aide d'une intégration par
parties en
-,..n(î).,i„[|',.s(,.^-l)-î,„.™],
pour m = », et que, par suite,
^ ^ di ^ 2d ~dr~ '
tous les termes de l'expression àef{x), à l'exception de
prennent alors la forme
y Google
PREMIÈRE PARTIE. — MEMOIRES PUBLIÉS PAR IKEnAN'C.
et, lorsque la partie réelle de s est plus grande que la partie réelle
ou bien
selon que la partie réelle de p est négative ou positive. Oji a
donc, dans le premier cas,
' Ts-X"''; '"■ i-i) " "• "X" £"■' ^ ■"■'■■
i^t, dans le second cas,
Dans !e premier cas, la constante d'intégration peut être dé-
terminée en faisant tendre la partie réelle de p vers l'infini né-
gatif.
Dans le second cas, l'intégrale de o à .r prend des valeurs qui dif-
fèrent de 2T:i, lorsque l'intégrale relative à des valeurs complexes
est prise dans le sens positif ou dans le sens négatif, et elle sera,
prise dans ce dernier sens, infiniment petite lorsque le coefficient
de i dans la valeur de ^ est égal à l'infiniment grand positif; mais
ce fait aura lien, dans le premier cas, lorsque ce coefficient est
égal à l'infiniment grand négatif.
Ceci nous enseigne comment log / i — gj doit être déterminé
dans le premier membre de manière à faire disparaître la con-
stante d'intégration.
y Google
NIJllBllE DES NOMDIIES PREiMIERS IXFÉUIEUES » UNE ORANDELH UO>NÉE. IJ^'!
En porluot ces valeurs dans l'expression àe f{x), on obtleiil
/(,)»Li(.) -2 ['■'(>"') -lit'""')]
où, dans la série \], on donnera à a pour valeurs toutes les racines
positives (on à partie réelle positive) de l'équation ç(a) ■— o, en
les rangeant par ordre de grandeur. On peut alors, après une dis-
eussion plus approfondie de la fonction Ç, démontrer aisément
(lUBj lorsque les termes sont rangés, comme il est prescrit ci-
dessus, dans la série
2[..K.-"')-Li(;-)],
ème limite que l'express
,' ils
lorsque la grandeur /* croit sans limites. Mais, si l'on changeait
cet ordre des termes de la série, on pourrait obtenir pour résnlt:(-'),
ce qui donne l'équation
F(,)=;^(-i)f,-;;/(^-),
où m doit être remplacé successivement par tous les nombres qui
ne sont divisibles par aucun carré excepté i, et où ^ désigne le
nombre des facteurs premiers de m.
Si on limite V à un nombre fini de termes, !a dérivée de l'ex-
pression /(a:) c'est-à-dire, abstraction faite d'une partie qui dé-
y Google
174 PREMIiinE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS CAR I
croît Lrcs rapidement lorsque x croît,
logx
fourDitune expression approchée pour la densité des entiers pre-
miers + la moitié de la densité des carrés, -■■,-- le tiers de celle
des cubes, H-. . . des entiers premiers inférieurs à x.
La formule approchée connue, F(^) ^ Li(:c), n'est, par consé-
quent, exacte qu'aux grandeurs près de l'ordre de ;»- et fournit une
valeur un peu trop grande ; car les termes non périodiques dans
l'expression de F (a;) sont, abstraction faite de grandeurs qui ne
croissent pas indéfiniment avec x,
Du reste, la comparaison, entreprise par Gauss et Goldschmidt,
de L!(3:) avec le nombre des nombres premiers inférieurs à ^ et
poursuivie jusqu'à x^i raillions a révélé que ce nombre, à partir
de la première centaine de mille, est toujours inférieur à Li(ic)
el que la différence des valeurs, soumises à maintes oscillations,
croît néanmoins toujours avec x. Mais la fréquence et la réunion
plus dense par endroits des nombres premiers, si l'on peut s'expri-
mer ainsi, sous l'influence des termes périodiques, avaient déjà
attiré l'attention, lors du dénombrement des nombres premiers,
sans que l'on eût aperçu la possibilité d'établir une loi à ce sujet.
Il serait intéressant, dans un nouveau dénombrement, d'étudier
l'influence de chaque terme périodique contenu dans l'expression
donnée pour la totalité des nombres premiers. Une marche plus
régulière que celle donnée par F(x) serait obtenue à l'aide de la
fonction /{:c) qui, cela se reconnaît déjà très évidemment dans la
première centaine, coïncide en mojeune avec Li(x) -Hlog?(o).
y Google
SOMBRE DES SOJIDRES PREJIIEliS IXFÉRIRliKS A UNE GRAP
NOTES.
Dans une lettre, dont le brouillon existe dans les papiers laissés par
remarque suivante ;
u ... Je n'ai pas encore complcLé la tiémonstralion ... cl, à ce propos,
je dois faire remarqiicr que les (leitf théorèmes que je n'ai fait qu'énoncer
a Entre o cï T sont situées enviion — log — racines réelle:
de l'équation ^{fi), cl
. L« sirit 2 ['-i(»>""') + I.i(i'"")] , Im,,,, la Urma a .,„„.
rangés suivant l'ordre croissant des a, tend vers la même limite '/m
l'expression
lorsque la grandeur h croit sans lin
développement de la fonction ^ que
plifîé pour pouvoir vous le commu-
Malgvé maintes recherches subséquentes (Sclieibner, Piltz, Slieltjes), les
obscurités de cette question n'ont pas encore été complet
[i] (p. i66). Ce mode d'existenec de la fonction Cf') »'
se servant de la seconde forme de cette fonction
2K{^) = T.in(-s) f ^J^
en remarquant, en outre, que ~ -H - j dans le développement s
int les puissances ascendantes de x, ne contient que des puissances i
y Google
176 rRKMIÈRE PAHTIi:- — MÉMOillKS PUBLIÉS I
[2] (|). ,7[). L'énoncÉ do ce tliéorème manque
équations Irailées séparément comme il est iniJîquf
tion o, «> se rapportant à loga^, donnent
.r-['.0-)±/.(j:)].
et, par conséquent, fournissent en premier lieu par
[3] (p. 173). La fonction Li(,r)iloil être définie pour
le J- qui sont plus grandes que i par l'intégrale
où l'on doit prendre le signe supérieur ou bien le signe inférieur, selon
([lie l'intégration est prise relativement à des valeurs complexes dans le
sens positif ou bien dans le sens négatif. De là l'on déduit aisément le dé-
veloppement donné par Sclieibner (Schldmilch's Zeitschrift. t. \)
^ n,~n\
qui est Milable pour toutes les valeurs de œ, et présente une discontinuiié
pour les valeui-s réelles négatives (comparer la correspondance entre Gauss
et Bessel).
Si l'on poursuit le calcul indiqué par Riemann, on trouve dans la for-
mule logi au lieu de log5(o). Il est très possible que ceci ne soit qu'un
lapsus calami,i>o une faute d'impression, logï(o) au lieu de logï(o); en
eiïet. i;(o) = ^.
y Google
LA. PROPAGATION D'ONDES AERIENNES PLANES
AYANT U>"E AMPLITUDE DE VIBRATION FINIE.
[Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Gottingen, t.VIII; 1860.)
Traduit par M. Stouff, professeur à la Faculté des Sciences de Besançon.
Bien que les éqiialions aux dérivées partielles d'après lesquelles
on détermloc le mouvement des gaz aient été établies depuis long-
temps, leur intégration n'a guère été effectuée que pour le cas où
les différences de pression peuvent être considérées comme des
fractions infiniment petites de la pression totale, et l'on s'est con-
tenté, jusqu'à l'époque la plus récente, de tenir compte des pre-
mières puissances de ces fractions. C'est seulement depuis peu
qu'Helmholtz a fait intervenir dans le calcul les termes du second
ordre, et expliqué ainsi l'existence objective de sons accessoires (' }.
Cependant, pour les cas où le mouvement initial se fait partout
dans la même direction, et où la vitesse et la pression restent con-
stantes dans chaque plan perpendiculaire à cette direction, on
peut intégrer complètement les équations exactes. Le problème a,
il est vrai, été traité jusqu'ici d'une manière parfaitement satis-
faisante pour l'explication des phénomènes constatés par l'expé-
rience. Mais, par suite des grands progrès qu'HelmlioItz a fait
faire tout récemment aux méthodes expérimentales en Acoustique,
(■) Le mot Combinationstône du texte allemand est celui même employé par
llelmholtz dans ses Mémoires [Ueber Combinationstône (CEuvres complètes,
voL 1)]. — (Stoupi-.)
y Google
1^8 PIIEHIËHE PADIlli. — MÉaOIRES PUBLIÉS PAR RIE«ANN.
les résultais du calcul plus précis que contieoL ce Mémoire pour-
ront peut-être, dans un temps qui n'est pas trop éloigne, fournir
quelques points d'appui à la recherche expérimentale. Ceci justi-
fiera la présente Communication en dehors de l'intérêt théorique
qu'offre l'étude d'équations aux dérivées partielles non linéaires.
On devrait admettre la loi de Bojle, comme relation entre la
pression et la densité, si les différences de température produites
par les changements de pression se neutralisaient assez rapide-
ment pour que l'on eût le droit de considérer la température du
gaz comme constante. Mais l'échange de chaleur par lequel ces
différences disparaîtraient est probablement tout à fait négli-
geable, et l'on doit en conséquence adopter, pour cette relation, la
loi d'après laquelle la pression du gaz change avec la densité
quand il ne reçoit ni n'abandonne de chaleur.
D'après les lois de Boyle et de Gay-Lussac, si v est le volume
de l'unité de poids, p la pression cl T la température comptée à
partir de — 2^3° C, on a
log/j-i-logi' = logT + consi.
Considérons ici T comme fonction de p et de i^^; désignons
par c la chaleur spécifique à pression constante, par c' la chaleur
spécifique à volume constant, toutes deux rapportées à l'unité de
poids; cette unité de poids, quand p et c varient de dp et de dv,
gagne la quantité de chaleur
" <"' " ' "^ àp P'
ou, comme
.JlogT _ lilogT _
rf logi' à\wgp '
T(crflogi.-hc'rflogp).
Si donc il n'y a aucun gain de chaleur, on a
1-/ logy) = ', d logi-,
et, si l'on admet avec Poisson que le rapport des deux chaleurs
spécifiques — ^ A" est indépendant de la température et de Ja
pression
l02/; =-/logi'-r- const.
y Google
piioPAGATLON d'omies Aériennes l>LA^ES. 179
D'après les nouveaux essais de RegnauU, Joule cl W. Thomson,
ces lois sont probablemenl vraies avec une très grande approxima-
tion pour l'oxygène, l'azote, Thydrogène et leurs mélanges à
toutes les températures et les pressions que présente la Physique.
Regnault a prouvé que ces gaz suivent de très près les lois de
Boyie et de Gay-Lussac et que la chaleur spécifique à pression
constante c est indépendante de la température et de la pression.
Pour l'air atmosphérique, Regnault a trouvé, enlre
;!o"C.
et
.■-
io°G...,
, fi = 0,^377
10° C.
et
+ [
00" C. .
.. c = o,.379
00" c.
et
-ï
i5"C..-.
. c-o,î37G
Pour des pressions variant de une à dix atmosphères, il ne se
produisit non plus aucune variation sensible de la chaleur spéci-
%ue.
En outre, d'après des expériences de Regnault et de Joule, l'hy-
pothèse de Mayer adoptée par Clausius parait être tout près de
l'exactitude, à savoir : un gaz se dilatant à température constante
n'absorbe que juste la chaleur nécessaire pour produire le travail
extérieur. Si le volume du gaz varie de di', la température restant
dlogp =: — diogii :
la quantité de chaleur reçue est T(c — c') (/loge, le travail effec-
tué/) rfi^. Cette hypothèse donne donc, si A désigne l'équivalent
mécanique de la chaleur.
AT'
donc c — c' est indépendant de la pression et de la température.
D'après ceci, k ^^ -, est aussi indépendant de la pression et de
la température. Suivant Joule, A égale 424''^'°, 55 ; pour la tempé-
rature de o" C, ce qui correspond à la température absolue
T= ——j:^,/)c a pour valeur, d'après Regnault, 7990"', 267. De
ces données résulle /,-= i ,'[101 . Lu vitesse du son dans l'air sec
y Google
iSo PHEMIÈRE PARTIE.— MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMISN.
à 0° C. est par seconde
^/^ggo'", -iey X 9'", 8088 k
et serait trouvée, avec celte valeur, de A- égale à 332™, 'i4o, tandis
que les deux séries complètes d'expériences de MoU et Van Beek,
calculées séparément, donnent 332"", 5a8 et 33i™, 867, et réunies
332", 271, et que les expériences de Martins et A, Bravais four-
nissent, d'après leurs propres calculs, 332'", 37.
§1.
11 n'est pas nécessaire de faire lout d'abord une lijpolhèse dé-
terminée sur la relation entre la pression et la densité ; nous sup-
posons donc la pression correspondant à une densité p égale à
!a(3) et nous laissons la fonction « provisoirement encore indé-
Introduisons un système de coordonnées rectangulaires x, y, 5,
l'axe des x dans la direction du mouvement, et désignons par p la
densité, y? la pression, u la vitesse des points matériels qui cor-
respondent à la coordonnée x au temps t et par w un élément du
plan parallèle au plan des yz à la distance x.
Le volume du cylindre droit ayant pour base l'élément w et de
hauteur dx est co dx, et ia masse contenue dans ce cylindre wp dx.
La variation de cette masse pendant l'élément de temps dt est
égale k w -^ dt dx. On obtient une autre formule pour celte va-
riation en remarquant qu'elle est égale à la valeur algébrique de
la masse qui pénètre dans le cylindre pendant le temps dt, soit
à — o) - ^ " - dx dt. L'accélération d'une molécule matérielle du
cylindre est
et la force qui l'entraîne dans le sens des x positifs est
y Google
PROPAGATION D'ONDBS AÉRIEICTES PLANES.
OÙ »'(p) désigne la dérivée de tp(p). On a donc, pour ^ et poui
les deux équations aux dérivées partielles
dt dx ^\àt àx) ■ •• ' dx
Ou Ou dlofco
Si l'on multiplie la seconde équation par dz^o'(p), qu'on
'ajoute à la première, et qu'on pose, pour abréger,
y/^)rfiogp=/(p)
les équations prennent la forme plus simple
où u et p sont des fonctions de r et de i déterminées par los équa-
tions (2). De l'équation (3) il vient
(4) '^'" = £ K- [" + ^¥ïi>] 'It \ r
( 5 ) ds = ^ \ (Ix — [« — /ç' ( p )] dt \ .
En supposant tf'(p) positif, hypothèse toujours vérifiée dans la
nature, ces équations expriment que r reste constant, quand x
varie avec t de telle sorte que dx = [« + \/'f'{p)] dt et que s reste
constant quand x varie avec ( de façon que dx — [u — \/--f'{?)\ dt.
Le point géométrique de l'ase des x pour lequel r, ou, ce qui
revient aumême,/(p) + «,a une valeur déterminée se meut donc,
dans le sens des a; positifs, avec une vitesse v^^'(p) -[- k; un point
géométrique correspondant à une valeur déterminée de s ou de
y(p) — u dans le sens des x négatifs avec la vitesse ^o'(o) — u.
y Google
iSs PItKJIIÈRE PAIITIK. — MÉMOIRES PL'BLIÉS CAR BIEMANN.
Un point géométrique correspondant à une valeur déterminée
de r rencontrera donc successivement tous les points géomé-
triques correspondant à des valeurs délerminées de S qui se trou-
vent d'abord avant lui sur l'axe des x, et sa vitesse dépend, à
chaque instant, du point géomélrique s avec lequel il coïncide.
§n.
L'Analyse est maintenant prèle à nous donner les mojens de
répondre à la question suivante : où et quand le point géomé-
trique qui correspond à une valeur /■' de rrencontre-t-il un point
géométrique correspondant à une valeiir s' de s qui se trouve de-
vant lui? Cela revient à déterminer x el t comme fonctions de r
et de s. Et, en effet, si l'on prend, dans les
s (3) du pa-
ragraphe précédent, /■ et s comme variables indépendantes, ces
équations deviennent des équations aus dérivées partielles li-
néaires par rapport à xel /, et peuvent être intégrées par des mé-
thodes connues. Pour la rédaction des équations aux dérivées
partielles à une équation linéaire, le procédé le plus avantageux
est de mettre les équations (4) et (5) du paragraphe précédent
sous la forme
J , r^iiosvVi]
I
/?ïî)].
y Google
propagjition d'osdt.s aériennes planes, i83
1] en résulte que
(3) I ar - [« + \/y(i)] t \ dr- \x- [u- et en faisant
ensuite /v ^ i (').
L'introduction de /■ el de s comme variables indépendantes
n'esl toutefois possible que si le déterminant fonctionnel de ces
quantités par rapport à a;: et (, déterminant dont la valeur est
2 V'f (?) j — ï~' ° est pas nn!, donc que si — et ~- sont tous deux
différents de zéro.
Si T~ est nul, de l'équation (i) résulte t/r=:o; l'équation (a)
montre alors que a; — [« — \/tf;'(p)J ( est une fonction de *. L'es-
pression (3) esl, par suite, encore une différentielle exacte, et w
est une fonction de s seulement.
Pour des raisons analogues, si — est nul, i, qui devient alors
constant par rapport à x, devient aussi constant par rapport à t,
X — [îi + vïXp)]^ ^^ "^ deviennent de simples fonctions de r.
Si enfin -T- t\ -^ sont tous deux nuls, /■, .î, tv deviennent, en
vertu des équations aux différentielles totales, des constantes.
§ ni.
Pour résoudre notre problème, 11 Caut acluclicnient déterminer
«■ comme fonction de r et de s, de telle sorte qu'elle satisfasse à
l'équation aux dérivées partielles
dr as \ ôr as /
et aux conditions initiales, ce qui la détermine à une constant
pr<''s, qui peut évidemment lui être ajoutée à volonté.
La fonction wétanl supposée connue, l'époque et le lieu ou u
point géométrique, correspondant à une valeur déterminée de ;
rencontre un point géométrique correspondant à une valeur détei
y Google
PROPAGATION d'ondes AÉEIIENNES PLAHES. l85
minée de s, s'obliennent par l'équation
(?) {■>:-[u-^\/i^)]t\dr-\:^~[u-^/^^)]l\>ù = d^ (•);
là-dessus on obtiendra finalement les ([uantilés « et p comme fonc-
tions de a; et i en joignant à l'équation précédente les équations
En effet, on obtient, comme conséquences de (2), à moins qui
dr ou ds ne soient nuls le long d'un segment fini et, par suite
rom
' const:
ants pour ce segment, les
équati
(4)
^-[« + /f(^](
~ àr '
(5)
^-[u~^^^)]i
_ diV
fis ''
qui, jointes ans équations (3), permettent de trouver les expres-
sions de M et p en a: et t.
Mais si, dans les circonstances initiales, r conserve )a même
valeur /■' sur «ne étendue finie, les points géométriques qui ap-
partiennent à la valeur r' se déplacent avec le temps dans le sens
des X positifs. A l'intérieur de ce domaine, où /■ = r', on ne peut
pas déduire de l'équation (2) la valeur de a: — [« + ^/^'(p)] 'i
car
^)9-
si 1 on ne fait varier que pi ou oj séparément, reste constante ou
varie dans le même sens que celle de ces deux quantités dont la
valeur change. Il en résulte aussi que la valeur de cette expres-
sion est toujours comprise entre '/(pi) et ^'(pa).
Nous considérons maintenant le cas où la perturbation initiale
de l'équilibre est limitée à un domaine fini déterminé par les iné-
galités a<^x randes valeurs de r auront des vitesses plu;
grandes, et «ne grande valeur ;■' en atteindra finalement une plut
petite ;■", qui chemine devant elle, si les valeurs de s qui coïn-
cident successivement avec ?■" ne sont pas inférieures eu moyenn<
aux valeurs de s qui coïncident si
tité supérieure à
Dans ce dernier cas, s aurait une valeur négative infiniment
grande pour x égal à l'infini positif; donc, pour a; = + oo, ou bien
la vitesse u serait +co, ou bien, mais seulement dans l'hypothèse
de la loi de Boyle, la densité serait infiniment petite. Donc, en
dehors de cas particuliers, le cas où une valeur de ;■ sera suivie
immédiatement par une plus grande, ofl'rant avec la première une
différence finie, se présentera toujours ; par suite, y devenant in-
fini, les équations aux dérivées partielles perdront leur validité
et il se formera des condensations brusques se propageant en
avant. De mûme, presque toujours, t- devenant infini, il se for-
mera des condensations brusques se propageant en arrière.
Pour déterminer les temps et les endroits auxquels -r— ou -- de-
viennent infinis et où commencentdescondensations brusques, on
obtient, à l'aide des équations (i) et (2) du § II, en yintroduisant
la fonction w,
dr
dx
[" rflog/
y Google
PROPAGATION d"ondes Aériennes planes.
Il nous faut maintenanL, puisque des condensations subites se
présenlent presque toujours, même quand la densité et la vitesse
varient partout d'une manière continue dans les conditions ini-
tiales, rechercher les lois de la marche de ces condensations.
Nous supposons qu'au temps ( pour a::=^^, m et p varient brus-
quement, et nous désignons les valeurs de ces quantités et de celles
qui en dépendent au moyen de l'indice i pour a: = ^ ^ o, et au
moyen de l'indice 2 pour x:=^ + o; désignons par Uj et i^^ les
vitesses relatives avec lesquelles le gaz se meut dans le voisi-
nage du point de discontinuité, vitesses égales respectivement à
it, ij «., r- La masse, qui traverse pendant l'élênient de
temps dl un élément w du plan ayant pour équation x ^= ^, dans
le sens des .ï! positifs, est alors égale à Cip, wrff ^ fjpîwrfï : la
force qui lui est appliquée [f(pi) — ¥{p2)]t^(') et l'augmenta-
tion Je vitesse produite par cette force V2 — <■( ! on a, par suite,
donc
' ■ V ?< pi-
?(po
/p, ?(p,)- ?(p=)
^'■^ dt "'-y ?, p,~p, ' V p, p,-p,
Pour une condensation brusque la difTérence o^ — p, doit être
de même signe que v, et fa, négative si celte condensation se
propage en avant, positive si elle se propage en arrière. Bans le
premier cas, on doit prendre les signes supérieurs et a, est plus
s le texte [?(?,) — s(p,)]iiirfi, ce qui ne correspond pas ;
du mol force. — (Stouff.)
y Google
î^rand que p^; pur suite, d'après l'hypothèse fuite sur la fonction
o(p) au commencement du paragraphe précédent,
d'après ces inégalités le point de discontinuité avance plus lente-
ment que les valeurs de r qui le suivent et plus rapidement que
celles qui le précèdent; ;■, et r^ sont donc à chaque instant déter-
minés par les équations aux dérivées partielles applicables de part
et d'autre du point de discontinuité.
Comme les valeurs de s se meuvent en arrière avec la vitesse
y/œ'{p) — u, 5a et, par suite, p^ et u^ s'obtiennent de la même fa-
çon; mais cela n'a pas lieu pour 5, . Les valeurs de s, et de -~ se
déduisent sans ambiguïté de celles de /'ij pj et u-, par les équa-
tions (i). En effet, l'équation
(3) ■i('-i-rO-/(?i)-/(p2)
v-
.,)r?(pi)-?(p-.)]
n'est vérifiée que par une seule valeur de p) ; carie second membrt
quand p, croit de p^ à l'infini, prend une fois et une seule tout
valeur positive, car f{ç\), aussi bien que les deux fadeurs
dans lesquels on peut décomposer le dernier terme, e.il constam-
ment croissant, le dernier facteur pouvant aussi rester constant;
p) étant déterminé, on a également des valeurs tout à fait déter-
minées pour u, et -T par les équations (i).
Les condensations brusques qui se propagent en arrière don-
nent lieu à des conclusions complètement analogues.
§ VI.
venons de trouver que dans la marche d'une condcnsa-
isque. entre les valeurs de u et de o de part cl d'autre du
y Google
PROPAGATION d'ondes Aériennes pianes, 191
po înl de disconlinuitc, csisle toujours l'équation
' '' p. pi
Il y a maintenant lieu de se demander ce qui arrive quand on
se donne arbitrairement des discontinuités à im temps et à un
endroit donnés. Suivant les valeurs de «,, p,, «î, pï du point de
discontinuité peuvent partir en sens opposés deux condensations
brusques, ou une seule en avant ou une seule en arriére. Il peut
aussi arriverqu'il ne s'en propage aucune de manière que le mou-
vement ait lieu d'après les équations aux dérivées partielles.
Si l'on désigne à l'aide d'un accent les valeurs que prennent 11
el p en arrière d'une condensation ou entre deux condensations
au premier instant après leur entrée en mouvement, dans le pre-
mier cas û' est supérieure à p, el à p^, et l'on a
(.-,..V
'(p' —
Pi) L?(?'
)-?(Pi)l
P'PI
/(p-
p.)[?(p'
)-?(p.)l
p'-pl)[?( p' )-?'pl>]
, . /( p — po [?(p
^V P''P:
Donc, comme les deux termes du second membre de l'équation (9)
croissent tous deux avec p', il faut que u, — a-, soit posil.if et
(„ ,, .,^ (pi-por?(pi)-?(p^)]
' P:P2
et, réciproquement, si ces conditions sont remplies il j a tou-
jours un sjslème de valeurs de u' et de p', et un seul, satisfaisant
aux équations (i).
. Pour que le dernier cas se présente et, par suite, que le mou-
vement puisse se déterminer conformément aux équations aux
dérivées partielles, il faut et il suffit que r,^r2 et s,ls2, donc que
«, — «, soit négatif el («, — «s)^ ^[7 (pi) — /(pa)?- -'^^^''^ ''' ^''
Sa se séparent respectivement de /-j el de s,, parce que cbacune
de ces valeurs va moins vile que celle qui la précède dans son
mouvement, de sorte que la discontinuité disparaît.
Lorsque ni les premières ni les dernières conditions ne sont
y Google
igi prehiMe partie. — mëhoires publies par riehann.
remplies, les conditions loitiales conviennent à une seule conden-
sation brusque, qui se propagera en avant ou en arrière suivant
que pi est supérieur ou inférieur à ps- En effet, alors, si p,t>pi,
la quantité z(r,^r-2) ou /(pi) ~^ /(ps) + "i — "^ ^^^ positive
(parce que
(«,-«O^<[/(p.)-/(pO]0;
cette quantité est itussi inférieure ou égale à
/(p.)-/(..)-V-^^
(parce que
(_p, -p,)[9(p,)-^ o, donc si les deux masses gazeuses vont à
la rencontre l'une de l'autre, et si (^^l^H^M > L P'~P^> \\ =„
\ " / pi,-.
yGoosle
piioi'AGATiON d'ondiis aériennes flânes. 19.^
forme deux condensations brusques se propageant en sens con-
traire. D'après le § VI, équation (1), si l'on désigne t/-'- par a. et
par H la raeine positive de l'équation
la densité enlre les deux eondensalions brusques p' a pour valeur
SS \/f '?2' *^^i d'après le § V, équation (1), on a, pour la condens;.-
lion brusque qui marche en avant,
dl _
l-«ï6 = «
pour celle qui marche en arrière,
les valeurs de la vitesse et de la densité sont donc, après un es-
pace de temps i, II' et p' pour les valeurs de x qui satisfont à la
double inégalité
«, et 0) pour les valeurs de x inférieures à la plus petite de ces
deux limites, n-, et p^ pour celles qui sont supérieures à la plus
grande.
II. — Si H) — Wï -< o, et qu'en conséquence les masses ga-
/.euses tendent à s'éloigner l'une de l'autre, et qu'en même temps
(^)'K'-g)'
de la limite partent, dans des sens opposés, deux ondes dilatées ( ' )
dont l'étendue va peu à peu en augmentant. D'après le § IV on a,
entre elles, /■ ^^ /■, , s =^ .fg, u -- r, — s«. Dans celle qui se propage
en avant, s ^^s-^; x — [u -h n) t est fonction de /■ seulement, et
mdes où la densil
y Google
[g.'î PHEMIÈBE PARTIR.— MÉMOIRES PLBLlES PAR RIEMANN.
celle fonctioD, d'après les valeurs iniliales a; = o, i = o, se trouve
égale à zéro; pour l'onde qui se propage en arrière onai—r,,
el a: — {u — a) ( = o. L'une des équations pour la détermination
de H et de a est done
i r, - Si + a)l < X <{u., ^ a)t;
pour les valeurs de x Inférieures i (r, — S2-i- a)l, r = r,,el pour
les valeurs de x supérieures à («j -V a)t, r = r^; l'autre cqua-
pour
pour les valeurs de x moindres que celles-ci, 5 ^ s, , et pour les
valeurs pins grandes, s ^ S2.
ITT. — Si aueuD de ces deux cas ne se présente, et si a, > pj, il
se produit une onde dilatée qui marche en arrière, et une conden-
sation brusque qui se propage en avant. Pour cette dernière on
trouve, d'après le § V, équation (3), en désignant par H la racine
de l'équation
— v?^ -''»•• + "- r
p' = Q9pi, et d'après le § V, équation (1),
après un espace de temps t, on a, en avant de la condensation
brusque, c'est-à-dire lorsque x'^{i/2 + a^)t,
en arrière de cette condensation on a /■ ^ /■, et de plus, pour
ur les valeurs de x moindres que celles-ci u = «,, et pour les
leurs plus grandes (/.= f/.
yGoosle
PROPAGATlOPi d'ondes AÉRIENNES PLARES, IgS
IV. — Si enfin les deux premiers cas ne se préscnlenl pas, et si
0|c-c
y Google
■ MÉMOIRES PUBLIÉS PAR HIEMAHN.
De CCS trois parties : la première ne conlienl, en dehors de la
fonction (', que des quantités connues; la seconde ne contient, ds
étant nul dans cette inlégralc, que la fonction inconnue ic, mais
non ses dérivées; la troisième peut, à l'aide d'une intégration par
parties, se transformer en
--•-'--XXî-')'"'
de sorte que la fonction cherchée w s'y présente seule.
Après ces transformations, l'équation (a) donne évidemment la
valeur de la fonction tv au point /■', s' exprimée par des quantités
connues, si l'on détermine la fonction c conformément aux con-
ditions suivantes :
i" Partout dans S
4" Pour r^i-'jS^s'
On a alors
<„ „.„.,..„...£'[.(5-„.„)..„(£.„..)..].
§ IX.
Le procédé que nous venons d'appliquer réduit le problème,
de déterminer une fonction w par une équation linéaire aux dé-
rivées partielles et par des conditions linéaires aux limites, à la
résolution d'un problème analogue, mais beaucoup plus simple,
pour une autre fonction v; ce qui est ordinairement le plus facile
pour obtenir la fonction v, c'est de choisir un cas spécial du pro-
blème primitif et de le traiter par la méthode de Fourier. Nous
y Google
PROPAGATION d'ondes AÉIllEXKES PLAKES. 199
devons nous conlenter ici d'indiquer la marc>ie de ce calcul et de
démontrer le résultat par une autre méthode.
Si, dans l'équation (i) du paragraphe précédent, à la place de /■
et de s on introduit /■+ 5 = tr et r — s = « comme variables indé-
pendantes, et si l'on choisit pour la courbe C une courbe sur la-
quelle +:.»^l);
on obtient par suite pour j' un grand nombre de représentations
par des séries lijpergéomélriques el des intégrales délinies, parmi
y Google
PROPAGATION d'0_\DES AÉItlEXNES PLANES. 201
lesquelles nous rcmartjaons seulement les suivaates
j. = F(,+ l, -J, 1. ,)_(,-2)»f(-1, -», I, j-£-_)
„(,_^,-,-).F(,ii, , + ),, ,, ^_),
qui suffisent à tous les cas.
Pourdédiiire de ces résultais, trouvés pour la loi de Poisson, ceux
L pour la loi de Boyle, on doit, d'après le § II, di-
minuer les quantités /■, .s, /■', s' de f:^^ et faire ensi
obtient ainsi
'2'-^
§x.
Si l'on porte l'expression trouvée pour \> dans le paragraphe
précédent, dans l'équalion (4) du § VIII, on obtient la valeur de iv
, j - . I I j àff ^ àw ,
pour /■ = /■ , s^s exprimée par les valeurs de iv, -^ et ^ sur la
courbe c; mais comme, dans notre problème, les valeurs de ^'
-^ sont toujours seules données immédiatement, et qu'il faudrait
en déduire w par une quadrature, il est convenable de transformer
l'expression de w,^^s', de telle sorte que les dérivées de iv iîgurent
seules sous le signe d'intégration.
Désignons les intégrales des expressions
.(|j.„„)..
qui, à cause de l'équation
yGoosle
PREMIÈRE PARTrï. — HÉMOIRES I
sont fies difTcrenticlIcs exactes, par P et S, et par di rinlégrale de
P dr -\- 'S, ds , expression qui, à cause de
csL aussi une différenlielle exacte.
Si l'on détermine dans ces intégrales les constantes d'ini
lion de manière que w — ,-t- s'annulent pour r^^i-', s =s',
tisfait alors aux équations
De plus on a, soit pour r = r', soit pour s ;= s',
Enfin, remarquons-le en passant, jj est complètement déterminé
par ces dernières conditions aux limites et l'équation aux dérivées
partielles
à^w / dm util \
•)rôs "^ '" V^ "^ d^ "'" 7 "^ "'
Si l'on introduit w au lieu de c dans l'expression de w^j', on peut,
en intégrant par parties, transformer cette expression en
■•-r[(s-')ï^-^^*]-
Pour déterminer le mouvement du gaz d'après son état initial,
on doit prendre pour c la courbe qui correspond à ( = o ; sur cette
courbe on a
et l'on obtient, en intégrant par parties,
«.,.,^,, ^ iVc,,..-^ f' {i^dx — xds);
en conséquence, d'après les équations (4) et (5), § III,
I i.-[/?(ï) -..].!->• = «. -X"' s""-
y Google
PROPAGATION d'om>es aéhien.nes planeSl 2o3
les équations (a) ne re]irésenlenl le mouvement qu'aussi long-
temps que
~M \ dlog;. 7 ôs'^ \ d\og(, I
reslent différents de zéro. Aussitôt qu'une de ce= quantités s'an-
nule, il se produit une condensation brusque et l'équation (i)
n'est applicable qu'en dedans de domaines silués tout entiers d'un
seiil et môme côté par rapport à cette condensation. Alors les prin-
cipes développés ici ne suffisent pas, du moins en général, pour
déterminer le mouvement d'après l'état initial; on peut, il est vrai,
à l'aide de l'cquation (i) et des équations qui, d'après le §V, con-
viennent à une condensation brusque, déterminer le mouvement,
si le lieu de cette condensation est donné au temps (, c'est-à-dire
si S est donné en fonction de l. Nous ne poursuivrons cependant
pas davantage ce sujet, et nous renonçons à traiter le cas où 1 air
est limité par une paroi fixe, le calcul ne présentant pas de diffi-
cultés, et une comparaison des résultats avec l'expérience n'étant
pas encore possible actuellement.
ANNONCE DU MÉMOntK PRÉCÉDENT
Publiée par Ricmann dans les GSi.tinger Nachrichten, n= 13; i85().
Cette étude n'a point la prétention de fournir à la recberche
expérimentale des résultats utiles; l'auteur désire seulement qu'on
la considère comme une contribution à la tliéorie des équations
aux dérivées partielles non linéaires. De même que les méthodes
les plus fécondes pour l'Inlcçration des équations linéaires aux
dérivées partielles n'ont pas été trouvées en développant l'idée
générale du problème, mais ont tiré leur origine de l'étude de
questions de Physique particulières, la théorie des équations non
linéaires aux dérivées partielles paraît surtout devoir obtenir ses
progrès du traitement approfondi de problèmes de Physique spé-
ciaux et d'une considération attentive de toutes les conditions
accessoires de ces problèmes; cl, en effet, la solution de la ques-
y Google
ao/| PREMIÈRE RARTIE. - MfiMOTRES riBLlÉS PAH REEMANN.
LÎoo toule spéciale qui forme le sujet de ce Mémoire a osig^é de
nouvelles méthodes et des conceptions originales, et nous a con-
duits à des résultats qui joueront probablement un rôle dans des
questions plus générales.
La solution complète de ce problème permettrait de décider
d'une manière plus précise les questions agitées avec vivacité, il y
aquelque temps, eutre les mathématiciens anglais Challis, Airy et
Stokes ('), autant du moins que Stokes ne les a pas déjà éclair-
cies (*), cl de juger plus complètement le différend qui s'est élevé
sur une question relative au même sujet dans la Société Impériale
et Rojale des Sciences de Vienne, entre MM. Petzval, Doppler
et A. von Ettinghausen (').
La seule loi empirique qu'il était nécessaire de supposer, en
dehors des lois générales du mouvement, est la loi d'après laquelle
varie la pression d'un gaz avec sa densité quand il ne gagne ni ne
perd de chaleur. L'hypothèse déjà faite par Poisson, mais repo-
alors sur une base fort peu solide.
a pressron pour
densité p est proportionnelle à p*, k étant le rapport de la chaleur
spécifique à pression constante à la chaleur spécifique à volume
constant, peut maintenant s'établir à l'aide des expériences de
Regnault et d'un principe de laThéorie mécanique de la chaleur.
Il a paru nécessaire de mettre cette démonstration de la loi de
Poisson dans l'Introduction; car elle paraît encore peu connue.
On trouve ainsi pour k la valeur i,4ioi tandis que la vitesse
du son à o" C. et dans l'air sec serait, d'après les es.périences de
Martlns et A. Bravais {'), égale à ^^îl^gi fournirait pour A- la
valeur 1,409^.
Bien que la comparaison avec l'expérience des résultats de nos
recherches, exécutée par l'observation, présente de grandes diffi-
cultés et soit à peine praticable actuellement, nous nous permet-
tons d'exposer ici ces résultats autant que cela est possible sans
prolixité.
Le Mémoire ne traite le mouvement de l'air on d'un gaz que
(■> Pkil. mag., vol. XXXIII, XXXIV et XXXV.
(') /'Aiï. mag-., vol. XXXIII. p. 349.
(") SUzungsberickle lier K. K. Ges. d. If.,Yom i5
(') Ann. de C/tim. el de Pkys., 3' sér., t. XIII, |
y Google
•AGATION D Oh'DES i
pour le cas où, au commeiicemenl et, par conséquent, aussi dans
la suite, la direction du mouvement est partout la même, et où
la pression et la densité restent constantes dans tout plan perpen-
diculaire à cette direction. Pour le cas où la perturbation initiale
d'équilibre est limitée à une étendue finie, et où, comme on le
suppose habituellement, les différences de pression sont des
fractions infiniment petites de la pression totale, on sait que de
la région ébranlée parientdeus ondes, dans chacune desquelles la
vitesse est une fonction déterminée de la densité et que ces deux
ondes cheminent en sens contraire avec la vitesse v'''f'(?)' <^on-
stante dans cette /ij7)o(/iése[tp(p) est la pression pour la densité p
et ^'(p) la dérivée de ^{p)]- H se passe aussi quelque chose de
tout à fait analogue quand les différences de pression sont finies,
La région oi^i l'équilibre â été troublé se décompose de même,
après un espace de temps fini, en deux ondes se propageant en
sens contraires. Dans celles-ci la vitesse, mesurée dans le sens de
la propagation, est une fonction déterminée, / y/tp'{p) (/logp, de
la densité; la constante d'intégration pouvant être différente dans
les deux ondes. Mais dans chacune d'elles, prises séparément, à
la même valeur de la densité correspond toujours la même valeur
de la vitesse, à une plus grande valeur de la densité une valeur al-
gébrique plus grande de la vitesse. Les deux valeurs correspon-
dantes se déplacent avec une vitesse constante. Leur vitesse com-
mune relative aux molécules du gaz est y^o'(p), leur vitesse absolue
s'obtient en ajoutant à celte quantité la vitesse des molécules ga-
zeuses, mesurée dans le sens de la propagation. Sous l'hypothèse,
toujours réalisée dans la nature, que o'(3) n'est pas décroissant
pour p croissant, les plus grandes densités sont animées de vitesses
plus grandes. Il s'ensuit que les ondes dilatées, c'est-à-dire les
parties de l'onde où la densité croit dans le sens de la propaga-
tion, croissent en amplitude proportionnellement au temps, les
ondes condensées diminuent de largeur et se transforment né-
cessairement en condensations brusques. Les lois applicables
avant la séparation des deux ondes, ou convenant à une pertur-
bation d'équilibre s'élendant à tout l'espace, ne peuvent être don-
nées ici, à cause de la complication des formules qu'elles cxi-
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206 PREMlknE PADIIE. — MÉMOIRES PUnUÉS PAR RIBMA^^.
Au poinl de vue de TAcoiisLique, la recherclie présente fait con-
naître ce résuhai que, dans le cas où les différences de pres-
sion ne peuvent pas èlre considérées comme infiniment petites,
il se produit un changement dans la forme des ondes sonores,
et, par conséquent, dans le son, pendant la propagation. Une vé-
rification expérimentale de ce résultat paraît fort difficiie, malgré
les progrès qu'Helmholtz a fait faire récemment à l'analyse du
son; car, aux petites distances, le changement de son n'est pas
sensible, et aux grands éloignemenls il sera difficile de séparer
les causes variées qui peuvent modifier le son. Il ne faut pas son-
ger à «ne application à la Météorologie, car les mouvements de
'l'air, étudiés dans noire Mémoire, appartiennent à ceux qui se
propagent avec la vitesse du son, tandis qu'au contraire les cou-
rants atmosphériques ont, selon toute apparence, iine vitesse
beaucoup moins grande.
y Google
L'EVANOUISSEMENT DES FONCTIONS THETA.
La seconde Partie de mon Mémoire sur la Théorie des fonc-
tions abéliennes, parue dans le Journal de Crelle, contient la
démonstration d'un théorème sur l'évanouissement des fonctions
théla, sur laquelle je me propose de revenir, en supposant cornues
les méthodes employées dans ce Mémoire, Ce qui suit ici n'est
qu'une coiirie exposition des applications de ce théorème, qui,
dans notre méthode fondée sur la détermination des fonctions à
l'aide de leurs discontinuités et de leurs infinis, doit, comme cela
se reconnaît aisément, être le principe de base de la théorie des
fonctions abéliennes. Quant au théorème lui-même, et à sa dé-
monstration, l'on n'y avait pas rendu compte de cette circon-
stance que la fonction thêta peut s'évanouir identiquement par
la substitution des intégrales de fonctions algébriques d'une va-
riable, c'est-à-dire pour chaque valeur de ces variables. Remplir
celte lacune est le but de l'opuscule suivant (').
Dans les recherches où l'on emploie la représentation des fonc-
tions 3 à nombre indéterminé de variables, le besoin se fait sentir
d'une abréviation d'écriture pour une suite telle que
l'expression de v-, se compliquant de v
y Google
2o8 PRESlËBi: PiRTIE. — JlfiMOHiES PUBLIÉS PAB
L'on pourrait imaginer un symbole tout analogue aux sigi
somme et produit, mais une telle notation serait encombrant*
incommode à imprimer clairement sous le signe fonctionnel.
Je préfère désigner
par
et, par conséc]uent,
S(»„i.„ .... ',)
§ I-
Lorsque dans la fonction 5(^1, c^, . . . , fp) au lieu des/) va-
riables (' l'on introduit les p intégrales u, — e,, tu — e-î, ....
iip — Cp de fonctions algébriques de z, ramifiées comme l'est
la surface T, on obtient alors une fonction de ^ qui varie d'une
manière continue sur toute la surface T, sauf en les lignes b, et
qui, lors du passage du bord négatif au bord positif de la ligne tv,
est multipliée par le facteur
Ainsi qu'il a été démontré au § XXII (loc. cit.), cette fonction,
lorsqu'elle ne s'évanouît pas pour toutes les valeurs de ;, est infi-
niment petite seulement en p points de la surface T et du pre-
mier ordre. Ces points ont été désignés par ■/j, , '/lî, . . . , rip et la
valeur de la fonction «v ^u point tiji l'était par alf' . On a obtenu
alors pour les 2p systèmes de modules (modules de périodicité)
de la fonction 3, la congruerice
(0 (-'. .,,-(|"r+K..i:"f+K, pr^")-
où les grandeurs K dépendent des constantes additives, urbitraircs
y Google
SL"R L'fiVANOCISSRMF.NT DES FONCTIONS THKia. 20^
encore pour l'insfant, dans les fondions u, mais ne dépendent ni
des grandeurs e ni des poinls /].
Si l'on poursuit le calcul indiqué {loc. cit.) l'on trouve
(■>) 2K„=2]- j« + "v)rf«v■-^.^'■-V^;^«i.,v-
Dans celte expression l'int('gralc / («J'+ «; ) (/h./, doit èlre
prise dans le sens positif le long de fty-, et dans la somme l'on
doit faire prendre à ■/ toutes les valeurs entières de i jusqu'à p,
à l'exception de v; Ev^= ± h selon que l'extrémité de ^v rejoint
le bord positif ou le bord négatif de «v, et e^ =^ ± i , selon que
celle même extrémité rejoint le bord positif ou le bord négatif
deôv
La déterminalion des signes est, d'ailleurs, seulement néces-
saire lorsque les grandeurs e doivent être déterminées complète-
ment, d'après les équations données au § XXII, à l'aide des dis-
conlinuités de logSt. La congruence précédente ([) reste exacte,
quelque signe que l'on puisse ciioisir.
Nous nous en tiendrons d'abord à l'hj'polhèse, faite pour sim-
plifier les choses, que les constantes additlves dans les fonctions u
sont déterminées de telle sorte que les grandeurs K. soient toutes
égales à zéro. Pour lever cette restriction hypothétique et en dé-
barrasser les résultais qu'on obtiendrait alors, il est évident qu'il
suffirait seulement d'ajouter partout — K,, — K:., — . . ., — Ky,
aux arguments dans la fonction "b.
Par conséquent, lorsque la fonction
^(«1 — ^1, "î-
-"■,')
s'évanouit pour les p points ■rfs,'ry>, ■ • ., "fip et ne s'
Identiquement pour chaque valeur de z, l'on a
'■"■" ',)-{i-r^ i'f i'
Ce Ihéoi
des eranJe
,'aleurs absolument (juelconqiies
iiicider le point (5, :) avec le
y Google
210 rnE.MIÈRE CIRTIE. — MÉMOIRES FlULIÉS l'Ail RIEMASS.
poinL T^p, nous avons conclu que
c'esl-ù-dirc, puisque la fonction ^ est [lairc,
quels que soient les points ■r\^,r,.^, . . . , v"(p_i.
La démonstration de cette proposition demande néanmoins à
itre complétée, à cause de ce fait qne la fonction
peut s'évanouir identiquement (ce qui a lieu, m effet, pour
certaines valeurs des grandeurs e) dans chaque système de fonc-
tions algébriques à mêmes ramifications.
Eu égard à cette circonstance, l'on doit se contenter d'aboi-d
de faire voir que le théorème reste exact lorsque les points /| va-
rient de position, indépendamment les nns des autres, entre des
limites finies.
L'on concliil alors l'exactitude générale du théorème d'après
ce principe qu'une fonction d'une grandeur complexe 11c peut
s'annulera l'intérieur d'un domaine fini à moins qu'elle ne soit
partout égale à zéro.
Lorsque z est donné, les grandeurs e,^ e->. . . . , fp penvenl être
choisies telles que
S(«i-e,,«,-e„ ...,u,.-c,)
ne s'évanouisse pas; en efifet, s'il en était autrement, il faudrait
que la fonction &{('), l'a, ,.., Vp) s'évanouisse pour toutes les
valeurs des grandeurs e et, par suite, il faudrait que tous les coef-
licients soient nuls dans le développement suivant les puissances
y Google
sril L'f.YANOLISSEMEM DES FO>'CT[ONS THEIA. 311
entières de €-''•, e-''', . . ., e^^t; ce qui n'est pas le cas. Les gran-
deurs e peuvent donc varier indépendamment entre elles à l'in-
Lcrieur de domaines de grandeurs finis sans que la fonction
s'évanouisse pour cette valeur de s. Ou liien, en d'autres termes :
OQ peut toujours assigner un domaine de grandeurs E à np dimen-
sions, à l'intérieur duquel le système de grandeurs e peut être
mobile sans que la fonction
s'évanouisse pour celte valeur de z. Cette fonction sera donc infi-
niment petite du premier ordre seulement pour p positions de
(s, s), et si l'on désigne ces points par ï|,. yu, . . . , -r,p, l'on a
A chaque mode de détermination du système des grandeurs e à
l'intérieur de E, c'est-à-dire à chaque point de E, correspond alors
lin mode unique de délermination des points t] et l'ensemble de ces
déterminations forme un domaine de grandeurs H correspondant
au domaine de grandeurs E. Or, en vertu de l'éqnation (i), à
chaque point de H correspond aussi un point unique de E. Par
conséquent, si H avait seulement zp — i, ou un nombre moindre
de dimensions, E ne pourrait avoir ip dimensions; par suite, H a
bien ap dimensions.
Les raisonnements sur lesquels se base notre théorème restent
donc applicables, pour des positions quelconques des points ■/■,, à
l'intérieur de domaines finis, et réqualion
^(-i:-f.-i"
a donc lieu pour des positions quelconques des points '/i,, t,... .
r,p_,, à l'intérieur de domaines finisj et, par suite, a lieu d'i
manière générale.
y Google
tRF. l'ARTlE. — MÉHOIRliS PUBLIÉS PAU RIEMAXN.
Il s'ensuit que l'on peut toujours écrire que le système de gran
) doivent s'évanouir pour
Pour démontrer la réciproque du ihéorémc supposons que
soient deax systèmes de valeurs pour lesquels la fonction S
nonîsse sans qu'elle s'évanouisse identiquement pour
K;<""'-"-'-'-')Kr<'-"-"i"-'-')
Considérons cette expression comme fonction de ;, ; l'on re-
connaît que c'est iine fonction alg^élsriquc de z,, et cela, fonction
rationnelle de s, els,, puisque le dénominatenret le numérateur
sont continus sur (la surface) T" et acquièrent les mêmes fac-
teurs à la traversée des sections transverses.
Pour z, ^r !^| et s, = a, le dénominateur el le numérateur de-
viennent infiniment petits du second ordre, de sorte que la fonc-
tion reste finie; mais, quant aux antres valeurs, pour lesquelles le
dénominateur ou le numérateur s'évanouissent, elles sont, comme
il a été précédemment démontré, complètement déterminées par
les valeurs des grandeurs r el des grandeurs t et, par conséquent,
sont tout à fait indépendantes de i^,. Maintenant, puisqu'une
fonction algébrique est déterminée, abstraclion faite d'un facteur
y Google
scR l'évanouissement des fonctioss tiièia. 317
constant, par les valeurs pour lesquelles elle devient nulle et in-
finie, l'expression considérée est égale à une fonction rationnelle
de 5, et ;-i, y(si, S|), indépendante de Ç, ei multipliée par une
constante, c'est-à-dire une grandeur indépendante de i,. Comme
l'expression est symétrique relativement aux sjstèmes de gran-
deurs (sf, s,) et (ti, Ç|), cette constante est égale à /(«^i, Çi)
multiplié par une grandeur A, indépendante aussi de Ç, . Si l'on
pose alors
on obtient, pour notre expression (2), la valeur
(3) p(*„=,)p('.,ïi),
où p(s, 3) est une fonction rationnelle de 5 et de s.
four la déterminer, il suffit de faire tendre Ç, vers ^, et 7, vers s, .
On obtient ainsi
ou, en es trayant la racine carrée et supprimant le facteur
Os,
En vertu de cette équation, on tire de (3) et de (4) la
an te,
.(; (.v'-.v^..))a(:(.r-i"H-M )
2; ^f (;(>■.>) ?f('., '.) 2 ^f (;' ('•v)) tfi'i.l:)
2 ^r{^ (•■)) ?!.('•. '1) I! ^I> (; ('■)) M".. ïi)
(S)
y Google
i8 rnEMiÈRE PARTIE. — hèhoirus publiés r.m uieux!
Il s'eosuii de celle équation que
.(;.."-..'..,)
doit, pour loute valeur de ;, el î^i, être égal à zéro, lorsque le-;
dérivées premières de la fonction 2'(r,, f-,, . . ., t'^) s'évanouis-
sent toutes pour
Lorsqu<
^-(•;(i»'f-| <'--))
s'évanouit identiquement, c'cst-à-dirc pour chaque valeur de
|J- ('■][, ?|4.) et de [* (sji, s^), l'on reconnaît, ainsi qu'il a été indi-
que précédemment, en faisant tendre Ç,« vers z,„. et ^„i vers s,„,
d'abord que les dérivées premières de la fonction 3(t'i, Va, ■■-, '>)
.'l'-r-'l'»? --■-).
ensuite, lorsque l'on fait tendre v„,-i — ~-„,_, et 3-,„_, — s,.,., vers
i^éro, que poui
(outes les dérivées secondes s'évanouissent également; el l'on re-
connaît encore, évidemmeni, que les dérivées d'ordre /i s'é\a-
nouissent toulcs pour
quelles que soient les valeurs des grandeurs : et des grandeurs 'C.
y Google
suit l'évanouissement des rONcriOKS thêta. aig
L'on en conclul, sous l'hypollièse (i) du paragraphe actiie], que
pour V (fv= '"v) toutes les dérivées de ia fonction 2r(ci, i'^,..., i>),
depuis les premières jusqu'aux m'"^'^, sont égales à zéro.
Pour moQlrerque la réciproque de ce théorème est également
vraie, démontrons d'abord que, lorsque
/{'•,'• '.,)-±
(x ) 3". ,.,(p('>))lË^T des fonctio>s thEta. aad
p — 1 — m points rcsLanls soni par cela mùmc complèlement dé-
tcrmîniis.
El réciproque m en i :
Lorsque parmi les points 'fl, m, et pas davantage, peuvent être
choisis arbitrairement sans que les grandeurs /■ éprouvent de va-
riation, alors, outre la fonclioQ S(fi,<'a, ..., Cp), ses dérivées
également, depuis les premières jusqu'aux m""", sont toutes
nulles pour
mais les dérivés (ni + i)'^'"*' au contraire ne sont pas toutes nulles.
L'élude complète de tous les' cas particuliers, qui peuvent se
présenter lors de l'évanouissement d'iine fonction 2r, était néces-
saire, bien moins par rapport aux systèmes particuliers de fonc-
tions algébriques à mêmes ramifications, pour lesquels ces cas
se présentent, qu'à cause surtout du fait suivant ; Sans celte étude
il j aurait des lacunes dans la démonstration des propositions
basées sur notre tliéorème relatif à l'évanouissement d'une fonc-
tion thêta.
y Google
y Google
DEUXIÈME PARTIE.
MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMANN.
LA POSSIBILITE DE REPRESENTER UNE FONCTION
PAR L'_\E SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE.
Mémoires de la Société Royale des Seiences de GtiUingue, t. Xllt ( ' ).
Œai'res de Riemann, v édit., p. 23o.
iulletin des Scie
juill.!t 187Î.
Le présent travail sur les séries trigonomctriqiies se compose
de deux Parties essentiellement distinctes. La première contient
une histoire des recherches et des opinions des géomètres sur les
fonctions arbitraires données graphiquement, et sur la possibilité
(') Ce Mémoire a été présenté par l'auteur, en i85.'i, à la Faculté de Philosophie
pour son liabilîtation à l'Université de Gûttingue. Bien que l'auteur ne semble
pa« ravoir destiné à la publieilé, ccpenilant l'impression de ce travail sans aucun
changement de forme paraîtra suffisamment justifiée tant par l'intérêt considé-
rable qui s'attache au sujet, que par la manière dont y sont traités les principes
les plus importants de l'Analyse infini lés imale.
BninBiïick, juillet 1SC7. H. Di.:i.hsisD,
y Google
236 DELAIÈJIE TARTIE. — HÉMOIRES PCDT.IÈS APRÈS L\ MORT DE RIEJIANN.
de les représenter par des séiips trigonomctriqucs. Le rapproche-
ment de ces résultais m'a permis de mettre à profit quelques in-
dications de l'illustre géomètre (') à qui l'on doit le premier
travail sur cet objet. Dans la seconde, je soumets la représentation
d'une fonction par une série trigonomélrique à un examen qui
embrasse des cas qui n'ont pas encore été traités jusqu'ici. Il a
été nécessaire de faire précéder cette étude d'une courte Note sur
la notion d'intégrale définie, et sur l'étendue dans laquelle celte
notion est applicable.
Histoire des recherches relatives à la représentation par une série
trigonoméfrique d'une fonction donnée arbitrairement.
Les séries trigonomctriques, ainsi appelées par Fourier, c
à-dire les séries de )a forme
-i- 1 60 -+^ A, cosa7 -I- bi cos2ce + i,j cos 3 j; +. . . ,
jouent un rôle considérable dans la partie des Malhcma tiques où
l'on rencontre des fondions entièrement arbitraires; on est même
fondé à dire que les progrès les plus essentiels de cette partie des
Mathématiques, si importante pour la Physique, ont été subor-
donnés à la connaissance plus exacte de la nature de ces séries.
Dès les premières recherches mathématiques qui ont conduit à
la considération des fonctions arbitraires, s'est posée la question
de savoir si une fonction entièrement arbitraire pouvait se repré-
senter par une série de la forme ci-dessus.
Cette question a pris naissance vers le milieu du siècle précé-
dent, à l'occasion des recherches sur les cordes vibrantes, dont
s'occupaient alors les plus célèbres géomètres. Il serait difficile
d'exposer leurs vues sur ce sujet sans eutrci' dans les détails du
problème.
(') Lcjciine-Oiiichlet.
y Google
RUPHÉSliNTATION d'une FOSCTION PAR UNE SÉRIE THiaOSOMETRIQUI!. 227
Sous ceruines lijpoth^scs, qui s'accordent de très près avec la
réalilc, la forme d'une corde tendue, vibranl dans son plan (en
désignant par x la distance d'un quelconque de ses points à son
eslrémité initiale, et par_j' la distance, au bout du temps (, de ce
point à sa position d'équilibre), est, comme on sait, déterminée
par l'équation aux différentielles partielles
a étant indépendant de ( et, dans le cas d'une corde d'épaisseur
uniforme, indépendant de x.
D'Alembert est le premier qui ait donné une solution générale
de cette équation différentielle.
Il a montré {' ) que toute fonction de a: et de i qui, mise à la
place dey, rend cette équation identique, doit être contenue dans
la formule
ainsi qu'on le voit en introduisant comme variables indépendantes
a; -|- a/, j: —- a/ à la place de x, l, ce qui change
ij.
'',!(,, + «<)
à(x
-")
Outre cette équation aux différentielles partielles, qui résulte
des lois générales du mouvement, il faut encore quey satisfasse à
la condition d'être constamment := o aux points d'altaclie de la
corde ; on a donc, en faisant pour l'an de ces points ^ = o, pour
l'autre x ^ i,
/(a()=-?(-^/), /{lA^'U)=-'iil-7.t).
y^fi'j.t + x)-f{ " S -*('>;
il vient, pour les valeurs de x entre o et l,
et, par suite, on oblienl la fonction /( ; ) entre — l et l. Or de là
on déduit la valeur de celte fonction pour toute autre valeur de;;,
au moyen de l'équation /{z) ^/{■i.l+z). Telle est, en notions
abstraites, mais actuellement bien connues, la détermination due
à Euier delà fonction /"(s).
Cependant d'Alembert protesta contre cette extension donnée
à sa méthode par Euler{^), parce que sa méthode supposait né-
cessairement quejK pûl s'exprimer analytiquemenl en t et en x.
Avant qu'Euler eût fait connaître sa réponse, parut un troi-
sième travail sur ce sujet, tout différent des deux premiers et dû
à Daniel Bernoulli {^). Déjà, avant d'Alembert, Taylor avait vu
{') Mémoires de l'Académie de Berlin, p. 69; i7't8.
( = ) Ibid., p. Ï58; 17S0. n En effet, on ne peut, ce me semble, esprimer ^ anu-
» lytiquemeQl d'une manière plus générnle qu'en le supposant une fonction de (
• et de ic. Mais, dans cette supposition, on ne trouve la solution du problème
>j que pour les cas où les différentes figures de la corde vibrante peuvent être
« renfermées dans une seule et même équation. ..
(^)lbid.,[>. i47i <-p^-
yGoosle
REPRÉSENTATION D'UNE FOXCTION PAR UNE SÉRIE IRIG0N0.1IÉTRIQUE. 22
que l'on a
'^ =CL'- ^,
et que, en même temps, y est toujours égal à o pour œ ^ o t
en prenant pour n un nombre entier. 11 expliquait ainsi le fait
physique qu'une corde, outre le son fondamental qui lui est
propre, peul encore donner le son fondamenlal d'une corde ayant
une longueur égale à ^, J, |, ... de la sienne (et d'une constitu-
tion d'ailleurs identique), et 11 regardait sa solution particulière
comme une solution générale, croyant que la vibration de la
corde, si le nombre entier n était déterminé d'après la hauteur du
son, serait représentée, au moins très approximativement, par
cette équation. L'observation qu'une corde pouvait donner simul-
tanément ses différents sons conduisit maintenant Bernoulli à
cette remarque, que la corde (suivant la théorie) pouvait aussi
vibrer conformément à l'équalîon
et, comme cette équation donnait l'explication de toutes les mo-
difications observées du phénomène, il la considérait comme la
plus générale ( ' )■ A l'appui de cette opinion, il étudia les vibra-
lions d'un fil tendu, sans masse, chargé en certains points de
masses finies, et fit voir que ces vibrations pouvaient toujours se
décomposer en un nombre, égal au nombre des points, de vibra-
tions dont chacune est de même durée pour toiites les masses.
Ces travaux de Bernoulli furent l'occasion d'un nouveau Mé-
moire d'Euler, imprimé immédiatement à leur suite, dans les Mé-
moires de l'Académie de Berlin (-). Euler y soutient ('), à
rencontre de d'Alembert, que la fonction peut être complètement
arbitraire avec les limites — / el + /, et remarque (') que la so-
(') Loc. cit., p. i57, art, XIII.
( = ) Année 1753, p. 196.
( = ) Loc. cil., p. 3r1.
{') loc. cit., art. III-X.
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230 BEUKIÈBE PARTIE. — MÉMOIBES PVDLIËS APRÈS LA MÛBT DE RIE3IANN.
luti'on de BernouUi (qu'il avait déjà prouvé n'être qu'une solution
particulière) serait générale dans le cas, et seulement dans le cas,
où la série
' K^
l
pourrait représenter, pour l'abscisse x, l'ordonnée d'une courljc
enliècemeiil arbitraire entre o et /. Or personne, à celle époque,
n'avait mis en doute que toutes les transformations que l'on pou-
vait faire subir à une expression analytique, qu'elle fût finie ou
infinie, ne fussent légitimes pour toutes les valeurs des quantités
indéterminées, ou du moins que, si elles devenaient inapplicables,
ce ne fût seulement que dans des cas tout à fait spéciaux. Il sem-
blait donc impossible de représenter une courbe algébrique, ou
généralement une courbe analytique donnée non périodique par
l'expression périodique ci-dessus, et Euler croyait, en consé-
quence, devoir décider la question contre Bernoulli.
Cependant le débat entre Euler et d'Alembert n'était pas en-
core terminé. Cela engagea un jeune géomètre, encore peu connu
alors, Lagrange, à tenter la résolution du problème par une voie
toute nouvelle, par laquelle il arriva aux résultats d'Euler. Il en-
treprit ( ' ) de déterminer les vibrations d'un fil sans masse, chargé
d'un nombre indéterminé et fini de masses égales et équidistantes,
et il rechercha ensuite comment varient ces vibrations lorsque le
nombre des masses croît à l'infini. Mais, quelque habileté, quelque
richesse d'artifices analytiques qu'il eût déployée dans la première
partie de cette élude, le passage du fini à l'infini laissait encore
beaucoup à désirer; si bien que d'Alembert, dans un écrit qu'il
plaça en tête de ses Opuscules mathématiques, put continuer à
réclamer pour sa propre solution le mérite de la plus grande gé-
néralité. Les opinions des plus grands géomètres de cette époque
continuèrent donc à rester divisées sur ce sujet; car, dans leurs
travaux ultérieurs, chacun conserva, au fond, son point de vue.
Pour résumer finalement les manières de voir qu'ils ont déve-
loppées à l'occasion de ce problème touchant les fonctions arhi-
(') Miscellanea Tauriiteiisia, t. I. Uccherchea sur la nature et la propagation
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REPRÉSENTATION d'dHE FONCTION PAR ONE SÉRIE rRIGONOMÉTRrQUE. a3l
Iraires et la possibilité de les représenter par une série trigono-
mélrique, Ealer avait, le premier introduit ces fonctions dans
l'Analyse, et, s'appiiyant sur l'intuition géométrique, leur avait
appliqué le Calcul înfinitésimai. Lagrange (') tint pour exacts les
résultats d'Euler (sa construction géométrique de la courbe des
vibrations); mais il ne trouva pas satisfaisant les procédés géomé-
triques d'Euler pour traiter ces fonctions, D'Alembert (*), au
contraire, admettait la manière dont Eiiler envisageait le Calcul
différentiel, et se bornait à contester la justesse de ses résultats,
parce que, dans le cas des fonctions entièrement arbitraires, on
ne pouvait pas savoir si leurs quotients différentiels élaient con-
tinus. Pour ce qui est de la solution deBernoulli, ils s'accordaient
tous les trois à ne pas ta considérer comme générale; mais, tandis
que d'Alembert ('), pour pouvoir déclarer la solution de Ber-
noulli moins générale que la sienne, était forcé de soutenir qu'une
fonction analytique donnée, même périodique, ne peut pas tou-
jours être représentée par une série tri gonomé trique, Lagrange ( ' )
croyait pouvoir démontrer celte possibilité.
Près de cinquante années s'étaient écoulées sans que la ques-
tion de la possibilité de la représentation analytique des fondions
arbitraires fît aucun progrès essentiel, quand une remarque de
Fourier vint jeter un nouveau jour sur cet objet. Une nouvelle
ère s'ouvrit pour le développement de cette partie des Mathéma-
tiques, et s'annonça bientôt d'une manière éclatante par do gran-
dioses développemcDls de la Physique mathématique. Fourier
remarqua que, dans la séfie Irigonoméirique
(') Miscellanea Tawinensia, t. II, Pars maili., p, i8.
(') Opuscules mathématiques, l. i, 1781, p. 16, art. VII-XX.
{') Opuscules mathématiques, t. I. p. ^1, ai't. XXIV.
(') Miscellanea Taurinensia, t. III, Pars math., p. iîîi, art. ?
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232 DEUXIÈME PARTIE. — HËMOIRE!! PUBLIÉS APRÈS LA HORT IIK IIIHSIANK.
les coefficients' se déterminent par les formules
"■■-=-/ A^)^'"n^dx, h„=l£'f(^)cosn^dx.
Il vit qnc cette détermination reste encore applicable lorsque la
fonclion/(x) est donnée tout à fait arbitrairement; il substitua
d'abord pour_/'(j;) une fonction de celles qu'on nomme discon-
tinues (l'ordonnée d'une ligne présentant un point de rupture
pour certaines valeurs de l'abscisse x), et il obtint ainsi une série
qui, effectivement, donnait toujours la valeur de la fonction.
Quand Fourier, dans un de ses premiers travaux sur la cha-
leur, présenté à l'Académie des Sciences le ai décembre 1807 {'),
énonça pour la première fois cette proposition, qu'une fonction
donnée (graphiquement) d'une manière tout à fait arbitraire
pouvait s'exprimer par une série trigonométriqae, cette assertion
parut à Lagrange si inattendue, que l'illustre vieillard la contesta
de la manière la plus formelle. Il doit exister encore (^) sur ce
débat une pièce écrite dans les Archives de l'Académie de Paris.
Malgré cela, Poisson, partout où il se sert des séries trigonomé-
triques pour représenter des fonctions arbitraires, renvoie (') à
un passage des travaux de Lagrange sur les cordes vibrantes, où
cette représentation doit se trouver. Pour réfuter cette allégation,
qu'on ne peut expliquer qu'en se rappelant la rivalité qui existait
entre Fourier et Poisson {"), nous sommes forcés de revenir en-
core «ne fois au Mémoire de Lagrange; car les Recueils publiés
par l'Académie ne contiennent rien sur cet objet.
On trouve effectivement, à Tendroit cité par Poisson ('), la
formule
y = 2/ YsinXTtrfX x sin37T: + 2/Y siu2Xi: dX x sinaa^ir
'T-2/,Ysin3XTrrfXxsiD3a7ju-i-...-Ha/VsinnXi:dXxsinnaTTi,
('] Bulletin des Sciences pour la Société philomathique, t. I, p. 113.
(") D'après une Communication verbale du professeur Diriclilel.
(') Notamment dans son Ouvrage le plus répandu, son Traité de Mécanique,
n° 323, t. 1, p. 636.
(*) Le Compte rendu dans le Bulletin des Sciences sur le Mémoire présenté
par Fourier 4 l'Académie ej*L de Poisson.
(') Miscellanea Tauriiitnsîa, t. III, Pars matli., p. 2tti.
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REPRÉSENTATIOX d'cNE FONCTTON PAIt USE SÉBIE TRICONOXÉTEIQUE. 233
« de sorte que, lorsque ^ ^^^ X, od aura y = Y, Y étant l'ordon-
née qui réjjond à l'abscisse X. »
Cette formule a bien le même aspect que la série de Fonrier, et
peut, au premier coupd'œil, être confondue avec elle; mais cette
apparence provient simplement de ce que Lagrange a employé le
signe /"cfX là où nous emploierions aujourd'hui le signe S4X.
Elle donne la solution de ce problème : Déterminer la série (inie
de sinus
de façon que, pour les valeurs ■ — —• -~- . ■ ■ ■ , ;;-— r de x, que
Lagrange désigne d'une façon indéterminée par X, elle prenne
des valeurs données. Si Lagrange avait fait n inISnî dans cette for-
mule, il serait bien parvenu au résultat de Fourier ; mais, lorsqu'on
lit complètement son Mémoire, on voit qu'il est fort éloigné de
croire qu'une fonction tout à fait arbitraire puisse réellement être
représentée par une série infinie de sinus. 11 avait, au contraire,
entrepris tout son travail, parce qu'il croyait que ces fonctions
arbitraires ne sont pas exprimables par une formule, et, quant à
la série trigonométrique, il pensait qu'elle peut, représenter toute
fonction périodique donnée analytiqueoient. Aujourd'hui, il est
vrai, nous avons peine à concevoir que Lagrange ne dût pas arri-
ver de sa formule de sommation à la série de Fourier; mais cela
s'explique par cette circonstance, que le débat entre Euler et
d'Alembert avait fait naître dans son esprit une opinion arrêtée
sur la voie qu'il fallait suivre. Il croyait que l'on devait commen-
cer par résoudre complètement le problème des vibrations pour
un nombre fini indéterminé de masses, avant d'employer les con-
sidérations de limites. Ces ' considérations exigent une étnde
assez étendue ('), qui eût été inutile s'il avait connu la série de
Fourier.
C'est Fourier qui a, le premier, compris d'une manière csacte
et complète la nature des séries trigonométriques (^). Celles-ci
ont été, depuis, employées de diverses manières en Physique ma-
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234 DEuxiÈHn pautie. — hémoires ruitLiÉs Ai'Hfes la mort de riemass.
lliématiquc pour la représentation des fondions arbitraires, et,
dans chaque cas particulier, on s'est aisémCQt convaincu que la
série de Fonrier convergeait effectivement vers la valeur de la
fonction; mais on est resté longtemps avant de pouvoir démon-
trer généralement cet important théorème.
La démonstration donnée par Canchy dans un Mémoire lu, le
27 février i8a6, à l'Académie de Paris ('), est insuffisante, comme
Dirichlet l'a fait voir (2). Caucliy suppose que, si, dans une fonc-
tion périodîquey(a:), donnée arbitrairement, on remplace x par
un argument complexe x-^yi, cette fonction est finie pour toute
voleur dey, mais cela n'a lieu que pour le seul cas où la fonc-
tion est égale à une grandeur constante. 11 est cependant facile de
voir qne celte supposition n'est pas nécessaire pour la suite des
conclusions. Il suffit que l'on ai tune fonction l'intégrale
{'?(?) °°'"„j"^ -'?.
pour " croissant indéfiniment, tend vers la valeur - ^(o);
2" Si o <; ^ < c ^ '' > l'intégrale
.{■<"-S
(»"*') s ..
pour n croissant indéfiniment, tend vers la valeur zéro :
la fonction 'f (p) étant supposée toujours décroissante ou toujour
croissante entre les limites de ces intégrales.
A l'aide de ces deux propositions, on peut évidemment, si 1
y Google
REPRÉSEKTATION d'iSE FONCTiON PAR UNE SÉRIE TRIUOSOMÉIRIQUE. 33^
roncLion ne passe pas un nombre infini de fois d'une marche crois-
sante à une marche décroissante et vice versa, décomposer l'in-
tégrale
i=: / -^*"^ — r^-7 — '^'
en un nombre ^«i de termes, dont l'un converge vers ^/{x + o)('),
un autre vers y (^r — o), et tous les autres vers o, lorsque n croît
à l'infini.
De là résulte que l'on peut représenter par une série trigono-
mélrique toute fonction se reproduisant périodiquement après
l'inlcrvalle it., et
i" Qui est généralement susceptible d'intégration;
2" Qui n'a pas un nombre infini de maxima et de minima;
3" Qui, dans le cas où sa valeur varie brusquement, prend la
valeur moyenne entre les valeurs limites prises de part et d'autre
de la discontinuité.
Une fonction qui jouit des deux premières propriétés, et non
de la troisième, ne peut évidemment pas être représentée par une
série trigonométrique : car la série trigonométrique qui la repré-
senterait en dehors des discontinuités en différerait aux points
mêmes de discontinuité; mais une fonction ne remplissant pas les
deux premières conditions peut-elle, et dans quel cas peut-elle
être représentée par une série trigonométrique ? C'est le point
que les recherches de Dirîchlet laissent indécis.
Ce travail de Dirîchlet a donné une base solide à un grand
nombre de recherches analytiques importantes. En mettant en
pleine lumière un point sur lequel Euler s'était trompé, il a réussi
à éclaircir une question qui avait occupé, depuis plus de soixante-
dix ans (depuis l'année 1703), tant d'éminents géomètres. En
effet, pour tous les cas de la nature, les seuls dont il s'agit ici, la
(') On démontre sans difficulté que la valeur d'une fonction /, qui n'a pas un
nombre infini de maxima et de minima, l'argument tendant vers se, soit par des
valeurs décroissantes, soit par des valeurs croissantes, doit toujours ou conver-
ger vers les valeurs finies /(a: -Ho) et/(j: — r>) [d'après la notation de Dîriciilet,
Dove's liepenorium der Pliysik, t. I, p. 170), ou devenir infinimenl grande [1].
y Google
a38 DEUXIÈME PARTIE. -— MÉMOini;s publiés aprîîs i.a mort iie iile.iiax>.
qiicslioti élaÎL complèlement résolue; car, si peu que nous sa-
chions comment les forces el les élals de la matière varient avec
le lieu et avec le temps dans les infiniment petits, nous pouvons
cependant admettre en loute sécurité que les fonctions auxquelles
ne s'appliqueraient pas les recherches de Dirichlet ne se rencon-
trent pas dans la nature.
Toutefois, ces cas non élucidés par Dirichlet semblent, pour
une double raison, mériter l'attention.
En premier lieu, comme Dirichlet lui-même le remarque à la fin
de son Mémoire, cet objet est intimement lié avec les principes du
Calcul infinitésimal, el peut servir à porter dans ces principes une
plus grande clarté et une plus grande précision. Sous ce rapport,
l'élude de celte question offre un intérêt immédiat.
Mais, en second lieu, l'application des séries de Fourior n'est
pas restreinte aux seules recherches physiques; on l'emploie aussi
mainienant avec succès dans une branche des Mathématiques
pures, la Théorie des nombres, et ici ce sont précisément les
fonctions dont Dirichlet n'a pas étudié la représentation en série
trigonométrîque qui semblent être les plus importantes.
A la fin de son Mémoire, Dirichlet promet Lien de revenir plus
tard sur ces cas; mais sa promesse est restée jusqu'ici sans effel.
Les travaux de Dirksen et de Bessel sur les séries de sinus et de
cosinus ne fournissent pas ce complément; ils sont, au contraire,
inférieurs à celui de Dirichlet sous le rapport de la rigueur et de la
généralité. Le Mémoire de Dirksen, publié presque en même
temps que celui de Dirichlet ( ' ), dont évidemment Dirksen n'avait
pu prendre connaissance, suit en général une bonne marche; mais
il contient quelques inexactitudes de détail. Sans parler, en eflet,
de ce que, dans un cas spécial (^), il trouve pour la somme de la
série un résultat faux, il s'appuie, dans une étude accessoire, sur
un développement en série (^), qui n'est possible que dans des cas
particuliers, de sorte que sa démonstration n'est complète que pour
les fonctions dont la première dérivée est toujours finie. lîessel (^ )
( ' ) Journal de Crelle, t. i, p. 176.
(') Loc. cit., formule (îs)-
(^) Loc. cit., art. 3.
('] it:a\j!.\.\ciiEK, Aslronomisclie NachriclUen, 11° 371
y Google
d'une fonction p\r lne série trego^oiiétriqt;!;. ;s3g
cherche à simplifierla démonstration de Dirichlet; mais les tnodi-
ficalions apportées dans cette démonstration ne donnenl aucune
simplification essentielle dans les conclusions, et servent tout an
plus à les rcvèlir d'une forme plus habituelle, ce dont ta rigueur
et la généralilé ont notablement à soulTrir.
La question de la possibilité de représenter une fonction par
une série trigonométrique n'est donc résolue, jusqu'ici, que dans
ces deux hypothèses, que la fonction soil généralement suscep-
tible d'intégration et n'ait pas un nombre Infini de maxima et de
minima. Si cette dernière hypothèse n'est pas admise, les deux
théorèmes d'intégration de Dirichlet ne suffisent plus pour décider
la question ; mais si la première hypothèse est rejetée, la règle de
Fourier pour la détermination des coefficients n'est déjà plus ap-
plicable. La voie que nous allons suivre pour étudier celle ques-
tion, sans faire de suppositions particulières sur la nature de la
fonction, dépend de là, comme on le verra ; une voie aussi directe
que celle de Dirichlet n'est pas possible par la nature même du
i notion de l'intégrale définie, et sur l'étendue dans laquelle
elle est applicable-
L'incertitude qui règne encore sur quelques points fondamen-
taux de la théorie des intégrales définies nous oblige à placer ici
quelques remarques sur la notion de l'intégrale définie, et sur la
généralité dont elle est susceptible,
El d'abord que doit-on entendre par
Pour répondre à celte question, prenons entre a et b une série
de valeurs x,, X^, ..., ^,,-.1, rangées par ordre de grandeur,
depuis a jusqu'à b, et désignons pour abréger j:,—a par 5,,
x-2 — X, par S^, ..., b — x,,.,^ par S„ ; soient, en ouLi-e, zi des
y Google
2^0 lIKUXltME PARTIE. — SlÉMOiUES PUIII.IÉS APRÈS LA HORT DE RIEIIAN.N.
nombres posUifs plus petits que l'unité. Il est ciaii- que la valeur
de la somme
-^ S,/(:r, + .,3,) +. . .+ S„/(a:„_, + ..3„)
dépendra du chois des intervalles S et des fractions s. Si elle a la
propriété, de quelque manière que les S et les e puissent être choi-
sis, de s'approcher indéliniment d'une limite fixe A, quand les 3
tendent tous \ers zéro, cette limite s'appelle la valeur de l'inté-
grale définie j f{^) dx.
Si la somme S ne tond vers aucune limite, la notation
I>
ne peut avoir aucune signification. On a cependant cherché dans
plusieurs cas à conserver à ce signe une définition précise, et parmi
les généralisations delà notion d'intégrale définie il en est une qui
a reçu l'assentiment de tons les géomètres. Si la fonction/(.2;)
devient infinie quand son argument x s'approche d'une valeur par-
ticulière c, comprise dans l'intervalle (a, b), alors évidemment la
somme S, quel que soit le degré de petitesse attribué aux S, peut
prendre une valeur quelconque : elle n'a donc aucune limite et le
signe / f{^) dx n'aurait, d'après ce qui précède, aucune signifi-
J 'f(^)d^^J f{x)dx
s'approche, lorsque i^ et «j deviennent infiniment petits, d'une
limite fixe, c'est celle limite que l'on désigne par
D'autres extensions, dues à Cauchy, de la définition do l'inté-
grale définie dans le cas où cette définition ne découle pas des no-
tions fondainen,tales qui précèdent, peuvent èlrc commodes pour
y Google
REPIIÉSËMATIOS DUNE FONCTION PAR U-M SERiE TRIGONOHÉTHIQL'E. 2^
cerLaines classes de recherclies, mais, elles ne sont pas gériérale-
menl admises, et l'arbitraire qui préside aux définitions de Cauchy
suffirait seul à les empêcher d'être universellemeot acceptées.
Recherchons maintenant l'étendue et la limite de la définition
précédente, et posons-nous cette question : dans quels cas une
fonction est-elle susceptible d'intégration? dans quels cas ne l'est-
elle pas ?
Considérons d'abord la définition de l'intégrale dans son sens le
plus étroit, c'est-à-dire supposons que la fonction ne devienne pas
infinie, et que la somme S converge, quand tous les S tendent
vers zéro. Désignons la plus grande oscillation de la fonction
entre a et x,, c'est-à-dire la difi'érence entre sa plus grande et sa
plus petite valeur dans cet intervalle par D, ; de même, les plus
grandes oscillations entre x^ et x^. par D^, . . - , entre x,i_, et 1/
par D„; alors la somme
doit devenir infiniment petite avec les quantités 3. Supposons que
la plus grande valeur que cette somme puisse prendre, quand tous
les 3 sont plus petits que d, soit A; i sera alors une fonction de d,
diminuant et devenant infiniment petite avec d. Maintenant, si la
somme totale des intervalles pour lesquels les oscillations sont
plus grandes qu'une quantité 7 est s, le contribution de ces inter-
valles à la somme
3,D,-h52 02-H...H-S„D,
sera évidemment égale ou supérieure à as. On aura donc
tr^g r^iD, ^. . .+ S„D„?i; d'où s.,^ -.
- peut d'ailleurs, siff est fixe et donné, être rendu infiniment petit
par un choix convenable de d; il en sera donc de même de s, et
l'on peut énoncer la proposition suivante :
Four que la somme S coiwerge, quand tous les 3 deviennent
y Google
ll\1 DËLXItME PARTIE. — MÉMOIRES l'UllLiÉS APRÈS LA MOIIT DE RIhîlA!N>.
infiniment petits, il faut non seulement que la fonction de-
meure finie, mais encore que la somme totale des intervalles
pour lesquels les oscillations sont plus grandes que c, quelque
soit 'S, puisse être rendue infiniment petite par un choix con-
venable de d.
Celte proposÎLion admet une réciproque :
Si la fonction f{x) est toujours finie, et si, par le décrois-
sement indéfini de toutes les quantités S, la grandeur totale s
des intervalles dans lesquels les oscillations de la fonction sont
plus grandes qu'une quantité donnée c peut toujours être
rendue infiniment petite, la somme S converge quand tous
les 3 tendent vers zéro.
Car ces intervalles, dans lesquels les oscillaLions sont plus
grandes que T, apporte» l. à la somme 3, D, 4- OïDj + . . . + o„D„
une contribution plus petite que s multiplié par la plus grande os-
cillation de la fonction entre a et b, oscillation qui est finie par
hypothèse : les autres intervalles donnent dans la somme une
partie plus petite que rj[b — a); ou peut prendre évidemment s
aussi petit qu'on le veut, et, alors, par lijpottièse, on peut déter-
miner la grandeur des intervalles, de telle manière que s soit aussi
petit qu'on le veut.
On peut donc rendre S,D| -H ô^DaH--- --(-S/jD« aussi petit qu'on
le veut, et, par suite, renfermer la somme S entre (les limites aussi
rapprocliées qu'on le voudra.
Nous avons donc trouvé les conditions qui sont nécessaires et
suffisantes pour que la somme S converge, quand les intervalles 5
tendent vers zéro, et, par suite, pour qu'il paisse être question,
dans le sens restreint, de l'intégrale de la fonetion/{;c) entre les
limitesa etè [2].
Si l'on étend, comme nous l'avons indiqué plus haut, la notion
d'intégrale aus cas où la fonction devient infinie, pour que l'inté-
gration soit possible, il faudra encore que la seconde des condi-
tions trouvées ci-dessus soit satisfaite; mais à la place de la pre-
mière, à savoir que la fonction demeure toujours finie, il faudra
faire intervenir la suivante : que la fonction ne devienne infinie
que lorsque son argument s'approclie de certaines valeurs parti-
culières, et que l'on obtienne une valeur limite parfaitement
y Google
RUPHÉSENTATios d'uke fO.\CT[ON p.iii USE sÉRiK tregonomEtbiqle. 243
létermincc, quand les limites cica inu'gralions s'approehent indé-
iriiment de ces valeurs pour lesquelles la fonction devient infinie.
I rapjiro-
irc infini
Après avoir trouvé les conditions pour la possibilité d'une inté-
grale définie d'une manière générale, c'est-à-dire sans hypothèse
particulière sur la nature de la fonction à intégrer, nous devons
en partie appliquer, en partie poursuivre cette recherche en par-
ticulier pour les fonctions qui, entre deas limil
chées qu'on le veut, deviennent discontinues i
de fois.
Comme ces fonctions n'ont pas encore été considérées, il sera
bon de partir d'un exemple parliculier. Désignons, pour abréger,
par (x) l'excès de x sur le nombre entier le plus voisin, ou zéro
si ^ est à égale distance des deux nombres entiers les plus voisins.
Soient d'ailleurs n un entier et p un entier impair, et formons la
série
/(^).
_(£0^
37) , (3^:)^
(nx)
'1^
Cette série converge, comme il est facile de le voir, pour toutes
les valeurs de x; sa valeur, toutes les fois que l'argument tend
d'une manière continue vers une valeur x, soit par des valeurs
décroissantes, soit par des valeurs croissantes, tend vrrs une limite
fixe, et l'on a, si ^ = 7^ (/j et n étant premiers en tee eux ),
/(.^o,=/(.,-^(,^! + J_..,),/,.,--|i,
/(.r -o) ./(»)+ JTT. ('+ ^ -- 5 +■ ■ ■) -/(«)+ ^,-
Pour toutes les valeurs de x qui ne sont pas de la forme ^ i on a
/(» + o)=/<»), /(«-o)=/(»).
Cette fonction est donc discontinue [jour toute valeur rationnelle
y Google
DEfXIÈHIE PARUE. — MÉMOIRES PURUftS APRÈS LA MORT DE RIEMÀKN.
de X qui, réduÎLe à sa plus simple expression, a un dénoi
pair; elle esl donc discontinue un nombre infini de fois dans un
intervalle, si petit qu'il soit, mais de telle manière que le nombre
des variations brusques qui sont supérieures à une grandeur
donnée est toujours fini. Elle esl pourtant susceptible d'intégra-
tion. Cela résulte, en effet, de ce que, outre qu'elle est une valeur
finie, cette fonction jouit des deux propriétés suivantes : que pour
chaque valeur de a:, il y a de part et d'autre une valeur limite
f{x + o) ctf(x — o), et que le nombre des variations brusques
qui sont plus grandes qu'une quantité donnée a esl toujours
fini. Alors, si nous appliquons les méthodes des articles précé-
dents, nous pourrons prendre d assez petit pour que, dans chacun
des intervalles qui ne renferment pas de ces variations brusques,
les oscillations soient plus petites que w, et que la grandeur totale
des intervalles qui contiennent ces variations brusques soit aussi
petite qu I
1 le voudra
Il importe de remarquer que les fonctions qui n'ont pas nu
nombre infini de maxima et de minima (auxquelles d'ailleurs
n'appartient pas la fonction que l'on vient de considérer) possè-
dent toujours ces deux propriétés là où elles ne deviennent pas
infinies, et, par suite, qu'elles sont susceptibles d'une intégration,
comme il esl facile de le montrer directement [3].
Si nous passons maintenant à l'examen détaillé du cas où la
fonction à intégrer devient infinie pour une valeur particulière de
œ, nous pouvons supposer que cela ait lieu ponr^ ^ o, et de telle
manière que, pour:» positif décroissant, la valeur de la fonction
dépasse toute grandeur donnée.
On démontre d'abord facilement que xf{x) ne peut pas, quand
X décroît à partir de «, demeurer constamment supérieur à une
quantité finie c; car on aurait alors
et, par suite,
Pw^.>c(,.,i-,„,i).
quantité qui croît indéfiniment quand x tend vers zéro : donc, si
y Google
nEP RÉSENT ATION d'uNE FONCTION PAR UNE SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE. 245
la fonction n'a pas un nombre infini demaxima et deminima dans
le voisinage de a: =o, il faut nécessairement que^/(^) devienne
infiniment petit avec x, pour que la fonction f{x ) soit susceptible
d'intégration. Si, d'autre part,
/{x)x'^ =
pour une valeur de a < i , est infiniment petit avec x, il est clair
que l'intégrale converge, quand sa limite inférieure tend vers
On trouve de même que, dans le cas de la convergence de l'in-
tégrale, les fondions
-rflogl
/(a-)37log-logiog- =
f(r)d^
-c^logloglogi
/(.r)a7logiloglogi..
jog«-i Mog«^ =
fic,)dv
-dlog"^
ne peuvent, lorsque x décroît à partir d'une limite finie jusqu'à
zéro, demeurer plus grandes qu'une quantité finie, et, par suite,
que, si elles n'ont pas un nombre infini de maxima et de minima,
elles doivent devenir infiniment petites avec x; qu'au contraire
l'intégrale converge, quand sa limite inférieure tend vers zéro,
toutes les fois que l'expression
/(,i,i.,.i...i..-^(.o,-^)--^ '-p'-:e. .
'\ " -rf(los"j)
pour œ < I, devient infinimenl petite avec x.
Mais si la ioaclionf(x) a, dans le voisinage de zéro, un nombre
infini de maxima et de minima, on ne peut rien déterminer sur
son ordre de grandeur dans le voisinage de zéro. En effet, suppo-
sons que les valeurs absolues de la fonction et, par conséquent,
son ordre de grandeur soient donnés. On pourra toujours dispo-
ser des signes de telle manière que l'intégrale j'f{x)dx con-
y Google
246 DEL'XIËSE PABTIIl. — MÉMOIRES riJBUËS APRÈS LA MORT DE RIEÎIAN-\.
verge, quand sa limite iuférieure décroît. On peut prendre comme
exemple d'une telle fonction, qui devient infinie, et de telle ma-
nière que son ordre /l'ordre de - étant pris pour unitéj soit infi-
niment grand, ia fonction suivante :
,„G=1
dx
Nous nous contenterons de ce qui vient d'être dit sur cet objet,
qui appartient à une autre branche de l'Analyse; nous allons
maintenant aborder le problème spécial que nous nous sommes
proposé : la recberche générale des conditions sous lesquelles une
l'onction peut être représentée pur une série trigonométrique.
Étude sur la possibilité de représenter ime fonction par une série
trigo nom étriqué, sans faire aucune supposition sur la nature de
la fonction.
§ VII.
Les travaux que nous avons signalés sur cette question avaient
pour but de démontrer la série de Fourlcr pour les fonctions que
l'on rencontre en Physique mathématique; on pouvait donc com-
mencer la démonstration pour des fonctions tout à fait arbitraires,
et ensuite soumettre la marche de la fonction à des restrictions
quelconques, nécessaires pour la démonstration, si ces restric-
tions n'allaient pas contre le but que l'on s'était proposé, et con-
venaient aux fonctions que l'on avait en vue. Dans notre pro-
blème, la seule condition que nous imposerons aux fonctions,
c'est dt, pouvoir être représentées par une série trigonométrique ;
nous rechercherons donc les conditions nécessaires et suffisantes
pour un tel mode de développement des fonctions. Tandis que les
travaux antérieurs établissaient des propositions de ce genre : « si
une fonction jouit de telle et telle propriété, elle peut être déve-
loppée en une série de Fourier )>, nous nous proposons la question
inverse : i< si une fonction est développable en une série de Fou-
rier, que résulte-t-il de là sur la marche de cette fonction, sur la
y Google
REPBÉSËNTATIOS n*L\E FONCTION PAR UNE SÉRIE TRIGONOUÉTBIOCE, 2^7
variation de sa valeur, quand l'argument varie d'une manière con-
.inue? »
A cet effet, considérons la série
ou, si pour abréger nous posons
- in = Ao, <(, sinj^ + i, cosa^ = Al, «j si
que nous supposons donnée. Nous désignerons cette série par (i,
et sa valeur par_/'(a:), en sorte que cette fonction est déterminée
seulement pour les valeurs de x qui rendent la série convergente.
Il est nécessaire, pour la convergence de la série, qneses termes
finissent par devenir infiniment petits. Si les coefficients a,,, b„
tendent vers ïéro pour n croissant à l'infini, les termes de la série Q
finiront par devenir infiniment petits, quel que soit x; sinon, ils
ne pourront le devenir que pour des valeurs particulières de a^.Les
deux cas doivent être traites séparément.
§ vin.
Supposons d'abord que les termes de la série Q finisscntpar de-
venir infiniment petits, quel que soit x.
Dans cette lijpollièse, la série
C-HC'3!-i-A(, ^ — A, - '.^~— ' — .,.-- F(3;)
qu'on déduit de 0, en intégrant deux fois consécutivement cliaque
terme, sera convergente, quel que soit x. Sa valeur F{^) varie
d'une manière continue avec x, et cette fonction F(^) est, par
suite, toujours susceptible d'intégration.
Pour reconnaître à la fois la convergence de la série et la conti-
nuité de la fonction ^{x), désignons la somme des termes jusqu'à
y Google
a^S DIÎUXLÈME PARTIR, — MÉMOIRES PUBLIÉS APRtiS 1,A MORT D[
— ~ par N; le reste de la série, c'est-à-dire la série
par R, et la plus grande valeur de A,„, pour m >n, par e. La va-
leur de R, quelque loin qu'on prolonge cette série, est évidem-
ment plus petite, abstraction faite du signe, que
el, par suite, R peut être renfermé entre des limites aussi petites
qu'on le veut, quand n prend des valeurs suffisamment grandes;
donc la série est convergente. De plus, la fonction F est continue,
c'est-à-dire que son accroissement peut être rendu aussi petit
qu'on le veut, en assignant à a: un accroissement suffisamment
petit; car l'accroissement de F{^) se compose de deux parties :
celui de N et celui de R; or on peiit prendre d'abord n assez
grand pour que R, quel que soit x, soit aussi petit qu'on le veut,
et, par conséquent, pour que l'accroissement de R, pour chaque
accroissement de x, soit infiniment petit; et ensuite on peut
prendre l'accroissement de x assez petit pour que celui de N soil
au-dessous de toute quantité donnée.
Il sera bon de présenter maintenant, sur la fonction ¥(^x), quel-
ques théorèmes dont la démonstration interromprait la suite de
notre élude.
TnÉoniiME I. — Quand la série Q est convergente, Vexpres-
■110 a
F(.r^:. + 3)-F(^^a-p) - F(^ - ^ ^ ^) + F(^ - ^ - g)
OUI. et p sont de$ infiniment petits dont le rapport estjlni, con-
verge vers la même limite que la série.
>?)H-F(«
y Google
REPRÉSENTATIO.\ u'ufiF. VOXCCIOS PAK USE SÉIIIE IRIGONOMÉTRIQUE. 3^9
OU, pour traiter d'abord le cas plus simple où a =^ jS,
^— (^T-(tF)'-
si la série infinie A^ + A, + A^ + - . - est désignée par/(^), et
que l'on fasse
on cloil pouvoir trouver, pour une grandeur donnée à volonté S,
une valeur nz de n telle que, si n';>m, e„ (ieviennc plus petit
que S. Prenons maintenant a. assez petit pour quem^t <; -k; trans-
formons, par la substitution
la série
dans la suivante
et partag^eons cette série en trois parties, en réunissant :
i" Tous les termes de rang i à minclusîvement;
■>.° Les termes de rang m + i , jusqu'au plus grand nombre en-
tier, que nous désignerons par j, inférieur à - ;
3° Depuis i-(-i jusqu'à l'infini.
La première partie se compose de termes variant d'une manière
continue, etpeut être rendue, par conséquent, aussi voisine qu'on
le voudra de sa valeur limite zéro, si l'on prend a suffisamment
petit.
La deuxième partie, comme le facteur de Sm est toujours po-
sitif, est évidemment plus petite, abstraction faite du signe, que
= [(^S^)'-(^)']-
Pour trouver enfin des limites entre lesquelles soit renfermée
y Google
3D0 DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PliRLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMANN.
la troisicmc partie, décomposons son terme général en deux
parties,
Sous eette forme, il esl clair que le terme général est plus
petit que
et, par suite, la somme depuis s -!- i jusqu'à l'infini est plus petite
que
valeur qui, pour i. infiniment petit, se transforme en
La série
approche donc, pour une valeur décroissante de a, d'une valeur
limite qui n'est pas supérieure à
et, par conséquent, qui est nulle ; et, partant, l'expression
converge, lorsque a décroît indéfiniment, vers la limitc/(a:) : ce
qui démontre notre théorème pour a^ fl.
Pour le démontrer dans le cas général, soit
yGoosle
RnpRfiSENTATlON U'VSH FONCTIOS P.IB USE SÉniE TBIGO.NOMÉTRIQLE. ïïSl
= 4^^/(3') + (« + ii)^3i-(^-p)' S,.
Par suite de ladémoDstration déjà faite, 8| et S^ sont infiniment
petits quand a et ^ le sont : donc il en sera de même de
pourvu que les coefficients de S| et de 8j ne deviennent pas infi-
nis, ce qui n'a pas lieu si le rapport- demeure fini; et, par suite,
converge vers /(x). c. q. r. n.
Théorème II.
est toujours infiniment petit avec a..
Pour le démontrer, partageons la série \^ -^n ( — -"' ) ^i* 'rois
groupes, dont le premier contienne tous les premiers termes jus-
qu'à un certain indice m, à partir duquel A„ demeure inférieur
à s; le second, tous les termes suivants pour lesquels na est plus
petit qu'une quantité déterminée c; le troisième, tous les aiitres
termes de la série. Il est facile de voir que, si a décroît, la somme
du premier groupe fini demeure finie, c'est-à-dire plus petite
qu'une quantité déterminée Q; celle du second, plus petite que
Ê-; celle du troisième, plus petite que sV -^-^ <^ — ■
qui est égal à
y Google
ab'î BËL'KIÈMË PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT 11
esl inférieur à
d'où rcsulte le théorème qu'il s'agissait de démontrer.
Théokème III. — Si l'on désigne par b et c deux constantes
arbitraires, dont la plus grande est c, et par ).(a:) une fonc-
tion qui demeure finie entre b et c, et s'annule aux deux
limites, dont la dérivée première ait les mêmes propriétés, et
dont la dérivée seconde n'ait pas un nombre infini de maxima
et de niinima, l'intégrale
,-£n.
quand |j, ci'olt indéfinimunt , devient, plus petite que toute
quantité donnée.
Remplaçons F(a;) par son expression en série dans Tinlégrale
précédente; nous obtiendrons pour cette intégrale ia série
A„cosjji(3: — a) peut évidemmenl se décomposer en une somme
de quatre termes,
et, si l'on désigne par Bji+„ Ja somme des deux premiers, et par
B|x_« celle des deux derniers, on aura
et ]î[;-|-/i, Bji „ deviendront infiniment petits, quand « croîtra
indéfiniment.
y Google
RErRÉSESTATION Tl'UXE FONCTION PAR UNK SÉniE TRIIIONOMÉTRIQUE. a53
Le Lcrme général de la série (•!>),
peut donc s'écrire
011, en intégrant deux fois par parties, et considérant d'abord
l(^), puis 'i'i^x) comme constantes,
puisque ï,(^) et î/(a^) deviennent nuls aux limites de l'intégration.
On s'assure facilement que / B[i+„),"(,r) de ■ à i — - ■ ■ ■■> de i 4-
[l [X Jt _ [X
à +oc; car si, en partant de zéro, on sépare 1 intervalle entier de
— co à -i- » en intervalles de la grandeur de —, et que l'on rem-
place partout la fonction sous le sig'ne / par sa plus petite valeur
dans l'intervalle considéré, on obtient, puisque la fonction n'a
aucun masimum entre les limites de l'intégration, tons les termes
de la série.
Si l'on effectue l'inlégralion, l'on trouve
1 r d3
et, par suite, entre les limites déjà indiquées, une valeur qui ne
devient pas infinie avec jJ- [ !■]■
§IX.
A l'aide de ces trois théorèmes, on peut énoncer les proposi-
tions suivantes, sur la possibilité de représenter une fonction par
une série irîgonométrique dont les termes finissent par devenir
infiniment petits pour toute valeur de l'argument.
y Google
REI'RÉSENTATION n'vfit. FOSCTION i'AR UNE SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE. 255
1, Pour qii'iiDc fonclion périodique, ajant 27c pour ptriode,
puisse être représentée par une série Irigonomé trique dont les
lermes finissent par devenir infiniment petits pour toute valeur
de x, il faut qu'il existe une fonction continue F(^}, dont /(x)
dépende de telle manière que l'expression
OÙ a et |3 sont des infiniment petits dont le rapport est fini, con-
verge vers /(■»)-
Il faut, de plus, que l'intégrale
■x'-J F(^)cos,u(:^-■
A,-...-i-A,= A£'[„(„-C.,^^']-
y Google
iiEPHÉSESTATros d'l-^e fonctiox par use série trigonométrique. 237
Or, d'après le ihéorèmo III du paragraphe prccédenL, l'inlégralc
^rc"'
devient infinimenl petite quand n croît indéfiniment, si ).(i) de-
meure continue, ainsique sa dérivée première, si 'i''{t) n'a pas un
nombre infini de maxima et de minima, et si, pour ( = :*;, on a
X"'(ï) et î."'(i) demeurant finies el continues [6].
Cela posé, si l'on prend ),(i) égal à 1, en dehors des limites h,
c, el à 1 — p((), entre ces limites, ce qui est évidemment permis,
il résulte de là que la différence entre la série A, -j-, . . -h A„ el
l'intégrale
d.-^-
. X — l
devient toujours infiniment petite, quand 11 croit indéfiniment.
On vérifie facilement, au moyen d'une intégration par parlle>,
que ie terme
d'- - — —^
;;/(«''-*.ï) — ^
tend vers Ao, quand n devient infini, d'où résulte la démonstra-
tion du théorème proposé.
Il résulte des recherches précédentes que, si les coefficients
de la série Ù finissent par devenir infiniment petits avec -, la
y Google
558 DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUIll.IfiS APRÈS l* MORT DE RIEMANN.
convergence de lu série, pour une valeur déLenninée de x, dépend
seulement de la manière dont se comporte la fonction dans le voi-
sinage immédiat de cette valeur.
Pour reconnaître si les coefficients de la série deviennent tou-
jours infiniment petits, on ne pourra pas toujours partir de leur
expression par des intégrales définies, et l'on devra avoir recours
à d'autres méthodes. Il importe cependant de considérer à part
un cas où cette propriété résulte immédiatement de la nature de
la fonction, à savoir : celui où la fonction/(.r) demeure toujours
finie et est susceptible d'intégration.
Dans ce cas, si l'on sépare l'intervalle complet de — t: ù H-tt en
petits intervalles de grandeurs ô|, Oj, Sj, ..., cl si l'on désigne
par D, , Du, Dj, ... les plus grandes oscillations de la fonction
dans ces intervalles, la somme
3,Di-hS2D;-i-SaD3+...
devra devenir infinimcn t petite, quand tous les 5 tendront vers zéro.
Cela posé, si l'on partage l'intégrale
qui représente, au facteur - près, les différents coefficieiil>i de la
série, ou, ce qui est la même chose, l'intégrale
prise à partir de a: = a, en intégrales partielles correspondant à
des iniervalles égaux à— ^j alors chacune d'elles fournît à la somme
une portion plus petite que - multiplié par la plus grande oscil-
lation dans son intervalle, et leur somme est plus petite qu'une
grandeur qMÎ, d'après les hypothèses, devient infiniment pelite
En effet, ces intégrales sont de la forme
r:
y Google
REPRÉS l!M A IIO.N 1) f.NE FONCllON PAR U.NK SÉRIE TRIGONOMÉTUIQUE. n^g
Le sinus est positif dans la première moitié de l'intervalle, et né-
gatif dans la seconde. Si donc on désigne par M la plus grande
valeur de /{^) dans cet intervalle, par m la plus petite, il est clair
qu'on aiigmenLe l'iatégcale si, dans la première moitié de l'inter-
valle, on remplace f{x) par M, et dans la seconde moitié par m,
et que l'on diminue l'iotégrale si, dans la première moitié, on
remplace /(a;) par m, el dans la seconde par RJ. Dans le premiei-
cas, on obtient
et, dans le second,
L'intégrale, abstraction faite du signe, est ctniic plus pclile que
et, par suite, l'intégrale
est plus petite que
si l'on désigne par Mj et m^ la plus grande et la plus petite valeur
àef{x) dans le s'^"" intervalle. Cette somme, puisque/(^) est
susceptible d'intégration, doit devenir infiniment petite toutes les
fois que l'intervalle — tend vers zéro.
Donc, dans le cas que nous avons supposé, les termes devien-
dront infiniment petits avec -^ quel que soit x.
% XI.
Il reste encore à esaminer le cas où les termes de la série ii de-
viennent infiniment petits avec - pour une valeur de l'argument a',
sans qne cela ait lieu pour toute valeur de cet argument. Ce cas
peut se ramener au précédent.
y Google
360 UEI,\liSl[E L'AIITIE. — MfiMOinES l'L'IlT.ffiS APRftS L.l IIORT DE RIEJIAKN.
Si, dans les séries relatives ans valeurs de l'argument x -\~ i et
X — î, on additionne les termes de même rang, on obtient la série
2A„ -H 2 A, eosî -h aAï co.sa ( + . . . ,
dans laquelle les termes deviennent infiniment petits avec - pour
toute valeur de t, et à laquelle on peut, par conséquent, appliquer
les méthodes des articles précédents.
Désignons, pour cela, par G(i) la valeur de la série infinie
C + C'j- + A„ ^' + A„ ^ - A, ^^ - A, ^2îlf _ A, ^:^^' -. . -,
■'- a 1 4 y
de telle manière que — ^^ ■■■ ''" ■ — — ^ soit égal à G{() pour
toutes les valeurs de ( pour lesquelles les séries qui représentent
Y{^x -\-t) et F(x — l) sont convergentes. On aura alors les pro-
positions suivantes :
T. Si les termes de la série il deviennent infiniment petits avec
- pour toute valeur de j:, alors la fonction
^^X""^'
t)^<^^,^{t~a)■k{t)dt,
\{t) étant une fonction définie comme précédemment (§ IX), de-
vient infiniment petite quand [a croît au delà de toute limite. La
valeur de l'intégrale se compose de deux parties
toutes les fois que ces deux intégrales ont une valeur déterminée.
La valeur de l'intégrale est donc rendue infiniment petite par la
manière dont se comporte la fonction F en deux points situés sy-
métriquement au-dessus et au-dessous de x. Il faut d'ailleurs re-
marquer qu'il doit exister, dans le cas actuel, des points pour les-
quels chacune de ces parties, considérée en elle-même, ne devient
pas infiniment petite; car, autrement, tous les termes de la série Û
finiraient par devenir infiniment petits avec - pour toute valeur
y Google
REPRÉSEMATIOM d'une F0^"CT10N PAS tNE SÉRIE TRIGONOîIÉTEIQUE. 201
de l'argument x. Par conséquent, les valeurs correspondant à ces
deux points, situés symétriquement par rapport à x, doivent alors
se comjienser, el cela de manière que leur somme tende vers zéro
quand [i croît infiniment. Il s'ensuit que la série ne peut être
convergente que pour des valeurs de la quantité x pour lesquelles
les points où
■•!.'
n'est pas infiniment petit pour œ infini sont situés s_)'métrique-
ment. Si le nombre de ces intervalles symétriques est infiniment
grand, il résulte évidemment de ce qui précède que la série trigo-
nométrique pourra converger pour une infinité de valeurs de x,
sans que ses coefficients deviennent infiniment petits avec - pour
toute valeur de x.
Réciproquement, on a
^— ^r['
G(0-
el, par suite, A,j deviendra 1
fois que
" G(t)cos!,.it-a}l(t)dl
"X'
deviendra infiniment petit quand \>. dépassera toute limite.
ïï. Si les termes de la série Ù deviennent infiniment petits avec
- pour la valeur Ji; de l'argument, la convergence ou la divergence
de la série dépendra de la marche de la fonction G(() pour une
valeur infiniment petite de ( et la difl'érence entre
A„-^A,H-...-i-A„
et l'intégrale
U''
deviendra infiniment petite avec -> si b est une constante aussi
y Google
202 DEUXIÈME PARTIE. — MÉHOIRES PUBLIÉS APRÈS LA JIORT DE niEMANS.
petite qu'on le voudra, comprise entre zéro et -n, et p{;) une fonc-
tion telle que p(^), ?'{') soient toujours continues, et soient
égales à zéro pour i= 6, et qu'en outre o"(t) n'ait pas irn nombre
infini de masima et de minima, et qiie, pour ( = o, on ait
P(0 = o, p'(0=o, ?'(t) = o,
}'" (j) et f{t') (Icracurant finies et continues.
§xii.
Les conditions nécessaires à la représentation d'une fonction
par une série trigonométrique peuvent bien être encore un peu
restreintes, et, par suite, nos recherches peuvent être encore pous-
sées plus avant, sans qu'il soit fait aucune hypothèse particulière
sur la nature de la fonction. Par exemple, dans le dernier théo-
rème obtenu, la condition que ^"(o) := o peut être supprimée, si
l'on remplace, dans l'intégrale
-/ <^(0 âir^ 9iA)dl.
G{t) par G{;) — G{o); mais on ne gagne ainsi rien d'essentiel.
Passons donc à la considération des eas particuliers, et propo-
sons-nous d'indiquer, pour le cas où la fonction n'a pas on nombre
infini de maxima ou de minima, les propositions complémentaires
qu'on peut encore ajouter au travail de Dirichlet.
11 a été remarqué plus haut qu'une telle fonction peut toujours
être intégrée partout où elle ne devient pas infinie, et il est évi-
dent qu'elle ne peut devenir infinie que |»our un nombre limité
de valeurs de l'argument. Dirichlet démontre aussi que, dans les
expressions intégrales du «'™'" terme de la série et de la somme
des n premiers termes, la portion de l'intégrale relative à tous les
intervalles, à l'exception de ceux où la fonction devient infinie et
de l'intcrvallfl infiniment petit comprenant la valeur de l'argu-
y Google
BEPnÉSENTATlON D'UNE FONCTION PAR t!NE SÉRIE TRIGOHOM ÉTRIQUÉ. 263
ment X, devient infiniment petite, quand n croît indéfiniment, et
/"'/(.)-
uii o <; i <; -, et oùf{t) ne devient pas infini dans les limites de
l'intégration, converge, pour n infini, vers T:f{x-\' o), et ceUe
démonstration ne laisse rien à désirer, quand on supprime l'hypo-
thèse inutile que f{x) soit continu, H reste seulement à recher-
cher dans quels cas les intégrales relatives aux intervalles infini-
ment petits, dans lesquels la fonction devient infime, deviennent
infiniment petites, quand n augmente indéfiniment. Cette re-
cherche n'a pas été faite; mais Dirichlet a seulement fait voir, en
passant, que cela a lieu dès que l'on suppose que la fonction à
représenler est susceptible d'intégration; mais celle hypothèse
n'est pas nécessaire.
Nous avons vu plus haut que, si les termes de la série ii de-
viennent infiniment petits avec - pour toute valeur de x, la fonc-
tion F{^), dont f{x) est la dérivée seconde, doit être finie et
est toujours infiniment petit avec a. Si maintenant la fonction
n'a pas un nombre infini de maxima et de minima, alors, quand t
deviendra nul, elle devra tendre vers une limite finie L ou devenir
in finie, et il est évident que
if [^'f^^
t)-¥'{x
devra de même converger vers L ou vers l'infini, et, par suite,
que cette expression ne deviendra infinimenl petite que si
a icro pour limite. D'après cela, û f{x) devient infini pour ^-=rt.
y Google
264 DEUXIÈMB rAltrlE. — MÉMOIRES PUBLIES APRÈS LA MORT DE RIE3IASN.
il faut que l'on puisse toujours intégrer f{a-hl)-i-/(a—t)
jusqu'à (=^0. Cela suffit pour que
(r"*x!.) "'■'''" "'"'"'-"'
converge lorsque e tend vers zéro, et devienne infiniment petit
quand n croît. Comme d'ailleurs la fonction F (;c) est finie et eon-
liuue, F'(x) doit être susceptible d'intégration jusqu'à « =; «, et
{x — a)F'{a;) devenir infiniment petit avec x — a, si cette fonc-
tion n'a pas un nombre infini de maxlma et de minima, d'où il
et, partant, que {x~a)f{x) pourra aussi êlre intégré jusqu'à
x = a. D'après cela, J'f{x) sin n{x — a) dx peut aussi être in-
tégré jusqu'à x^a, et pour que les coefficients de la série finis-
sent par devenir infiniment petits, il suffira évidemmentque l'in-
tégrale
OÙ b-"^-^ ("<'E RIEMANN.
Si donc cette dernière grandeur ne devient pas inliniment petite,
comme l'intégrale relative aux autres intervalles tend vers zéro,
e / f{x)co%n{x^a)dx à cette même quantité
converge vers l'unité.
Si l'on suppose que «(x) et ■^J {x) soient, pour x infiniment
petit, du même ordre que certaines puissances de x, savoir, '^{x)
de l'ordre de a;^, if'{x) de celui de x~^~^ ^ où v>* 0, [i^o, alors,
pour n infini,
sera de l'ordre de a ', et, par suite, ne sera pas infiniment petit
si [j:.^2v. Mais, en général, iix'Y{x) on, ce qui est la même chose,
si j ■■ ' devientinfinimentgrandpoura; infiniment petit, on pourra
toujours choisir '^{x) de telle manière que jrra(x) soit infiniment
petit avec a;, et que
y -'dx'h'ix) V
devienne infiniment grand, et, par suite, l'intégrale / f{^) dx
peut être prise à partir de zéro, sans que / /(^) cosh(x — a) dx
devienne infiniment petite quand n croit indéfiniment. Comme on
le voit, dans l'intégrale i f[x)dx, les accroissements de l'inté-
grale, quand x tend vers zéro, se compensent, quoique leur rap-
port à la variation de accroisse très rapidement pendant les rapides
changements de signe de la fonction ; par l'introduction du fac-
teur cosiiix — a), on obtient ce résultat, que les accroissements
de l'intégrale s'ajoutent en valeur les uns aux autres.
De même que nous venons de voir que, pour une fonction tou-
jours susceptible d'intégration, la série de Fourier peut n'être pas
convergente, et que les termes de cette série peuvent devenir in-
finiment grands avec h, de même aussi on peut indiquer des fonc-
tions qui ne sont jamais susceptibles d'intégration, et pour les-
y Google
REPRÉSENTATION n'i'NE FONCTION PAR UNB SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE. 269
quelles la série 11 converge pour une infinité de valeurs de x prises
entre deux valeurs aussi rapprochées qu'on le veut.
Or» a nn exemple de ce nouveau cas dans la fonction représentée
par ia série
!¥■
oii {nx') a la même signification qu'au § VI. Cette fonction existe
pour toute valeur rationnelle de x, et est représentée par la série
trigonoinétrique
oiî l'on doit mettre à la place de tous les diviseurs de n, mais
qui ne reste comprise entre des limites finies dans aucun inter-
valle, si petit qu'il soit, et, par eonséquent, n'est susceptible d'au-
cune intégration.
On obtient un exemple du même genre lorsque, dans les séries
on met, pour t„, c,, (,v, . .., des quantités positives toujours dé-
croissantes et devenant infiniment petites, mais pour lesqueUeti
2, ^s devient infiniment grand. Car, si le rapport de x à aî^ est
rationnel, et s'il a pour dénominateur m, quand il est réduit à sa
plus simple expression, ces séries seront évidemment conver-
gentes ou divergentes, suivant que
seront égaux à zéro ou difTérenls de zéro. Les deux cas se pré-
sentent, d'après un théorème connu de la division du cercle ('),
pour une infinité de valeurs de x, comprises entre des limites
aussi rapprochées qu'on le veut.
(') Disquisit. arithin,, p, fi3(i, art. 3ôG.
y Google
370 UEUXIËHE PAIITIG.
— UËSOIRES PDDLlES APRES Ll NOBT DE RIBXAIS':).
La série Q peut a\v.
^si converger dans un intervalle aussi grand
qu'on le Yeut, sans qi
le la valeur de 1a série
que l'on obtient par
l'intégration de chaque terme do 0, puisse
être intégrée dans un intervalle aussi petit que l'on voudra.
Considérons, 'par exemple, l'expression
- ?'0 !<•§
1"
où l'on prend les logarithmes de telle manière qu'ils s'évanouissent
pour q^o, el développons-la suivant les puissances ascendantes
de ç, en y remplaçant tj par e'^^; la partie imaginaire du dévelop-
pement forme une série trigonomé trique qui, différentiée deux
fois par rapport à x, converge un nombre infini de fois dans
cliaque intervalle, tandis que son premier quotient différentiel
devient nul un nombre infini de fois.
Une série trigonomé trique peut aussi converger un nombre in-
fini de fois dans un intervalle aussi petit qu'on le veut, sans que
ses termes deviennent infiniment petits avec - pour toute valeur
de X. Un exemple simple est fourni par la série
011 n\ désigne, comme d'habitude, le produit 1 .a.3. . ,«. Cotte
série converge non seulement pour toute valeur rationnelle de a:,
puisqu'elle est alors limitée, mais aussi pour un nombre infini de
valeurs irrationnelles, dont les plus simples sont sin 1 , cosi, -,
et leurs multiples, et, en outre, les multiples impairs de c,
de ^^, etc. [9].
yGoosle
REPRÉSENTATIOX I
; SÉRIE TriiGO\0HÉTniQi:E. 271
TABLE DES MATIÈRES.
torique de la question de ta possibilité de représenter une fonction
fhes. P„sa5.
Depuis Euler jusqu'à Fourier :
Origine de la question dans le débat sur la généralilé des solu-
tions proposées par d'Alembcrt et Bernoulli pour le problème
des cocde vibrantes, en 1753, Opinions d'Euler, Je d'Alembcrt,
de Lagrange 356
Depuis Fourier jusqu'à Dirichlei :
Vues exactes de Fourier, combattues par Lagrange, iSo'; ; Cauchy,
Depuis Dirichlet ;
Solution de la question par Dirichlet pour les fonctions qui se
présentent dans la nature, 1839. Dirksen, IScssel, i83g 334
Sur la notion d'intégrale définie, et l'étendue dans laquelle
elle est applicable.
Définition d'une intégrale définie 2%
Conditions de possibilité d'une intégrale définie a',!
Cas singuliers '..^3
Étude delà possibilité de représenter une fonction par une série
trigonométrique, sans faire d'hypothèses particulières sur la
nature de la fonction.
Plan de cette étude 2^6
I. — Sur la possibilité de représenter une fonction par une série
trigonométrique dont les coefficients finissent par devenir
infiniment petits.
Démonstration de quelques théorèmes importants pour celte élude. 2^7
Conditions pour la possibilité de la représentation d'une fonction
par une série trigonométrique dont les coefficients décroissent
indéfiniment a54
Les coefficients de la série de Fourier finissent par devenir infini-
ment petits quand la fonction à représenter ri
finie et est susceptible d'intégration
y Google
XI. liéduc
ARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT nrî RIEMANN".
Sur la possibilité de représenter une fonction par une
série trigonométrique dont les coefficients ne décroissent
n dec
u précédent.
Coiisidéralion de certains cas particuliers.
XII. Fonctions qui n'ont pas un nombre infini de raaxima et de m
XIII. Fonctions qui ont nn nombre infini de maxima et de minii
NOTES.
[I](p.a37). Supposons que la fonction /(a;) ne croisse pa
tervalle A entre a; et a^, > x, et désignons par g la limite
des valeurs que prend y(a^-(- ^ pour o <5 < i, c'est-à-dire
qui n'est surpassée par aucune de ces valeurs fonctionnelle;
peut être atteinte avec tout degré quelconque d'approximation
g — f(jt: -h^)ne diminuera jamais pour {croissant, mais devra
; infinin
el'o
Lim[^--/(:^+i)] = o, é'=f(^
; S de nombres réels, dont les individus, se pré-
I inlini, ne peuvent surpasser une valeur numé-
imite supérieure, est, il est vrai, énoncé avec
■ la première fois par 'Weierstrass (comparer
ï,Teubner).
5 =
Le théorème qu'un systèn
sentant en nombres flni c
rique finie, possède une
précision et démontré pc
O, BiEHMANH, Théorie des Fonctions analytiques, ^i6; Leip!
La démonstration , basée sur les intuitions de Dedekind relat
bres irrationnels (Continuité et nombres irrationnels, Brunswick, 1872;
Vieweg), est très simple. En effet, si l'on partage la suite des nombres
réels en deux parties A et B, de telle sorte que chaque nombre « de A
soit surpassé par des nombres du système S, et que chaque nombre b
de B ne le soit pas, ces deux parties A et B sont séparées par un nombre
existant ^ qui possède évidemment les attributs caractéristiques de la li-
mite supérieure de S.
[2] (p. 24a). Ici se plat
que nous cbercherons à ex
compléter la dcmonstratic
n fragment de
y Google
REPBÉSEKTArlON D'UNE FONCTION PAR UNE SÉKIE TRIGONOMÉTRIQUE. 2yS
condition suffisante pour la convergence de S. Il pourrait sembler, lorsque
pour deux subdivisions différentes où les intervalles 8', S" sont plus petits
que d, et oh la différence, par suite, entre les valeurs maxima et mînima
de la somme S (limites supérieure et inférieure) que nous désignerons
pour les deux subdivisions par S' et S', est plus petite qu'une grandeur
donnée s, il pourrait sembler, dis-je, que les sommes S' et S" elles-mêmes
puissent différer d'une quantité finie.
Pour en reconnaître l'impossibilité, formons une troisième subdirision d
à laquelle corresponde la somme S, en prenant ensemble les deux subdivi-
sions S' et S", Comme maintenant chaque élément S' est constitué par un
nombre entier d'éléments 5, alors, lorsque l'on considère une valeur quel-
conque de S, la somme des termes de S, correspondant à ces éléments S,
est située entre la plus grande et la plus petite valeur du terme de S' cor-
respondant à l'élément S', et, par suite aussi, la somme totale S sera située
entre la plus grande et la plus petite valeur de S"; par conséquent. S, S', S"
ne peuvent différer entre eux au plus que de t.
[3] (p, 244). Voici comment l'on démontre que toute fonction finie /(r)
qui ne croit pas entre les limites a et b, et que, par suite, toute fonction
qui ne possède pas un nombre infini de masima et de rainima, est suscep-
tible d'intégration.
Soient
« =2^iJ, l'ona
mï-/«"
Par conséquent, si tous les intervalles S sont plus petits que d, alors
grandeur totale des intervalles, où la plus grande oscillation est supérieui
"'"'
^JJ^l-fJila,
et sera, par conséquent,
petite en même temps ijii
comme nous voulions le
c
*Ha-6„:
.i.„„),
a)(«„sii
L«(!^-i„<
!<,!«»)
a aussi pour valeur zéro. On y an
rive de la
manière la plus simpk
posant
on^(^~c
B = (c-?iî-C'«+A.f)c.
.sii(a- — <ï
■, wf' i ^ -r-l '^"î^'*-
) i{L-^\,x) ^
et en employant deux fois succcssii
/ement l'i,
Uégration par parties.
Les intégrales telles que
j"co,p(i-«)),-(»,rfa!, I^\i„rix-a,r(,}d,
l pour jj: croissant indéliniment; on peut le démontrer, soit
d'après la méthode de Dirichlet, soit encore plus simplement au moyen
du théorème de la moyenne de Du Bois-Reymond; par conséquent, lorsque
f(a:) désigne une fonction qui n'est jamais croissante ou jamais décrois-
sante entre les limites ù et c, et î une valeur comprise entre b et c, l'on a
[S] (p. aâG). Les théorèmes exposés au g H demandent un éclaircisse-
ment. Puisque la fonction /(a?) est supposée posséder une période 211, la
fonction
doit avoir cette propriété que
y Google
nEPBÉSENTiTION d'cNE FONCTION l'AR USE SÉRIE rRIGONOMÉTRIQUE. ^76
SOUS les hypothèses faites dans le texte, devra tendre avec a et p vers la
limite zéro. Par suite, ?(»■) est une fonction linéaire de x, et les con-
stantes G', Ao peuvent donc être déterminées telles que
* (j;) = F( 3!) -CV- As-
soit une fonction de x possédant la période 2Tr.
Maintenant, relativement a la fonction Ffa^), l'on a encore fait cette
hypothèse que, pour des Hniiles quelconques b et fi,
; zéro pour |j. croissant indéfiniment
sées dans le texte; d'oii il s'ensuit qii
[i^y ^{x)co^^{x~a)\{x)dx
tend vers la limite zéro pour |j. croissant indéfiniment, si 'K{x') satisfait
aux conditions posées dans le texte; d'oil il s'ensuit que, sous les mêmes
hypothèses,
tend vers la limite zéro.
Soient maintenant
6< — TT, c>Tr,
et supposons, ce qui est permis, que l'on ait, dans l'intervalle de --ttà -j-t:,
X(^)=i;
u^y 1.(x)^o^^{x - a))\x)dx + ^^ j 'P{x)costx(x~a)l{x)dx
-i-lJ.^J 'P(x)cosiJ.(x-a)dx
entier H, en ayant égard à la périodicité de "^(x), remplacer celte somme
»'-J ^{x)coin{x-a)\,{x)dx^>t^J *
quand, dan? l'inlervalle de !i -F a- à 7t, l'on a
el quand, dans l'intervalle de - à c, l'on a
I,!,)cmnlx-,r,dx,
y Google
rEUXIÈ>IR PARTI
lie telle sorte que, e
JlfiMOlRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT Ht. RIEMANN.
c, X]{^) satisfait aux hjpo-
e les limites b -r-
ihèses relatives à la fonction \(x).
Par conséquent, le premier terme de la précédente
, la valeur limite de
est Égale à zéro.
[6] (p. 257). Ici, relativement à la fonction X(a?), il semble que l'on de-
vrait ajouter cette condition : qu'après l'intervalle 2Tr elle se reproduit
périodiquement (ce qui est compatible avec l'hypotbése ultérieure). En
effet, l'intégrale en question, par exemple, ne tendrait pas vers zéro, si l'on
F(0-G'(0-A„^'=const. et l{t) = {^-ty.
Au c
■e, en admettant la périodicité de >.{a7), l'on prouvera facile-
intégrale s'évanouit, en opérant e
mployant un raisonnement
dt^
en appliquant le théorème III, § VIII,
analogue à celui de la Note [S].
Relativement aux Notes [5] et [6] qui, dans la première édition de Rie-
mann, portaient les numéros (1) et (2), M. Ascoli a élevé diverses objec-
tions dans un travail Sur les Séries trigonométriques {Acoademia dei
Lincei, 1880). Nous laissons d'ailleurs ces Notes sans y rien changer; on
pourrait cependant y ajouter encore ceci :
La démonstration du théorème, d'après lequel la fonction désignée par
0(3:) dans la Note [5] doit être linéaire (je renverrai à ce sujet à un tra-
vail de G. Gantor dans le Journal de Crelle, t. 72, p. i4'). présuppose
d'ailleurs que la fonction /(a;) existe pour toute valeur de a; (et, par con-
séquent aussi, est Gnie). Mais les numéros I, Il du § IX me semblent, en
général, tout à fait admissibles quand on ne fait qu'admettre cette existence,
comme le veut Ascoli, que la condiiion d'élre irans-
foi
, par l'addition d'uni
-C'(3^) — A(
3.5
cfon<
périodique fait aus!
l'on abandonne cett
partie des conditions relatives à la fonction F(a?). Si
hypothèse de l'existence générale de la fonction /(a^),
nfinité de fonctions diverses F(3;) qui diffèrent entre
isions qui ne sont pas purement linéaires. Le § 7X,
;l'ailleurs encore son sens lorsque l'existence générali^
y Google
BEPRÉSENTATIOn d'uNE FOKCTION PAR UNE SÉHIK TRlGOHOafi TRIQUE. 277
de /{a:} n'esl pas présupposée, et lorsque, comme dans le § VIII, F{if )
est définie par la série
r A, A, A,
Relativement à la Note [6], il faut ajouter qu'il suffit, puisque la fonc-
lion \(t) ne se présente dans les formules du teste qu'entre l'intervalle
— Ti à + TT, non de présupposer la périodicité de X(() el V{i), mais seu-
lement d'admettre les formules X(it) = X( — tï), l'(Tt) = V(^-7i) et, par
suite, d'admettre non la périodicité proprement dite, mais la possibilité du
prolongement continu périodique.
Mais, puisque la fonction
F(t)-C'(i)-^ i-
est définie, page v.i'j, par la série
et non pas, comme le suppose Ascoli, par
A, A, A,
~~r~T~~~9~' "
alors l'hypothèse en auestion que F(ï) — G'(ï)— ^ (^ serait une con-
stante différente de zéro est parfaitement admissible.
Je dois aussi exposer avec un peu plus de précision le procédé que, par
analogie avec la Note [S], j'ai appliqué à la démons
sèment de l'intégrale
'I
,-- (-r - t)
Si l'on pratique la différentiation sous le signe, on obtient une e\
pression à plusieurs termes, dont un terme, si l'on pose, pour abréger
-r
:, l'on pose encoro 1(1) - X,(l) .in -^- ot a: = o -i- ,
(-•)"V.' J "»(1)).,(1)cob;j(»-()«".
y Google
37^ DEUXIÈME PARTIE. — HËHOIRES PUBLIES APRÈS LA HORT DE RIEMAKN.
Choisissons maintenanl b et c, de telle sorte que l'intervalle Aa b a. c
renferme l'intervalle de — tt à tt, et ticterminons dans le premier inter-
valle une fonction X (i), telle qu'entre — - et -h it l'on ait
1.(1) -.1,(J),
mais telle que X(()et ï.'(() sYvanouissent au\ limites; déterminons ensuite
une fonction ki{t) dans l'iniervalle de 6 -h a- à c, telle qu'entre b ■+■ -x-
et T. l'on ait
et qu'entre t: et c l'on ait
ee qui, par conséquent, présuppose que l'on ait
Xs(7:) = - X,(- T.), \'^{^) = - V, (~ -),
Alors l'on obtient, comme dans la Note [5J,
^x^J f(t)l,(t)cosi>.ia~t)dl
et les deux termes du second membre s'évanouissent, d'après le théo-
l'ému III, g Vin, pour fji croissant indéfiniment. L'on procédera de même
pour les parties restantes de l'intégrale en question,
[7] (p. 265). On peut ici renvoyer aux travaux de P. du Bois-Rej-
inond, qui ont, après Riemann, fait faire des progrés essentiels à la théorie
des séries trigonométriques. Il y est démontré par des exemples qu'il existe
des fonctions partout finies et continues, possédant une infinité de maxima
et minima, et qui ne sont pas susceptibles de représentation par des séries
trigonométriques.
[8] (p. 269). Par le symbole V — t.— 1)«, l'on doit eiuendre une somme
d'unités positives et négatives, telle qu'à chaque diviseur pair de n corres-
pond un terme négatif et à chaque diviseur impair de n un terme positif.
On trouve ce développement (par un procédé qui n'est pas tout à fait à
l'abri d'objections) en exprimant la toDction /{x) par la formule connue
en portant cette expression dans la somme V' et eii intcrveriissam
l'ordre des sommations.
y Google
REPU ÉSENTAT ION d'lkE FONCTION PAU M^E SÉRIE THIGONOÎIÉTRIQCE. 279
[9]{p, .70). La valeur
ainsi que Genocchi le fait remarquer dans une Noie relative à cet exemple .
ilntorno ad alcune série; Torino, 1875), ne fait pas partie des valeurs
pour lesquelles la série \ sin (n l 3:7;) est convergente. Du reste, pour
e que dit Genocchi, n'est pas non plu;
y Google
LES HYPOTHESES QUI SERVENT DE FONDEMENT
A LA GÉOMÉTRIE.
S de la Société Royale des Seiences de Giittingue, i. XIII ; iSâ'] ( ' ).
ivres de Riemann, a" cdit., p. 'i-;-!. — (Traduction de J. HoL'CL).
PLAN DE CETTE ETUDE,
Oo sail que la Géométrie admet comme données préalables non
seulement le concept de l'espace, mais eacore les premières idées
fondamentales des constmclions dans l'espace. Elle ne donne de
ces concepts qne des définitions nominales, les déterminations
essentielles s'inlroduisant soiis forme d'axiomes. Les rapports
mutuels de ces données primitives restent enveloppés de mjstère';
on n'aperçoit pas bien si elles sont nécessairement liées entre
elles, ni jusqu'à quel point elles le sont, ni même a priori si elles
peuvent l'être.
Depuis Euclide jusqu'à Legendre, pour ne citer que le plus
illustre des réformateurs modernes de la Géométrie, personne,
parmi les mathématiciens ni parmi les philosophes, n'est parvenu
à éclaircir ce mystère. La raison en est que le concept général des
grandeurs de dimensions multiples, comprenant comme cas parti-
(') Ce Mémoire a été lu par l'Auteur le lo juin iSS,', à l'occasion de ses épreuves
d'admission à la Faculté philosophique de GOttingue, Ainsi s'explique la forme
de son exposition, où les recherches analytiques ne sont qu'indiquées. On trou-
vera quelques éclaircissements dans les Notes au Mémoire envoyé en réponse à
une question mise an Concours par l'Institut de Paris. (Voir Hiemann, î' édil.,
p. iic5 ). — (Wecer et Dedekind. )
y Google
HYPOTHÈSES QUI SERTEHT DE FONDUHENT A LA GÉOMÉTBIE. 28 1
culier les grandeurs étendues, n'a jamais été l'objet d'aucune
étude. En conséquence, je me suis posé d'abord le problème de
construire, en partant du concept général de grandeur, le concept
d'une grandeur de dimensions multiples. Il ressortira de là qu'une
grandeur de dimensions multiples est susceptible de différents
rapports métriques, et que l'espace n'est par suite qu'un cas par-
ticulier d'une grandeur de trois dimensions. Or, il s'ensuit de là
nécessairement que les propositions de la Géométrie ne peuvent
se déduire des concepts généraux de grandeur, mais que les
propriétés, par lesquelles l'espace se distingue de toute autre gran-
deur imaginable de trois dimensions, ne peuvent êlre empruntées
qu'à l'expérience. De là surgit le problème de rechercher les faits
les plus simples au moyen desquels puissent s'établir les rapports
métriques de l'espace, problème qui, par la nature même de l'ob-
jet, n'est pas complètement déterminé ; car on peut indiquer plu-
sieurs systèmes de faits simples, suffisants pour la détermination
des rapports métriques de l'espace. Le plus important, pour notre
but actuel, est celui qu'Euclide a pris pour base. Ces faits, comme
tous les faits possibles, ne sont pas nécessaires; ils n'ont qu'une
certitude empirique, ce sont des [hypothèses. On peiit donc étu-
dier leur probabilité, qui est certainement très considérable dans
les limites de l'observation, et juger d'après cela du degré de
sûreté de l'extension de ces faits en dehors de ces mêmes limites,
tant dans le sens des immensurablemenl grands que dans celui
des immensurablement petits.
A. — Concept d'une grandeur de /; dimensions.
En essayant maintenant de traiter le premier de ces problèmes,
relatif au développement du concept d'une grandeur de dimen-
sions multiples, je me crois d'autant plus obligé de solliciter
l'indulgence des lecteurs, que je suis moins exercé dans les tra-
vaux philosophiques de cette nature, dont la difficulté réside
plutôt dans la conception que dans la construction, et qu'à l'excep-
tion de quelques brèves indications données par M. Gauss dans
son second Mémoire sur les résidus biquadratiques, dans les
y Google
aSa DEUXIÈME PAKTIE. ^ MËMOIItES PUBLIES APKËS LÀ HOKI
Gelehrle Anzeigende Gœuingue et dans son Mémoire de jnbilé,
et de quelques recherches philosophiques de Herbait, je n'ai pu
m'aider d'aucun travail anlérienr.
Les concepts de grandeur ne sont possibles que là où il existe
un concept général qui permette différents modes de détermina-
tion. Suivant qu'il est, ou non, possible de passer de l'un de ces
modes de détermination à un autre, d'une manière continue, ils
forment une variété {') continue ou une variété discrète; chacun
en particulier de ces modes de détermination s'appelle, dans le
premier cas, un point, dans le second un élément de cette
variété. Les concepts dont les modes de détermination forment
une variété discrète sont si fréquents que, étant donnés des objets
quelconques, il se trouve toujours, du moins dans les langues cul-
tivées, un concept qui les comprend (et les mathématiciens étaient
par conséquent en droit, dans la théorie des grandeurs, discrètes,
de prendre pour point de départ la condition que les objets
donnés soient considérés comme de même espèce). Au contraire,
les occasions qui peuvent faire naître les concepts dont les modes
de détermination forment une variété continue sont si rares dans
la vie ordinaire, que les lieux des objets sensibles et les couleurs
sont à peu près les seuls concepts simples dont les modes de
détermination forment une variété de plusieurs dimensions.
C'est seulement dans les hautes Mathématiques que les occasions
pour la formation et le développement de ces concepts deviennent
plus fréquentes.
Une partie d'une variété, séparée du reste par une marque ou
par une limite, s'appelle un quantum. La comparaison des quanta
au point de vue de la quantité, s'effectue, pour les grandeurs
discrètes, au moyen du dénombrement; pour les grandeurs con-
tinues, au moyen de la mesure, La mesure consiste dans une
(') Varietas, MannigfaltigkeU. Voir Gauss, Theoria res. biquadr.,
Anzeige zii derselben {Werke, t. 1t, p. i lo, nfi et ii8). — {J. Houel. ]
y Google
HYPOTHÈSES QUI SERTEKT DE FONDEMENT A L.l GIÏOaÉTRIIt. 383
superposition de grandeurs à comparer; il faut donc, pour mesu-
rer, avoir lin moyen de transporter la grandeur qui sert d'étalon
de mesure pour les autres. Si ce mojeo manque, on ne pourra
alors comparer entre elles deux grandeurs, que si l'une d'elles
est une partie de l'autre, et encore, dans ce cas, ne pourra-t-on
décider que la question du plus grand ou du plus petit, et non
celle du rapport numérique. Les recherches auxquelles un tel cas
peut donner lieu forment une branche générale de la théorie des
grandeurs, indépendante des déterminations métriques, et dans
laquelle elles ne sont pas considérées comme existant indépen-
damment de la position, ni comme exprimables au moyen d'une
unilé, mais comme des régions dans une variété. De telles
recherches sont devenues nécessaires dans plusieurs parties des
Mathématiques, notamment pour l'étude des fonctions analytiques
à plusieurs valeurs, et c'est surtout à cause de leur imperfection
que le célèbre théorème d'Abel, ainsi que les travaux de Lagrange,
de Pfaff, de Jacobi sur la théorie générale des équations différen-
lieMes, sont restés si longtemps stériles. Dans celte branche géné-
rale de la théorie des grandeurs étendues, où l'on ne suppose rien
de plus que ce qui est déjà renfermé dans le concept de ces gran-
deurs, il nous suffira, pour notre objet actuel, de porter notre
étude sur deux points, relatifs : le premier, à la génération du con-
cept d'une variété de plusieurs dimensions; le second, au moyen
de ramener les déterminations de lieu dans une variété donnée à
des déterminations de quantité, et c'est ce dernier point qui doit.
faire clairement ressortir le caractère essentiel d'une étude de n
dimensions.
Etant donné un concept dont les modes de détermination
forment une variété continue, si l'on passe, suivant une manière
déterminée, d'un mode de détermination à un autre, les modes de
détermination parcourus formeront une variété étendue dans un
seul sens, dont le caractère essentiel est que, dans cette variété, on
ne peut, en parlant d'un point, s'avancer d'une manière continue
y Google
584 DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PLBLIÉS APRÈS I.A MORT DE KlEJtiNN.
que dans deux directions : en avanl et en arrière. Imaginons
maintenant que cette variété se transporte à son tour sur une autre
variété complètement distincte, et cela encore d'une manière
déterminée, c'est-à-dire tellement que chacun de ses points se
transporte en un point déterminé de l'autre variété; l'ensemble
des modes de détermination ainsi obtenus formera une variété de
deux dimensions. On obtiendra semblablemenl une variété de
trois dimensions, si l'on conçoit qu'une variété de deux dimen-
sions se transporte d'une manière déterminée sur une autre com-
plètement distincte, et il est aisé de voir comment on peut pour-
suivre cette construction. Si, au lieu de considérer le concept
comme délerminable, on considère son objet comme variable, on
pourra désigner cette construction comme la composition d'une
variabilité de « -)- i dimensions, au mo^en d'une variabilité de n
dimensions et d'une variabilité d'une seule dimension.
§ ni.
ne va-
Je vais maintenant montrer réciproquement con
riabilité, dont le champ est donné, peut se décomposer en une
variabilité d'une dimension et une variabilité d'un nombre de
dimensions moindre. Concevons, pour cela, une portion variable
d'une variété d'une dimension, comptée à partir d'un point fixe,
de façon que ses valeurs soient comparables entre elles; suppo-
sons que cette portion ait, pour chaque point de la variété donnée,
une valeur déterminée, changeant avec ce point d'une manière
continue; ou, en d'autres termes, imaginons, à l'intérieur de la
variété donnée, une fonction continue du lieu, fonction qui ne soit
pas constanle le long d'une portion de cette variété. Tout système
de points, pour lequel la fonction a une valeur constanle, forme
alors une variété continue d'un moindre nombre de dimensions
que la variété donnée. Ces variétés, lorsqu'on fait varier la fonc-
tion, se transforment d'une manière continue les unes dans les
autres; on pourra donc admettre que l'une d'entre elles engendre
les autres, et cela pourra avoir lieu, généralement parlant, de telle
façon que chaque point de l'une se transporte en un point déter-
y Google
HYPOTHÈSES QUI SERVENT DE FO^JDEUENT A Lrès
cela, on obtient une surface déterminée en prolongeant, suivant
des lignes de plus courte distance, toutes les directions initiales
partant du point donné et situées sur l'élément superficiel donné,
et cette surface a, au point donné, une mesure de courbure dé-
terminée, qui est en même temps la mesure de courbure de la
variété de n dimensions au point donné et suivant la direction
superficielle donnée.
y Google
l'TJULIÉS APRÈS L.v
Avanl de passer aux appllcalions à l'espace, il faut encore-
présenter quelques considérations sur les variétés planes en
général, c'est-à-dire sur les variélés dans lesquelles le carre de
l'élément linéaire peut èlre représenté par une somme de carrés
de différentielles exactes.
Dans une variélé plane de « dimensions, la mesure de courbure
en chaque point et dans chaque direction est nulle; or, d'après la
discussion précédente, il suffît, pour déterminer les rapports
métriques, de savoir qu'en chaque point elle est nulle suivant
n directions superficielles, dont les mesures de courbure
sont indépendantes entre elles. Les variétés dont la mesure de
courbure est partout ^o peuvent être considérées comme xin
cas particulier des variétés dont la mesure de courbure est partout
constante. Le caractère commun de ces variétés, dont la mesure
de courbure est constante, peut aussi s'exprimer eu disant que les
figures peuvent s'y mouvoir sans subir d'extension. Car il est évi-
dent (\i\e les figures ne pourraient y être susceptibles de transla-
tions et de rotations arbitraires, si la mesure de courbure n'était
la même en chaque point et dans toutes les directions. Mais,
d'autre part, les rapports métriques de la variété sont complète-
ment déterminés par la mesure de courbure; donc les rapports
métriques autour d'un point et dans toutes les directions sont
exactement les mêmes qu'autour d'un autre point, et par suite on
peut, à partir de ce point, exécuter les mêmes constructions, d'où
il s'ensuit que, dans les variétés oCi la mesure de courbure est
constante, on peut donner aux figures une position arbitraire
quelconque. Les rapports métriques de ces variétés dépendent
seulement de la valeur de la mesure de courbure, et, quant à la
représentation analytique, nous remarquerons que, si l'on désigne
cette valeur parce, on pourra donner à l'expression de l'élément
linéaire la lomie
y Google
Pour ijclairclr ce qui précède par un exemple géométrique,
considérons les surfaces de mesure de courbure conslanie. Il est
iiisé de voir que les surfaces dont la mesure de courbure est con-
stante et positive peuvent toujours s'appliquer sur une sphère dont
le rayon est égal à l'unité divisée par la racine carrée de la mesure
de courbure; mais, pour embrasser d'un coup d'œil la variété
tout entière de ces surfaces, donnons à l'une d'elles la forme
d'une sphère, et aux autres la forme de surfaces de révolution la
touchant suivant l'équateur. Les surfaces de plus grande mesure
de courbure que cette sphère toucheront alors la sphère intérieu-
rement et prendront une forme semblable à la partie extérieure
d'une surface annulaire, la plus éloignée de l'axe de cette surface.
Elles seraient applicables sur des zones de sphères de rayon
moindre, mais recouvriraient ces zones plus d'une fois. Les sur-
faces de moindre mesure de courbure positive s'obtiendront en
découpant, sur des surfaces sphériques de plus grand rayon, un
fuseau limité pardeux demi-grands cercles, et unissant entre elles
les lignes de section. La surface de mesure de courbure nulle sera
une surface cylindrique ayant pour base l'équateur; les surfaces
de mesure de courbure négative toucheront ce cylindre extérieure-
ment et auront une forme semblable à celle de la partie intérieure
d'une surface annulaire, tournée vers l'axe. Si l'on considère ces
surfaces comme le lieu où peut se mouvoir un segment superfi-
ciel, de môme que l'espace est le lieu où se meuvent les corps, le
segment superficiel sera mobile sans extension sur toutes ces sur-
faces. Les surfaces à mesure de courbure positive pourront tou-
jours recevoir une forme telle que les segments sujierficiels
puissent, de plus, s'y mouvoir sans flexion, et celte forme sera
celle d'une sphère; mais cela ne se peut plus dans le cas de la
mesure de courbure négative. Outre cette propriété des segments
superficiels d'être indépendants du lieu, la surface de mesure de
courbure nulle possède encore la propriété que la direction est
indépendante du lieu, propriété qui n'existe pas chez les autres
y Google
C, — Application à l'espace.
?; I-
Après cette étude sur la dé termina lion des rapports métriques
d'une grandeur de n dimensions, on peut maintenant indiquer les
conditions soflisantes et nécessaires pour la détermination des
rapports métriques de l'espace, lorsqu'on admet comme hypo-
thèses que les lignes sont indépendantes de leur position, et que
l'élément linéaire est exprimable par la racine carrée d'une expres-
sion différentielle du second degré, c'est-à-dire que l'espace est
une grandeur plane dans ses parties infinitésimales.
Elles peuvent d'abord s'exprimer en demandant que la mesure
de courbure en chaque point soit nulle suivant Irois directions
superficielles, et par suite les rapports métriques de l'espace son!
déterminés, si la somme des angles d'un triangle est partout égali'
à deux droits.
Si l'on suppose, en second lieu, comme Euclide, nnc existence
indépendante de la position, non seulement pour les lignes, mais
encore pour les corps, il s'ensuit que la mesure de courbure est
partout constante, et alors la somme des angles est déterminée
dans tous les triangles, lorsqu'elle l'est dans un seul.
Enfin l'on pourrait encore, en troisième lieu, au lieu d'admettre
que la longueur des lignes est indépendante du lieu et de la di-
rection, supposer que leur longueur et leur direction sont indé-
pendantes du lien. D'après ce point de vue, les cbangemenls de
lieu ou les différences de lieu sont des grandeurs complexes,
exprimables au miiyen de trois unités indépendajdcs.
§11.
Dans le cours des considérations que nous venons de présenter,
nous avons d'abord séparé les rapports d'étendne ou de région des
rapports métriques, et nous avons trouvé que, pour les mêmes
y Google
HïPOTiiËSEs QLi siîuvot db fondemknt a la héométrik. agi)
rapports d'élemlue, ou pourrait concevoir différents rapports mé-
triques; nous avons ensuite cherché les systèmes de détermina-
lioDs niétriciues simples, au moyen desquels les rapports métriques
de l'espace sont complètement déterminés, et dont toutes ]es
propositions concernant ces rapports sont des conséquences né-
cessaires. Il nous reste maintenant à examiner comment, à quel
degré et avec quelle extension ces liypothèses sont confirmées par
l'expérience. A ce point de vue, il existe, entre les simples rapports
d'étendue et les rapports métriques, celte difTérence essentieUe
que, dans les premiers, où les cas possibles forment une variété
discrète, les résultats de l'expérience ne sont, à la vérité, jamais
complètement certains, mais ne sont pas inexacts ; tandis que, dans
le second, où les cas possibles forment une variété continue,
toute détermination de l'expérience reste toujours inexacte,
quelque grande que puisse être la probabilité de son exactitude
approchée. Cette- circonstance devient importante lorsqu'il s'agit
d'étendre ces déterminations empiriques au delà des limites de
l'observation, dans l'immensurablement grand ou dans l'immen-
surablement petit; car les seconds rapports peuvent évidemment
devenir de plus en plus inexacts, dès que l'on sort des limites de
l'observation, tandis qu'il n'en est pas de même des premiers.
Lorsqu'on étend les constructions de l'espace à l'immensurable-
ment grand, il faut faire la distinction entre l'illiinité et l'infini:
le premier appartient aux rapports d'étendue, le second aux rap-
ports méli'iques. Que l'espace soit une variété illimitée de trois
dimensions, c'est là une hypothèse qui s'applique dans toutes nos
conceptions du monde extérieur, qui nous sert à compléter à
chaque instant le domaine de nos perceptions effectives et à con-
struire les lieux possibles d'un objet cherché, et qui se trouve
constamment vérifiée dans toutes ces apjilications. La propriété de
l'espace d'être illimité possède donc uue plus grande certitude
empirique qu'aucune autre donnée externe de l'expérience. Mais
l'infinité de l'espace n'en est en aucune manière la conséquence;
au contraire, si l'on suppose les corps indépendants du lieu, el
qu'ainsi l'on attribue à l'espace une mesure de courbure constante,
l'espace serait nécessairement fini, dès que cette mesure de cour-
bure aurait une valeur positive, si petiie qu'elle fût. En prolon-
geant, suivant des lignes de plus courte distance, les directions
y Google
'-'.gÔ UËIj'XlElfK PARTIE. ^ MÉMOIRES PUBLIÉS APnfîS LA .UOHT 1)B RIEMANN.
ÎDiliales situées dans un élémenl superficiol, on obtiendrait une
surface illîmilée de mesure de courbure constanie, c'est-à-dire une
surface qui, dans une variété plane de trois dimensions, prendrait
la forme d'une surface sphérique, et qui serait par conséqnent
finie.
s m.
Les questions sur l'imniensurablcment grand sont des questions
inutiles pour l'explication de la nature. Mais il en est autrement
des questions sur l'immensurablement petit. C'est sur l'exactitude
jivec laquelle nous suivons les phénomènes dans l'infinîment
petit, que repose essentiellement notre connaissance de leurs rap-
ports de causalité. Les progrès des derniers siècles dans la con-
naissance de la nature mécanique dépendent presque seulement
de l'exactitude de la construction, qui est devenue possible, grâce
à l'invention de l'analyse de l'infini, et aux principes simples dé-
couverts par Archimède, par Galilée et par Newton, et dont se
sert la Physique moderne. Mais dans les Sciences naturelles, où
les principes simples manquent encore pour de telles construc-
tions, on chcrclie à reconnaître le rapport de causalité en suivant
les phénomènes dans l'étendue très petite, aussi loin que le permet
le microscope. Les questions sur les rapports métriques de
l'espace dans l'immensurablement petit ne sont donc pas des
questions superflues.
Si l'on suppose que les corps existent indépendamment du lieu,
la mesure de courbure est partout constanie, et il résulte alors
des mesures astronomiques qu'elle ne peut être différente de
/.éro; dans tous les cas, il faudrait que sa valeur réciproque fût
une grandeur en présence de laquelle la portée de nos télescopes
serait comme nulle. Mais si cette indépendance entre les corps et
le lieu n'existe pas, alors, des rapports métriques reconnus dans
le grand, on ne peut rien conclure pour ceux de l'infinimenl
petit; alors la mesure de courbure de chaque point peut avoir
suivant trois directions une valeur arbitraire, pourvu que la cour-
bure totale de toute portion mesural)le de l'espace ne diffère pas
sensihlemeiU do /.ém; Il petit s'introduire des rapports encore
y Google
HÏPOTHËSES QUI SEBïEST DE FONDEMENT A L.* GÉOMÉTIUE. ag^
plus compliqués, lorsqu'on ne suppose plus que l'élément linéaire
puisse êlre représenté par la racine carrée d'une expression diffé-
renlielle du second degré. Or, il semble que les concepts empi-
riques, sur lesquels sont fondées les déterminations métriques de
l'étendue, le concept du corps solide el celni dn ruyon lumineux,
cessent de subsister dans l'infiniment petit. Il est donc très légi-
lime de supposer que les rapports métriques de l'espace dans
l'inliniment petit ne sont pas conformes aux hypothèses de la
Géométrie, et c'est ce qu'il faudrait elTeclivement admetire, du
moment où l'on obtiendrait par là une explication plus simple des
phénomènes.
La question de la validité des hypothèses de la Géométrie dans
l'infinimeni petit est liée avec la question du principe intime des
rapports métriques dans l'espace. Dans cette dernière question,
que l'on peut bien encore regarder comme appartenant à la doc-
trine de l'espace, on trouve l'application de la remarque précé-
dente, que, dans une variété discrète, le principe des rapports
métriques est déjà contenu dans le concept de cette variété,
tandis que, dans une variété continue, ce principe doit venir
d'ailleurs. Il faut donc, ou que la réalité sur laquelle est fondé
l'espace forme une variété discrète, ou que le fondement des
rapports métriques soit cherché en dehors de lui, dans les forces
de liaison qui agissent en lui.
La réponse à ces questions ne peut s'obtenir qu'en parlant de
la conception des phénomènes, vérifiée j usqu'ici par l'expérience,
et que Newton a prise pour base, et en apportant à cette concep-
tion les modifications successives, exigées par les faits qu'elle ne
peut pas expliquer. Des recherches partant de concepts généraux,
comme l'étude que nous venons de faire, ne peuvent avoir d'autre
utilité que d'empêcher que ce travail ne soit entravé par des vues
trop étroites, et que le progrès dans la connaissance de la dépen-
dance mutuelle des choses ne trouve un obstacle dans les préjugés
traditionnels.
Ceci nous conduit dans le domaine d'une autre science, dans
le domaine de la Physique, où l'objet auquel est destine ce travail
ne nous permet pas de pénétrer aujourd'hui.
y Google
IK. -- MiiMOIRES PUBLIÉS A
TABLE DES MATIERES.
\. — Concept d'une grandeur de it din
Variétés continues et discrètes. Les parties déleruiintes d'u
riété sont dites des quanta. Division de la doctrine des
deurs continues en :
1° Doctrine des simples rapports d'élendue, dans laque
ne suppose pas que les grandeurs soient indépendantes di
a° Doctrine des rapports métriques, dans laquelle cette
pendance doit être supposée
Génération du concept d'une variété d'une, de deui dt
Réduction de la détermination de lieu, dans une variété
des déterminations de quantités. Caractère essentiel d u
B. ~ Uapports métriques dont une variété de n din
est susceptible C), dans V hypothèse où les lignes pos-
sèdent une longueur indépendamment de leur posi-
tion, et où toute ligne est ainsi mesurable par toute
I. Expression de l'élément linéaire. On considère comme planes les
variétés dans lesquelles l'élément linéaire est exprimable par la
racine carrée d'une somme de carrés de différentielles complètes. aWi
II. Étude des variétés de n dimensions, dans lesquelles l'élément linéaire
peut être représente par la racine carrée d'une expression diffé-
rentielle du second degré. Mesure de leur écart de la planarité
(mesure de courbure) eu un point donné et suivant une direc-
tion superficielle donnée. Pour la détermination de leurs rapports
métriques, il est(sous certaines restrictions) nécessaire et suffi-
sant que l'on donne arbitrairement en chaque point la mesui-e de
courbure suivant n directions superficielles 2H8
III. lîsplication géométrique ^90
(') l.'arliclo I est en même temps une préparation à des reciierches snr l'analyse
de aitiinlion.
(') L'étude sur les mesui-es métriques possibles dans une variété de n dimensions
est très inconiplùte, bien qu'elle soit siiflisante pour l'objet actuel.
(Notes de lilEMAN.N-.)
yGoosle
HYPOTHÈSES QUI SERVENT DE FONDEMENT A LA GÉOMÉTRIE. ■-!
Les variétés planes (dans lesquelles la mesure de courbure est par-
tout = o) peuvent £trc considérées comme un cas particulier des
variétés dont la mesure de courbure est constante. Celles-ci peu-
vent encore être définies par la propriété que les grandeurs de n
ni indépendantes du lieu (mobilité de ces gran-
Sucfaces de mesure de courbure
C. — Application, à l'espace
Systèmes de faits sufQsants pour la détermination des rapports mé-
triques de l'espace, tels que la Géométrie les suppose
Jusqu'à quel degré est probable la légitimité de ces diitcrminations
empiriques, lorsfju'on sort des limites de l'observation pour en-
trer dans l'immensurablement grand? i
Jusqu'à quel degré est-elle probable pour rimmensurablemeni pe-
tit? Lien de cette question avec l'explication des pliénomènes
( ' ) Lu g m de la section C a besoin d',;lre encore rtmanié et develof
[Note de Iîikmann,)
y Google
DÉMONSTRATION
QU'UNE FONCTION UNIFORME DE n VARIABLES
A PLUS DE 2« PÉRIODES NK SAURAIT EXISTER.
KMrait d'une Lrttrn de Riemann à M. Wcicrslriis^ {Journal de Crelle, l. 71).
(Œuvres de Rîemanri, '.:' édition, page sg^,)
La domonstralion de ce t.Uéorème, qui a dernièrement fail
l'oljjet de notre entretien, qu'une fonction uniforme de n va-
riables à plus de -in périodes ne saurait exister, je ne l'ai pas
exposée d'une manière tout à fail claire dans le cours de notre
conversation, et j'en ai seulement indiqué les idées de base. Je
vous en fais donc part ici encore une fois.
Soit /une fonction an-uplemenl périodique de «variables x,,
^2, . . ., x„, el — je puis faire usage de mes notations qui vous
sont bien connues — soit a^ le module de périodicité de x^ relatif
à la -j'*"" période. L'on sail que les grandeurs x peuvent se mettre
,o.„l. forme (.)
, de telle sorte que les
( ' 1 Ce n'est pas toujours le cas; cela n'a lieu que lorsque les in équations qui
déterminent les grandeurs \ sont indépendantes entre elles. Mais les exceptions
y Google
LETTRE DE RIEUAXN A WEIEESTFASS. .^01
réelles. SI l'oû fait maintenant prendre aux grandeurs^ les valeurs
comprises entre o et i, une (le ces valeurs limites étant exclue, le
domaine de grandeurs a/i-uplenient étendu ainsi formé jouit de
celte propriété que chaque système de valeurs des /* variables est
congru à un seul et unique s_ystème de valeurs, à l'intérieur de
ce domaine de grandeurs, pour les 2/t systèmes de modules. Pour
abréger le lang-age dans ce qui suit, je désignerai ce domaine sous
le nom de système de grandeurs qui se reproduit périodique-
ment pour ces zn systèmes de modules.
Maintenaut, si la fonction possède encore un (ara -4- i)'*""" sys-
tème de modules, qui ne peut être composé au moyen des 2/i
premiers systèmes de modules, on peut alors ramener les sys-
tèmes de grandeurs, congrus à un système de grandeurs pour ce
(an + i)'™' système de modules, à deS systèmes de grandeurs com-
pris dans ce domaine et congrus au système de grandeurs, précé-
dent pour les ara premiers systèmes de modules ; de la sorte, on
peut évidemment obtenir autant que l'on voudra de systèmes de
grandeurs, compris dans ce domaine et congrus cotre eux pour
le (an + i)'*""' système de modules, lorsque, parmi les systèmes
de grandeurs congrus pour le (2ra + i)'*"" système de modules, il
n'en existe pas deux qui soient aussi congrus pour les ara pre-
miers systèmes de modules. En ce cas, entre les ara -f- i systèmes
de modules, auraient lieu n équations de la forme
les grandeurs m désignant des entiers, et, par suite, comme je ii;
ferai voir plus loin, les ara + i systèmes de modules peuvent être
composés à l'aide de ara systèmes de modules.
Partageons maintenant, pour chacune des grandeurs ^, l'élendui'
de o à I en (7 parties égales, de telle sorte que le domaine qui se
reproduit périodiquement pour les an premiers systèmes de mo-
dules soit décomposé en y"" domaines, en chacun desquels les gran-
deurs £ varient seulement de -■ Évidemment alors, si I"on a de.i
systèmes de grandeurs, en nombre supérieur à q-", qui sont con-
grus entre eux pour les ara-|- i sysir.'mes do modules et sont située
y Google
'io'i DKUXIËME PARTIE. — HËSOIRES PUBLIES APRES LA HORT DE RIEHAKN.
dans ce domaine, il j en a nécessairement deux qui tombeuldans
la même subdivision du domaine, en sorte que les valeurs de
la même grandeur ^, pour les deux systèmes en queslion, ne dif-
fèrent eutfe elles jamais de plusde -■ La fonction, par conséquent,
reste alors invariable, quand aucune des grandeurs ^ n'a une
variation supérieure à -i et, par suite, comme y, lorsque la fonc-
tion est continue, peut être pris aussi grand que l'on veut, elle est
une fonction d'expressions linéaires en nombre inférieur à n, des
Maintenant, 11 s'agit encore de démontrer que 2 /* + i systèmes
de modules, entre lesquels ont lieu les équations
1 -J"
peuvent être composés au moyen de 2 n svstèmes de modules.
F.n premier lieu, on peut aisément démontrer que pour
système de modules
où les grandeurs m sont des nombi'es entiers sans diviseur com-
mun, on peut toujours trouver 2« — i autres systèmes de mo-
dules èï, 63, ..., ôa„, tels que la congruencc pour les systèmes
de modules a est identique à la congruence pour les systèmes de
modules b. Soit 9, le plus grand commun diviseur de m, et m.., et
soient a, ^ dem nombres entiers satisfaisant à l'équation
Si l'on pose
Par conséquent alors les systèmes de modules a, et a-, peuvent.
y Google
inversement, être composés an niovcn des syHèmcs de modules
/'2„ et c,, et, par suite, la congruence pour ceux-ci est équiva-
lente à la congroence pour ceux-ià. On peui donc remplacer les
systèmes de modules a, et «î ])ar les systèmes de modules c, et
/?2n. De la même manière, 9^ désignant le plus grand commun di-
viseur de 6| et de m^, on peut remplacer les syslûmes de mo-
dules c, et fla par le système de modules
et par un système de modules
En répétant ce procédé on obtient évidemment le théorème à
démontrer. Le contenu du domaine (\ui se reproduit périodique-
ment sera pour les nouveaux systèmes de modules i le même cjuc
A l'aide de ce théorème, dans les n équations
on peut remplacer les ^n premiers systèmes de modules par 2 n nou-
veaux systèmes 61,65,, — ft:j„, en sorte (jueces équations prennent
lu forme
pb",- qa\„^^ = o.
/> et gr étant des nombres entiers sans diviseur commun. Si l'on
désigne par y, 5 deux nombres entiers satisfaisant à l'équation
il est évident que les deux systèmes de modules 6, 1
lUre remplacés par l'unique système de modules
Tous les systèmes de modules qui peuvent être composés au moyei
des systèmes de modules «,, «2, -■■, «^-j + i peuvent aussi, pa
y Google
l'^
DEUXIËXE FAKTIE. — UËVOIRES PDBUËS APBËS LA UOBT DE RIEXANX.
lonséquent, être composés au moyen des a n systèmes de modules
' t'i, ^31 ■ ■ ■! ^2H et réciproquement.
Le contenu du domaine qui se reproduit périodiquement pour
ces 271 systèmes de modules est seulement la g'''"'' partie de ceini
relatif aux 211 premiers systèmes de modules a. Si la fonction
maintenant, outre ces systèmes de modules, en admet encore un
qui leur est lié par des équations semblables à coefficients numé-
i-iqnes entiers, on peut encore trouver an nouveaux systèmes de
modules au moyen desquels on peut composer tous ces systèmes
de modules, et le contenu du domaine qui se reproduit pério-
diquement sera ainsi de nouveau réduit à une partie altquote.
Lorsque ce domaine devient infiniment petit, la fonction devient
une fonction d'expressions linéaires, en nombre inférieur à n.
des variables ; ce nombre sera, par exemple, n — j , ou « — 2, ou
n — m, selon que une seule, ou deux, ou m dimensions de ce do-
maine de grandeurs deviennent respectivement infiniment petites.
Mais, si ce fait ne doit pas avoir lieu, l'opération, par suite, doit
prendre terme, et l'on obtiendra alors, par conséquent, an sys-
tèmes de modules au moyen desquels peuvent être composés tous
les systèmes de modules de la fonction.
GiJttinguo, lo 26 octobre iSôij.
y Google
LES SURFACES D'AIRE MINIMA
POUR UN CONTODR DONNÉ O.
Œuvres de Riemaim, ■>.' cdit., p. 3ui.
§1.
Une SLLL-fnce peut olrc re|>i-i-senli:(;, au sens do la Géumctrie ana-
lytique, en assignant les coordonnées rectangulaires x,y, z d'un
point mobile sur la surface comme fonctions uniformes de deux
grandeurs variables indépendantes jO etq. S\ pf:lq prennent alors
des valeurs constantes déterminées, à celte combinaison des va-
leurs de /> et f^ correspond toujours nn point unique de la sur-
face. Les variables indcpendaotes p et g peuvent être clioisies
d'une foule de manières. Pour une surface simplement connexe
on procédera commodément comme il suit. Le long du con-
tour total de l'encadrement on fera décroître la surfiice d'une
bande dont la largeur est partout un Infiniment petit du même
ordre. En répétant indéfiniment ce procédé la surface décroîtra
jusqu'à ce qu'elle se réduise à un point. Les courbes d'encadre-
ment successives seront des lignes fermées revenant sur elte&-
(' ) Ce Mémoire est tire d'un manuscrit de Ricmann, qui date, comme l'a dît
Riemann lui-même, de iSâo à 1861 ciiviron. La rédaction de ce manuscrit, qui
ne contient que les formules, sans aucun lenle, me fut confiiic par Itiemonn en
avril 186G. J'en lirai le Mémoire que Je communiquai le S janvier 1867 à la
Sociéti! Royale des Sciences da Gœllingue et qui fut imprimé dans le ireizièrae
Volume des Mémoires de cette Société. Ce Ménioire est reproduit ici pour la
seconde fois après avoir été soigneusement revu.
y Google
3o6 DEUXIÈME PARTIE. ~ MÉMOIRES PUBLIÉS APRfiS LA MORT DE niEMASK.
mêmes, séparées dans leurs cours les unes des autres. On pourra
lesdisling-uercn attribuant à la grandeur^), relativement à cliaciine
d'elles, une valeur particulière constante qui augmente ou di-
minue d'un infiniment petit, selon que l'on passe de la courbe à la
courbe voisine qui lui est respectivement circonscrite ou inscrite.
Alors la fonction p a une valeur constante maxima sur le contour
de la surface et une valeur minima en ce point unique à l'inté-
rieur de la surface, où cette dernière en décroissant continuelle-
ment finit par se rétrécir tout entière. On peut donc se repré-
senter le passage d'un contour de la surface décroissante au contour
suivant, en déplaçant chaque point de la courbe (p') en un point
infiniment voisin déterminé de la courbe {p + , q) et l'axe des x positifs forinenl un angle aigu ou un angle
obtus. Dans le premier cas, en effet, les projections de dp et
de dq sur le plan des yz ont une situation relative toute pa-
reille à celle qu'a l'axe positif des y par rapport à l'axe positif
des 5, dans le second cas c'est tout l'opposé, l'arconséquent, dans
le premier cas, le déterminant fonctionnel est positif, dans le second
il est négatif; quant à l'expression - — (dy dz) elle est toujours
positive. Elle donne l'aire du parallélogramme infinitésimal sur la
snrface. Par conséquent, pour obtenir l'aire de la surface cHc-
mème, on doit étendre Tintéi-rale double S — / / - — (dy dz] à
O J J coi/' *• ■'
la surface tout enlicre.
Cette aire doit-elle être un miiiinuim, on devra écrire alors
que la variation premlil^re de l'intégrale double est ^ o. On ob-
fî-
\/-(l^(£)'
expression où l'on doit prendre le radical affecté du signe supt
rieur ou bien du signe inférieur, selon que (dy dz) est positif o
bien négatif. Le premier membre de cette équation peut s'ccrii
e il suit :
- f f^^ TZ ( — sinrsinu) idydz).
y Google
SURFACES d'AIKE MIHIJIA POUR UX CONTOfll DONNÉ. 3j F
Les deux premières inlégrales se rtduisenl à des inlcgrales
simples qui doivent être prises le long du contour de la surface
dans le sens de q croissant, c'est-à-dire à
.h
y-"idy).
Cette expression a pour valeur o, puisque sur le conU
On a donc, pour condition du minimum,
ir-
rd(sinr
(fCsinj-fiLnaVI
oy
Celte condition sera remplie lorsque
(9.) — sinrsinçrf/-l-siiiccosu dz, — dx
est une difl'érentielle exacte.
Les coordonn(5es i
par une grandeur cot
, la .phè
Lvent élre rempl
dont l'interprétation géométrique est facile à voir.
En effet, si l'on mène un plan tang-ent au pôle de la sphère, plan
dont le côté positif est détourné de la sphère, et si du pôle
antipode on mène une droite passant par le point (/■, ç), cette
droite rencontrera le plan tangent en un point qui représente la
grandeur complexe ir^. Au pôle correspond n ^ o, au pôle anti-
pode r, ^ 30. Quant aux points qui fournissent les directions des
axes des y positifs cl des z positifs, on a rcspcclivcmcnt
Si l'on introduit, en outre, les grandeurs complexes
y Google
3l3 DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS I.A MORT DE RIEHANX.
les équations (r) cl (■?.) sont alors transfornices en les suivantes :
( I* ) (r - ï^ï,') ■ a) les rayons de courbure sont infinis, et le plan
tangent partage la surface en an secteurs, qui sont situés alter-
nativement au-dessus et au-dessous de ce plan, et qui sont partagés
en deux parties égales par les lignes de courbure [2].
Maintenant, si l'on veut regarder X comme fonction de la va-
riable complexe Y, l'on obtient, dans le cas des quatre secteurs,
logX^ aJogY-i-fonct. ronrinue,
dans le cas des a/i secteurs
logX = «logV -H fouet, continue.
Et, comme on a, en vertu de (8) et (9),
le développement de r, dans le premier cas commence par la pre-
mière puissance de Y, dans le second cas par la (n — jyd-ia^ i^_
versement, lorsque Y doit être envisagé comme fonction de7i,le
développement procédera donc dans le premier cas suivant les
s entières de r„ dans le second suivant lîfs puissances
-'. C'est-à-dire : ou bien lu représentation sur le
y Google
SUliF.tCES d'aire MINIMA POLR IN CONIOIR I)0>">"É. ScQ
plan des -fi ne possède pas au point en qucsLÎon de point de rami-
fication, ou bien j possède un point de ramification (« — 2)-uple,
selon que c'est on bien le premier ou bien le second cas qui se
présente.
Quant à u, l'on a
(/(( du f/logi]
et, par conséquent, en vertu de l'équation (g),
,' du y _ .d\ ;{•- fd-qy Y'
On a donc, en un point de ramification (/i — a)-uple de la re-
présentation sur le plan des r,,
c'esl-à-dir
log^---^ -"logY+fon.
Dans ce qui snît, nous bornerons d'abord notre étude au cas où
le contonr d'encadrement donné est formé par des lignes droites.
Alors la représentation de l'encadrement sur le plan des ï; peut
être pratiquée efTectivcment. Les normales menées en des points
quelconques d'une ligne droite d'encadrement sont situées dans
des plans parallèles, et la représentation sur la sphère est, par
suite, un arc de grand cercle.
Dans l'étude d'un point situé sur une ligne droite d'encadre-
ment, prenons eomme précédemment ce point pour origine des
coordonnées, l'ase des x positifs coïncidant avec la normale po-
sitive. Alors toute la ligne d'encadrement est située sur le plan
desy, z. La partie réelle de X est donc — o snr toute la ligne
d'encadrement. Par conséquent, lorsque sur la surface minima on
décrit autour de l'origine un circuit à partir d'un point du contour
pour revenir au contour par l'intérieur de la surface en un point
y Google
Sao DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MOHT 1)
qui suit Je premier, i'argiimenl de X doit varier de n
tiple entier de -z. L'argument de Y variera simiiltanéme
a donc, comme précédemment,
logX =
7iIogY4- fouet.
logï) ^
= («-
)) logY-i- fonct.
»3ï '
= ("-
l'jlosY^ fonct.
Au point considéré du contour correspond ainsi un point de
ramification (n — y.)-uple de la représentation sur le pian des ■/;.
Dans celte représentation, la partie d'encadrement qui suit le
point fait avec celle qui le précède un angle égal à (n — i)tî.
§ XII.
Quand on passe d'une ligne d'encadrement à fa suivante, nous
devons distinguer deux cas : ou bien ces lignes se rencontrent en
un point d'intersection situé à distance finie, ou bien elles s'é-
tendent à l'infini.
Dans le premier cas, soit cm l'angle compris sur la surface mi-
nima entre les deux lignes d'encadrement. Si l'on prend comme
origine des coordonnées le sommet de cet angle, l'axe positif des
X coïncidant avec la normale positive, alors sur ces deux lignes
de contour la partie réelle de X est = o. Quand on passe de la
première ligne d'encadrement à la suivante, l'argumentdeX varie
de m-K, multiple entier de t:, l'argument de Y de «t:. On a donc
— logX --- logY -i- fonct. coiu,,
( I — -- 1 logX^- logr, — fonct. cont.,
'-•S-irl-')"''"^-""'"-'""'-
Si la surface dans le second cas s'étend à l'infini entre deux
droites d'encadrement successives, on prendra pour axe des x
positifs la ligne la plus courte qui joint ces deux lignes d'encadré-
y Google
i d'aire ÎKNIMA POUR t.\ CONTOlîR BONNE. 32 [
ment, parallèle à la normale posilivc à l'inSni. Soit A la longueui-
de cette pins courte droite, et soit cm l'angle que remplit la pro-
jeclioii de la surface niinima sur le plan des ys. Alors les parties
réelles deX et i'IogT, restent finies et continues à l'infini cl prennent
une valeur constante sur les droites d'encadrement. On a donc
ainsi (pour7 = oo, z ^ x) :
Si l'on fait coïncider l'axe x, d'un système de coordonnées
avec une ligne droite d'encadrement, l'axe x.i d'un autre système
avec la deuxième ligne d'encadrement, etc., sur la première ligne
logïii , sur la seconde logvii, etc., sont des imaginaires pures, car
la normale est respectivement perpendiculaire à l'axe des x,.
des x-p, etc. Par consécrirenl, i -r-r-^ — est réelsurla nremièreligm,-
-' I ' dlo^'ïii ' "
d'encadrement, i J_ l'est sur la seconde, etc.
IVIais, puisque l'on a toujours aussi, pour un systùnie quelconque
de coordonnées (x, y, z),
\/''ïtki •"'" " V'ôri^. •"°'-" " v/'^ '"°''" -■■■■
on reconnaît que, sur chaque ligne droite d'encadi-eiucnl,
a des valeurs on bien réelles, ou bien imaginaires pure. ,
La surface minima est déterminée pourvu que l'on puisse expri-
mer une des grandeurs «, 7i,X,Y, Z par l'une de celles qui restent.
On peut y arriver en Lien des cas. l'uvmi ceux-ci, l'on remarque
y Google
32^ DEUXIËHE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMiXN.
particulièrement ceux où -r-. est une fonction algébrique de 't\.
Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire et suffisant que la repré-
sentation sur la sphère et les prolongements symétriques et con-
gruents de celte représentation forment une surface fermée qui
recouvre simplement ou mulliplement toute la splière.
JLn général, il. est difficile d'exprimer directement une des
grandeurs ii, r,, X, Y, Z par l'une de celles qui restent. Mais, au
lieu de cela, l'on peut exprimer chacune de ces grandeurs comme
foncûon d'une nouvelle variable indépendante convenablement
choisie. Nous introduirons une variable indépendante i telle que la
représentation de la surface sur le plan des t recouvre simplement
la moitié du plan infini, et nous choisirons le demi-plan où la partie
imaginaire de ( est positive. Il est, en effet, toujours possible de
déterminer t comme fonction de u (ou de l'une quelconque des
grandeurs restantes ïj, X., Y, Z) sur la surface, de telle sorte que la
partie imaginaire soit =^o sur le contour, et qu'en un point quel-
conque (_u=b) du contour la fonction soit infinie du premier
ordre, c'est-à-dire toile que l'on ait
,.-= '1"1^-- -i-fonot. cent. ,u = t>\
L'argument du fadeur de j est déterminé par la condition
que la partie imaginaire de t soit = o sur le contour, el soit posi-
tive à l'intérieur de la surface. Il ne reste donc d'arbitraire dans
l'expression de t que le module de ce facteur et une constante ad-
ditive.
Soient :
; = (/,, rto, ... pour les points do ramification à l'intérieur do la
représentation sur le plan des r, ;
l -j= b,, b>. ... pour les points de ramification siu- l'encadrement
qui ne sont pas des sommets;
t = c,, Cl. ... pour les sommets;
/ ^3 e, , e^i ... pour les secteurs s'c tendant à l'infini.
Pour simplifier, nous supposerons que toutes les grandeurs a,
b, c, e sont situées dans le domaine des grandeurs finies sur le
plan des t.
yGoosle
SURFACES d'aire MINIM* TOUR U-N tOSTOCR DONNÉ. 323
Oo a alors :
pour t^a.
pour t^^b.
^og -jr = (-. ' ) log{/— bj -fouet. coLil, :
pour t:=c,
du /m "■ Vf,
S ^ = ( 7 - ' ) 'ogC ~ c^ - loacA.. coiit. :
pour;=-e,
u = t / — _- log{l — c) -'■- fonct. cont.
On pcul borner la recherche au cas « ^ 3, m ^ i , c'est-à-dire
au cas de points de ramificalion simples, et en déduire le cas i^é-
néral ea faisant coïncider ensemble plusieurs points de ramifica-
tion simples.
Pour former l'expression pour -j- , on observera que le long
du contour dt est réel, et du soit réel, soit imaginaire pure. Par
conséquent (-jj) est réel lorsque ( est réel. Cette fonction pent
être prolongée d'une manière continue an delà de la ligne des
valeurs réelles de (, si l'on ajoute cette donnée que, pour des va-
leurs conjuguées l et t' des variables, la fonction devra également
avoir des valeurs conjuguées. Alors l-r:\ est déterminé pour tout
le plan des t, et cela d'une manière uniforme.
Soient a^, aJi, ... les valeurs conjuguées de a,, «:,, .,, et dési-
gnons le produit it — a,) (t — a^). . . par ï\{t — a). On aura
alors
_ /* /n(t — a)n{l — a')n(t-~b) c onsl. dt
(11) «-coiist.+jy/ n(t-o) Il(;-c)'
Les constant
es a,b,c. ... doi
vent être
sorte que l'on i
ïit
-n/i-"-
e) + fonct.
pour l _. e.
y Google
334 DEUXIÈME PARUE. — NËMOIBES PUBLIES APRÈS I.A MORT hE RIEMANN.
Pour que u demeure finie et continue pour toitles les valeurs
de (, hormis a, b, c, e, le nombre de ces dernières valeurs doit
satisfaire à une relation. Il faut que la différence entre le nombre
des sommets et le nombre des points de ramifications situés sur
le contour surpasse du nombre 4 'e double de la différence entre
le nombre des points de ramifications intérieurs et le nombre des
secteurs qui s'étendent à l'infini. Sï l'on pose, pour abréger,
((-a)ll(/^«"}n((-i) = ofO.
c'est-à-dire
du _ /'fC *
dt -"^""''-v /To'
alors la fonction cnl.icre a{ï) est de degré v — 4 lorsque /(') est
de degré v- Ici •/ désigne le nombre des sommets augmenté de
deus fois le nombre des secteurs qui s'étendent à l'infini.
S XIV.
Il reste encore à exprimer r, comme fonction de t. On n'y par-
vient direclemenl que dans les cas les plus simples. En général,
on adoptera la méthode suivante : Soit c une fonction de t que
l'on déterminera plus loin d'une manière plus précise, mais que
nous supposerons connue pour l'instant. Dans les équations (8),
(g), (lo) il s'agit essentiellement de /i-;^-' "^ue l'on peut aussi
écrire sous la forme -r -n — ■ ■ Le dernier facteur neut è(re envi-
dv rflogï, '
sage comme le produit des deux facteurs
qui satisfonl à l'équation différentielle du premier ordre
, ,, , M. dk,
y Google
(Il)
■RKACES u'.tLRB MINIHA POfR UN CONTOUIl DONSÉ.
;e!le lIu second orJre
¥, ~d^^ ~ Ji 'dv^ '
Par conséquent, réussit-on à exprimer l'un ou l'autre membre
de celle dernière équation comme fonction de (, on peut établir
une équation dirt'érentielle linéaire homogène du second ordre
dont A, Gi k-i sont des intégrales particulières. Soit /c l'intégrale
complète. Remplaçons -j-^ par l'expression équivalente
(M '
et nous obtenons poiu- /c l'équation diirérentlelle
^^ dt dl^ ~ dl' dt \dt) \A, dv^ } ""**■
Soient alors K, et Ko deux intégrales particulières indépen-
dantes entre elles connues de l'équation (i5), dont le quotient
— -=H fournit sur la sphère une représentation du demi-pian
positif des i, encadrée par des arcs de grands cercles. La même re-
présentation peut être alors pratiquée par l'entremise de chaque
expression de k fonne
(i6)
Il — a
' ^ n- x' H
où â est réel et où a, a' sont des grandeurs complexes conjuguées.
La fonction c doit être choisie telle que, pour des valeurs finies
de t, les discontinuités de | -r^- on soient pas situées autrement
qu'en les points a, a', i, c, e.
Si l'on pose
ians la région du fini n'est discontinue que
pour les points a, a', b, c, et cela en devenant en chacun d'eux
infinie du premier ordre.
y Google
326 DEUXIÈME PARTIE. — HËHOIRES PUBLIÉS APBÈS LA MORT DE
On a notamment, pour ï ^= c,
ï) — ï]c ^ const.(i-- c)ï.
Par suite
*.-/! —"■(.-. .M
d'où
,_dH- _i (f-i)/'(0
/.- rf^' 4 ( — c
On obLÎenL des expressions analogues pour i^a^ a', b en
remplaçant ci-dessus c respectivement par a, a', b et y par le
nombre a.
Une recherche toute pareille nous apprend que poiirï = ela
Jonction r -rr reste continue.
k dv-
Ponr ï = x, l'on a
L expression pour t -j-j- se présentera donc comme u suit :
k dv-^ ^Za t-g ' >- ■■
La sommation s'éiend à tous les points g ^=a, «', b, c, et, lors-
qu'il s'agit de ff, a' et 6, l'on doit remplacer y par 2. F(i) est une
fonction entière de degré (av — 6) où l'on détermine les deux
premiers coefficients comme il suit : Mettons dv sons la forme
/-v+s ^
ou, pour abréger,
r-'J.dl'u
Alors on obtient, en différentiant,
dv'[\dvj ] di!ll\di>tj J ■ \dvj dv'"'
y Google
SUliFACES D'aIRK MdMMA POUR US COSTOUIl DONNÉ, 3a
, par suite,
[d^J dv'- [\dvj 1 ^ ' k di>^ "" (/ri '
(r—i ^f'(^)
La fonction dans le premier membre est finifi pour t^=x>. Par
suite, au second membre on doit écrire que les coefficients res-
pectifs de t^ et de t, dans les développements de (~"+'F(i) et de
a^ — ;-; — , sont éffauï.
Pour le développement de y^ — ~— un calcul simple donne
i rf- ("O __ r / v_ ^ \ dU-'^ \frenons-le pour plan dos ■/;,. Alors les grandeurs consra
^.'i, 9, peuvent être déterminées de telle sorLe que
et nous obtenons deux fonctions
*'.V-^- '-VI
qui sont des intégrales parlicullères de l'équation difTérenticlie
(i 5). Nous avons, par suite,
La portion du contour considérée est représentée sur le
les ■/], par rentremisc de Téquation
et, lorscjue l'on porte celte valeur en !;\, l'on reconnaît aisé-
ment que, sur la partie de contour en question, -j- - ^' est réel,
l'ar suite, il en est de même de r -,;- et, comme ces raisonne-
i peuvent s'appliquer à chacune des portions du contour.
r est nécessairement réel sur tout le contour.
1 ^
Mais maintenant, poiivdv réel ou bien imaginaire pure, la fonc-
tion 77 , ' est alors aussi elle-même réelle lorsque l'on pose
kj dv' ^ ^
d'une manière plus générale
en prenant le module o, constant.
Par conséquent, pour que Taxe des quantités réelles soit effec-
tivement représenté sur la sphère de rajon i, le long d'arcs de
grands cercles, l'on doit en chaque partie d'encadrement avoir
p, ^ I. Cela fournit exactement autant d'équations de condition
qu'il existe de lignes différentes d'encadrement données.
Dans ces considérations l'on a supposé tacitement, comme dans
y Google
SURFACES d'aire MIKIMA POUR UN CONTOUR DO.VMi. 3^
le précédenl paragraphe, que les valeurs a, b, c, e sont louLt
finies. S'il n'en éuit pas ainsi, le traitement exigerait une légfT
modification.
NOTE.
I,c prohièine est ainsi foimult d'une iiianicre complote. Il ne reste plus
dans les cas partictilieis qu'à établii- d'une manière explicite l'cquation dif-
férentifille (i5) et à intégrer.
Il n'est pas sans importance d'ailleurs dobseiver que le nombre des
constantes réelles arbitraires qui se présentent dans la solution est exac-
lemenl égal à celui des équations de condition qui doivent être satisfaites
conformément à la nature du problème et de ses données. Désignons les
nombres respectifs des points a, b, c, e par A, B, C, E et remarquons que
Ton a
2A-^-B + 4- C-!--.?E = -^.
Il se présente, dans l'équation dilTérentielle (i5), 'i A-,- B -I-4C + 5E — lo
constantes réelles arbitraires; ce sont ; les angles y dont le nombre est C;
les îv — 7 constantes de la fonction F(ij; les grandeurs réelles b, c, e, à
trois desquelles on peut donner des valeurs quelconques en faisant éprou-
ver a ( une substitution linéaire à coefficients réels; enfin les parties
réelles et imaginaires des grandeurs a. A ces constantes arbitraires, il s'en
ajoute encore dix par l'cITet de l'intégi-ation ; notamment lorsque
ce sont: les trois rapports compleses 2:^:7:0 que l'on doit compter pour
six constantes réelles, un facteur de du, (réel ou imaginaire pur), et une
constante additive réelle dans chacune des expressions pour x, y, a. Mais
ces constantes doivent encore vérifier des équations de condition, qui
doivent être satisfaites pour que nos formules représentent d'une manière
effective une surface minima.
Parmi ces équations de conditions il y en a -lA -t- B qui sont relatives
aux points a, a', b ; elles énoncent que, dans les développements .des so-
lutions de l'équation différentielle (i5), valables dans le voisinage de ces
points, il n'entre aucun logarithme (comparer note [i]); il y en a C -t- E
qui énoncent que les portions de l'axe des ( rÉels, comprises respective-
ment entre les différents points c, e, sont représentées sur la sphère de
y Google
33o DETJXIÈME P
rayon i par
;-E a
JIJÎMOTRTÎS PUBLIÉS APRÈS LA MORT l>
le grands cercles. Le nombre de ci
iolulioD esl donc 3C -(- 4E.
coordonnées des
directions
restent encore indéterminées di
Les données du problème son
du contour et ies angles qui dé
drement qui s'étendent à l'infini.
Ces données s'expriment par 3 C-(- 4E équations, et l'or
tion, poury satisfaire, un nombre exactement pareil de (
a disposi-
,tes [4].
EXEMPLES.
s XV.
Prenons pour contour d'encadrement deux lignes droites s'é-
tendanl indéfiniment et non situées dans le même plan. Désignons
par A la longueur de la ligne la plus courte que l'on peut mener
de l'une ù l'autre, et soit «t l'angle du secteur formé par la pro-
jection de la surface sur le plan perpendiculaire à cette ligne qui
joint les deux droites.
Si l'on prend cette ligne la plus courte de jonction pour axe
des x,x possède une valeur constante en cliacunc des deux lignes
d'encadrement. De même a est constant en chacune de ces lignes.
A une distance infinie la normale positive relative à l'un des sec-
teurs esl parallèle à l'axe des x positifs, et celle relative à l'autre
secteur à l'axe des x négatifs. L'encadrement esl représenté sur
la sphère par deux grands cercles qui passent par les pôles /i = 0,
ïl ::^ûo et qui comprennent entre eux l'angle an.
L'on a donc
--:f^^-
yGoosle
SURFACES d'aire MINlllA POUR IIN CO-NTOUII DONNÉ. 33l
on reconnaît là l'équation de l'héllcoKie.
§XVI.
Prenons ponr contour d'encadrement trois lignes droites dont
deux se coupent et dont la troisième court parallèlement an plan
des deux premières.
Prenons pour origine des coordonnées le poinl d'intersection
des deux premières droites, l'axe des x positifs coïncidant avec la
normale négative; alors le point d'intersection a pour représenta-
tion sur la sphère le point ■/] ^= =o. La représentation des deux pre-
mières droites sur la sphère sera formée par deux demi-grands
cercles allant de -^ =00 jusqu'en v, = o. Soit a.T, l'angle compris
entre eux. La représentation de la troisième ligne sera un are de
grand cercle qui, partant de ïi = o, suit son cours jusqu'en un
certain point où, changeant de sens, il retrace son propre chemin
pour revenir au point r^ ^= o. Soient ^ jân et y^ les angles for-
més par cet arc avec les deux demi-grands cercles, en sorte que ^
et Y sont des nombres pris en valeur absolue, et que l'on a
Pour obtenir la représentation sur le demi-plan dc^s ?, supposons
t = 05 pour ïi = a;, et supposons qu'au secteur infini entre la pre-
mière et la troisième ligne corresponde t^b, qu'au secteur infini
entre la seconde et la troisième ligne corresponde f =^ c, et qu'au
point oii change le sens de rotation de la normale sur la troisième
ligne corresponde t= a. Alors a, 6, c sont réels et o" > a > è.
Aces déterminations correspond r,^ij — b)^{t — c)ï. La valeur a
dépend de et de c. On a notamment
yGoosle
33lS BEUXIÈHE PARTIE. — MEMOIRES PUBLIES APRÈS LA MORT I)E RIEMANN,
exppessioii qui, poiiple point où change le sens de rotation de la
normale, doit être -
, par conscqi
lile, d'après les § XII et Xill,
■on prend c^-« = îj,
■^ ' (i — b){t~-ci
. r 'li . r dt'
• J i,-tn,-c)''"J ij'^iJîXT^^
%J ^t'-b)\i~ii
_i r(i ~bfii-c)'< + (t-l,)-ft,t
ij \l~b]{l~c)
_, r ( l■-^)^'(f-^;)T^-(t'-i^>(l■-
■ij (i'-6)(f-e)
Prenons pour eneadrement trois lignes droites qui se eroisent
(dans l'espaee) eldont les plus courtes distances respectives entre
elles soient A, B, C.
lintre chaque couple de lignes de contour la surface s'étend à
y Google
SliaFACES d'aire MISIMA POUR UN CONTOUR DONNÉ. 333
l'infini. Soient a?:, ^t:, -ra les angles formés par les directions siii-
vant lesquelles les lignes de démarcation des premier, second,
troisième secteurs s'étendent à l'infini.
Supposons que pour les trois secteurs de la surface minima à
l'infini on ait respectivement ponr t les valeurs / ^ o, oo, i; on
obtiendra alors
■j{<) est une fonction entière du second degré. Ses cocfficienls
seront déterminés par ce fait que l'on doit avoir ;
pour l-a
On obtient;
diogc ~ y ait
og(i— ïi y iTz
Selon que les racines de réqualion -f{t) — o sont imaginaires
ou réelles, la représentation sur la sphère renferme à son intérieur
un point de ramification ou bien possède sur le contour deux
points on change le sens de rotation de la normale.
Les fonctions
ne sont discontinues relativement aux trois secteurs que lorsque
l'on prend
Et la discontinuité de k^ est de telle nature que :
pour ( ^ o :
y Google
334 DEUXiÈ.in
. — MÉMOIRES PUBLIÉS A
4 MORT BE RTBnANS.
sont uniformes et différenis de o et co. ^i el/fi sont des intégrales
particulières d'une équation différentielle linéaire homogène du
second ordre, que l'on oLtienl en représentante -t-j à l'aide de
ses disconlinuitéâ comme fonction de t et en inlroduisanl t au lieu
de V en -^ comme variable indépendante. A-l-on obtenu l'inté-
grale parliculière A-,, l'on obtiendra k^ à l'aide de l'équation dif-
férentielle du premier ordre
dl:,^
dk^
sif,'nons l'intégrale complète de 1'
3 homogène du second ordre par
qnatioo différenlielle lî-
Ceite fonction satisfait esseatiellemeni à des conditions toutes
pareilles à celles énoncées comme définition de la fonction P dans
le Mémoire Sur la série de GaussF (^, p, y, ^) (')-
Elle ne diffère de ia fonction P que par ce fait que la somme
des exposants est ici égale à — i et non à -t- i comme pour P.
On peut exprimer la fonction Q à l'aide d'une fonction I* et de
sa dérivée première. On a d'abord, en elfet.
ributian à la Théo
.,P,T,«>,PMo6i.
y Google
SLJBFACES d'aire miniha pouh vs contour donné. 335
Si l'on pose mainlenanL
* -^ P ■ i -,
on peut déterminer les constantes a, 6, c de telle sorte qne
En effet, I'oq n'a plus qu'à porter celle expression clans l'équa-
lion différentielle (c), et enaj'anl égard à l'équation différentielle
du second ordre pour i, on obllcnl l'i'qiialion
on
En vertu des propriétés de la fonction rf on peut poser
'-<'-').-r(.,t-'.'ï')-.
et, par suite, l'on doit avoir
Ff/) = ç(n.
A t'aide de cela on obtient trois équations de condition pour
a, h, C, qui prennent une forme très simple lorsque l'on pose
Les équations de condition susdites sool alors
. ^- ^= '^T
yGoosle
336 DEUXIÈME PARTIE. — MÉaOlliES PUBLIÉS APRÈS LA MOIIT DE RIEHA'
A l'aide de la fonction
J, r^ P >
dont led brandies ).| et )^2 satisfont à i"Rquation difféientiellc
rn.^_-. -«-!_ ._,
on peut exprimer /f encore plus simplcmenl ; ainsi :
' I . dl I
(/, /,-_,.[(, + ,„„,-,,,.,-,) 5,-J-
Il lie serait pas difficile de reprcsenler les diverses branches
de la fonction /c sons forme d'intégrales définies. La méthode ijui
ycondiiitesl indiquée au § VU du Mémoire précité sur la fonc-
tion P.
Dans le cas particulier oii les trois droites de contour courent
parallèlement aux ases des coordonnées l'on a
On obtient alors
La branche î.i de cette fonction est égale à
" .1
d'où l'on tire
A-, - - /i I' (( - 1)5 V'<" - ( ' ~ i)" [? + î< - ;° + !î ^ÏÎJ^')] .
y Google
! D'AIHR MINIM* pour TN RONTOIR DONNÉ. 33;;
A. l'aide de ces dcuK fonctions, dX., o?Y, c?Z peuvent èlreexpri
nées comme il suit
rfZ = — - (/■
,-X -(/> + '/- z-)^ \/^ + (-/> ^ 7 ^ '■)' \/-7 '
r — (ï- L)i
,■ Y = - f /, - ./ ^ ,- , ^ / 5" - ( - /, + f/ + /■ )^ r ^"
,-Z = (/;-./ + ^)-^ [ - 0^ +(/! + 5 - ,-/(,-/)- =
-+- ' (■i/' + '/-'>f-y^-7-^'-)'''i' '-^^-'■
•< I — v/i — '
Lorsque />, y, /■ sont réels, les coefficients de i dans les Irols
f,'randenrs aux seconds membres, multiplies par deux, sont les
coordonnées rectangnlaires d'un point de la surface.
§ XVIII.
Prenons pour contour d'encadrement les quatre droites qui se
coupent, que l'on obtient en supprimant dans un tétraèdre quel-
conque deux arêtes n'ayant aucun point en commun.
La représentation sur la surface de la splière est un quadranglc
sphérique dont on peut désii^ner les angles par ar., ^tî, y;;, ot:.
On obtient
Cd/ _ Cd!
~ ■/{l-a)iï"- h ) ( i-c,{t-d) ^AÏT) '
yGoosle
338 l»EL"XIÈME PARTIE. aÉMQIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT
lorsque les valeurs réelles t-=. a,h, c^ d désignent les points du
plan des ï, qui sont la représentation des sommets du quadrangle.
Si l'on applique la méthode développée au § XIV pour la dé-
termination de r,, on a ici, en particulier,
?(0=ï, 7.(0 = M0;
les fonctions A,, k^ satisfont à l'équation différentielle
dk, _, dA-, _ ^
et sont des intégrales particulières de Féquiition différentielle du
second ordre
k dv^ t — a t — b
^ t~—c "*" l^d "■' ' ■
La fonction F(() du § XIV est ici du second degré, maïs les
coefficients de (^ et i sont égaux à zéro; par conséquent h est une
constante. On doit introduire l comme variable indépendante dans
le premier memlire de la dernière équation, et l'on obtient
^'^^1 (^i-l)A'i'io(:r donné. SSg
réelles dans l'expression pour Vj, un facteur conslanL de du et une
conslante addiùve pour chacune des expressions de x^j, z.
Pour la dctermination de ces seize grandeurs, nous avons seize
équatious de condition; à savoir, les (quatre équationsqui ex-
primenl que les quatre lignes de contour dans le plan des ■r\ sont
représentées sur la sphère le long de grands cercles et les douze
équations qui exprîmenl que x, y, s ont aux quatre sommets des
valeurs données.
Dans le cas parlieulier du tétraèdre régulier la représenlaiion
sur la sphère est un quadranglc régulier dont chaque angle = | ti.
Les diagonales en ce cas se coupent par leurs milieux et à angle
droit. Les points sur la surface de la sphère diamétralement op-
posés aux sommets de ce quadrangle sont les sommets d'un qua-
drangle congruenl au premier. Entre les deux sont situés quatre
quadrangles également congruenls au quadrangle primitif; ils ont
chacun deux sommets en commun avec le quadrangle primitif et
deux avec son opposé diamétral. Ces six quadrangles recouvrent
nne fois la surface totale de la sphère. Par conséquent, "
est une fonction algébrique de r,.
La surrace minima cherchée'peut être prolongée d'une manière
continue au delà de son encadrement primitif, en lui imprimant
une rotation de 180" autour de chacune de ses lignes d'encadre-
ment, prise comme axe de rotation. Le long d'une telle ligne la sur-
face primitive et son prolongement ont leurs normales en commun.
Si l'on répète celte opération sur tes nouvelles portions de surface,
on peut en continuant ainsi prolonger indéfinimenl la surface pri-
mitive.
Mais, quel que soit celui de ces prolongements que l'on envi-
sage, il est toujours représenté sur la sphère par un des sis qua-
drangles congruenls ; et les représentations sur la sphère de deux
portions de surface ou bien ont un côté en commun, ou bien sont
situées à l'opposite l'une de l'autre, selon que les portions même
ont commune ligne de contour, ou bien sont situées le long de
lignes de contour opposées d'une portion de surface intermédiaire.
Dans ce dernier cas, les portions de suiface en question peuvent
être amenées à se recouvrir par un déplacement parallèle. Par con-
séquent, f-7 | ) reste invariable lorsque l'on remplace y, par — - •
y Google
340 DEr.tiÈWE PAHIIE, — MftHOIRES PUHLIÉS APRftS I.A MORT DE RIEMAKN.
Si l'on prend pour pôle (ti= o) le cenlre d'un des quadranglcs
el si le méridien initial passe par le milieu d'un des côLés de ee
quadrangic, on a, pour les sommets de ce dernier,
Les points auxquels correspondent des valeurs de r, égales et de
signes contraires ont les mêmes coordonnées x. Par conséquent,
quand on remplace '/: par — -r,, ( ^j^— - ) reste iovariaLlu. On ob-
tient alors
La conslanLe C, doit être réelle afin que du- possède des valeurs
réelles sur le contour.
On arrive au même résultat de la manière suivante : la substi-
tution
fournit sur le plan des ( une représentation dont le contour est
formé par une ligne fermée à courijure partout continue. Le cal-
cul montre que dlogt est imaginaire pure sur le contour. Par
conséquent, la représentation du contour sur, le plan des t est
une circonférence dont le centre est ï = o. Le rayon de cette cir-
conférence est égal à 1.
Aux sommets
;spond
y Google
■. niNIUl POUR UN CONTOUR DOSNt
Lorsque sur la surface mininia on décrit dans le voisinage d'un
de ces quatre points un chemin conduisant d'une des lignes de
contour à la suivante, l'argument de dt varie de -r.. On peut
donc, comme au § XJII, poser de même ici
el, C^ doit être imaginaire pure, afin que du^ soit réel sur le con-
tour. On trouve
G, = ^/3C^'.
Cette expression coïncide avec celle précédemment établie
pour {-,-r-^ ) ■ Pour simplifier encore posons
(K)'^"
rquoi
( ■■'"_
jduy fil
^ \dij dlo-i-ii
Alors un calcul très simple donne
^0 --|/(^)'(-0— ^'/TSoïâ
!-'i/(^)'(-0— '/ts^
<") (l — P"J)
où ^^ ^i(i — 'v'*^) désigne une racine cubique de l'unité. La
constante réelle C = 3 C, sera déterminée par la longueur donnée
des arêtes du tétraèdre.
§ XIX.
Pour terminer, nous traiterons encore le problème de surface
miuima pour le cas où l'encadrement est formé par deux circon-
férences quelconcjues situées sur des plans parallèles. Ici l'on ne
y Google
3^2 DEUXIÈME PARUE. — MÉttOITlF.S nULIÉS APRÈS LA MORT BE RIEHANN.
connaît donc pas la dircclion des normales au conlour, et l'on ne
peut donc en opérer la représentation sur la sphère. Maïs on ar-
rive à la solulion du problème en faisant l'hypothèse que toutes
les seclions planes, parallèles aux plans des deux circonférences
d'encadrement, sont également des circonférences. On démon-
trera que, sous celle hjpollièse, la condition du minimum peut
être satisfaite.
Si l'on prend l'axe des x perpendiculaire aux plans des circon-
férences de conlour, l'équation de la courbe d'intersection déter-
minée par un plan qui leur est parallèle sera
(A) F=J-^ + ^^-!-2ï/+'.fi.- + ï = 0,
et il s'agit alors de déterminer a, p, y comme fonctions de t. Po-
sons, pour abréger,
i/OV(Sv(£;
ondilion du minimum peut se mettre sons la forme
ou, après avoir effectué les différentia lions,
+ 4..,.[FH-a'-!-^2 — y) = o.
Si l'on pose t.- -h 3- — y = t/, et si l'on observe que F = 0, la
dernière équation se transforme en
après une première mtégration,
y Google
SURFACES d'aire alMMi POL'R UN CONTOUR DONNÉ. 3^^
La constante d'inlégratlon est iadcpendanle de x. Si, d'aulrf
part, on prend / — indépendamment dejf et î, la consianle d'in-
. [ (JF
tégration doit être une fonction linéaire de y et z, puisque - —
est une telle fonction. On a, par conséf|uent,
q àx J q
Si l'on compare ce résultat avec celui donné par la différentia-
lion directe de F, c'est-à-dire
d%
' dj; d3-
on
obi
Lient
dx ~
■- -aq,
d3
et,
sil
'on pose
fqdx.
-m, il vi
eut
-Ji = -a
m^d,
? = - b.n H
d'(
)ù
d¥
■■laqy — :
---£-
.Tr!" ■ "~
dq
--S-:
expressions qui doivent être portées dans l'équation (/). Après
ductions, l'on obtient
d--( dq d-( _
'^ dwi ~ dx dM '^ '''^ ~ "'
équation qui est encore simplifiée, si l'on observe que
f(m) = {a'- + b'-)m''^i{ad^be)m -^ d'- + eK
A l'aide des valeurs que l'on obtient alors pour ~ l -^,
quation différentielle qui exprime la condition du miniinuin
transforme en la suivante
y Google
3.U IlEllXitME PAIITIE. — MÈ3I0IRKS PUBLIÉS APRÈS I.A MIIRT [lE RIEflAKN.
Pour efFecLuer l'inLégration, posons
£='■•
et regardons q comme la variable indépendaDie. On obùent alors
pour p^, regardé comme foncLÎoii de q, une équation diffcrentielle
linéaire du premier ordre,
'/' l'/- J
L'iiilégralJon donne
On doÎL ici remplacer /» par -^ . d'où
F(= f ' '--' -
On a ainsi obtenu x, y-, z, exprimées comme fondions de deux
variables réelles (jr et:];. Ces expressions, abstraction faite de termes
algébriques, sont des intégrales elliptiques avec la limite supé-
rieure q. D'après la méthode générale précédemment développée,
on aurait obtenu x,y, z sons forme de sommes de deux, fonctions
conjuguées de deux variables complexes conjuguées. Il est donc
à présumer que ces expressions complexes peuvent être chacune
y Google
SURFACES d'aiue »[siiia polh un contour do.n.né. à-\^
d'elles ramenées, à l'aide du lliéorème d'addilion des fonctions el-
liptiques, à une unique expression intégrale de la variable q.
C'est ce qui est facile à établir. En effet, des formules relatives
aux coordonnées de direction r et s des normales, on lire
Ayant égard alors à l'équation qui définitif, c'est-à-dire
m obticul
i/(?)'-(S'
- .^ - —^=- IP - -iaqir^ ^) -'2/yj(= + ?)J
'/(/Fy /ûi'r- ■'•/-
- = -L=r [p — ->.aq(y^-i.) — ^bq{z-^'^)\.
Dans le second membre on doit introduire, au lieu de y-{-y-,
;4-3, les expressions en T; et ï,' trouvées précédemment. L'é-
quation prend alors la forme suivante :
Élevons les deux membres de cette équation an carré et rem-
plaçons 4 pa-' sa valeur tirée de («), on obtient, aprt^s rédiic-
y Google
3^6 DEUXIËXB PARTIE. — MESOIBES PLDUËS APRÈS LA »ORT DE RIEMANK.
L'équalion que nous avons ainsi trouvée, qui fournît la liaison
enLre q, ïi, ■/)', peut être regardée comme l'intégrale d'une équa-
tion différentiel le entre ïi et Vi '-^-;>^.) -^=^ [(.-H»V|-(»-*oi/|]
Si l'on prend les racines carrées avec les mêmes signes, l'équa-
tion dilFérenlielle se transforme en
"' '■'■ '
Son intégrale sous forme algébrique est exprimée par l'équ.
y Google
SrKFACES D'aERË «ISIMA POIJR UN CONTOUR DONNÉ. 3/17
tion (^) ou, ce qui revient au même, parles deux équations
V-?
4- A [{« ^ 61) + acr,'- {a + éOl'-] ,
- A |(-, - hi) + .,cr;-(a + bi) VM.
Sous forme transcendante, l'intégrale sera
i-- /.
et la consLanle d'inlégraûon peut être exprimée par
^/.:
J"]—
^,,\_,^^c,i-{a-- + IA)<,'-\
conclusion facile à tirer de l'équation (/) quand on y fait soit ïi,
soit t/ constant, et cela ^ o.
Ou reconnaît ci-dessus le théorème d'addition des intégrales
elliptiques de première espèce.
y Google
MÉMOIRES PIBLIÈS APRÈS L
NOTES
DE M. H. WEBEiR.
La première édition du Mémoire Sur les Surfaces d'aire miniina, pu-
bliée par Haiiendorf dans les Mémoires de la Société des Sciences de GOt-
tingue en 1867, était précédée d'une Introduction liistoi'îque qui, de l'avis
même de Hattendorf, malheureusement enlevé à la Science par une mort
prématurée, ne fut pas comprise dans ta première édition des Œuvres de
lUemanii, comme n'étant aucunement l'ouvrage de ce dernier. Nous ne l'a-
vons donc pas davantage introduite dans cette seconde édition.
11 n'est pas sans intérêt de remarquer que, tout à fait accidentellement,
Weierstrass s'occupa en même temps que Riemann de ses recherclics sur les
surfaces minima, dont les résultats parurent dans les Monafsberichte de
l'Académie de Berlin en octobre et en décembre 1866. Les travaux de
Weierstrass donnèrent l'impulsion aux profondes études de H.-A. Schwarz,
dont la première communication sur ces sujets parut dans les Monats-
berichte de l'Académie de Berlin en i865. La publication in extenso de
son Mémoire couronné ; Détermination d'une surface minima par ticu~
Hère, date de l'année 1871. Le problème traité au g XVIII du Mémoire de
Hieraann, dans le cas de la surface minima ayant pour contour un qua-
drangle régulier de l'espace, est poussé dans ce Mémoire jusqu'à l'établis-
sement effectif d'une équation entre les coordonnées x, y, s de la surface.
On doit encore citer le Mémoire de Arthur Schondorff, couronné par la
faculté de Gottingue en 1867, Mémoire qui se rattache aussi aux idées de
Riemann, et présente ù la Faculté philosophique de GOltingue sous le
titre : Sur la surface minima dont le contour est formé par un qua-
drangle doublement isoscèle de l'espace.
Dans cette deusième édition le Mémoire de Riemann est reproduit avec
quelques corrections nécessaires d'après la dernière rédaction de Ilatlen-
dorf. Je donne quelques éclaircissements et suppléments dans les Notes
suivantes, où j'ai employé quelques communications cl indications que je
dois à H.-A. Schwarz.
|l] (p. 3i3), Il est à remarquer ici que, d'après (3) et (4),
dy _ ( __l\d^ -il^l ^l^^
yGoosle
suRFACHs u'airr Bi^rsA I'Olr un contour do.nné. 349
sont des fonction? de tj seul et que, par conséquent aussi, Y et Z peuvent
élrc considérées comme fonctions de ij seul. Y' et Z' sont alors les fonc-
tions conjuguées qui ne dépendent que de tj'.
[2] (p. 3i8). Pour des valeur? infiniment petites de r^ (et par consé-
quent aussi de r), on a, en vertu de (i) et de (i),
Il s'ensuit donc que iX — x-i- it est une fonctioi
séquent aussi, que 2 Y est une fonction de y — ù
partie réelle de aV, l'on a aussi, pour i\ infinimei
termine d'une manière convenable une constante
1 de y—iz, et, par con-
:. Mais, puisque _r est la
it petit, lorsque l'on dé-
additive imaginaire pure
dans Y,
Si l'on détermine aussi la constante additive
imaginaire pure dans X,
de telle sorte que X s'évanouisse avec -r,, on obi
dont il est fait usage plus loin.
lient les développements
[3] (p. 321). Lorsque l'angle a = o, et que, pai
d'encadrement sont parallèles entre elles, à la
• conséquent, deux lignes
place de ces développe-
nieiils se présentent les suivants :
V.-^,o„..„.,
con..,
( -j- — -1- foiict. conl.
X = -^ ~- 71 + tonrl. COI
■ t.
[ij (p. 35o). La clef du § XIV se trouvera surtout dans les développe-
ments du fragment XXV, a" édition, page 437. Dans la détermination de ïj
comme fonction de /, il s'agit de la représentation conforme sur le demi-
plan positif des t d'une figure encadrée par des arcs de cercle dans le
demi-plan polaire des 1^.
r^-^i: r'-W'k
y Google
35o DEUXIEME PARTIE. — aÉaOlHES PLULIÉS Al'RliS L\ MORT DE KIEHANN.
alors, d'après le fragment cité,
est une fonction rationnelle da t qui, pour les valeurs réelles de (, pot!-
sède des valeurs réelles; 71,72 sont deus solutions particulières de l'équa-
tion différentielle
(2)
rf(i
T) est le quotient de deux solutions particulières de celte équation. On
peut transformer cette équation en multipliant j'i, 72 par un seul et même
facteur sans lui enlever cette propriété que le quotient de deux solutions
particulières donne la fonction ïj. Si l'on pose, en désignant par/ une
fonction de ( arbitraire pour l'instant,
(3) ^-J/'S
on obtient pour /. l'équation différentielle
-
valeurs des fonctions
(;,..-„ ...,z„) = (^)-Uj).
formées par Tapplicalion de la substitution (a)"' à (y), se trans-
forment alors de
c'esl-à-dire que
se transforme en
Lorsqu'une fondions, par l'effet d'un circuit positif de ^ autour
de a, acquiert un facteur constant "k, on peut, en la multipliant
par une puissance de (œ — a), la transformer en une fonction
qui, dans le voisinage de a, est uniforme. En effet, (x — a')l^, par
l'effet d'un circuit positif de a; autour de a, acquiert le facteur
e^'^'^-'. Si l'on détermine, par conséquent, [* de telle sorte que
gti2m=_ ).^ ou, si l'on pose [i^ —~, alors s {a: ^a)~l' est une fonc-
tion uniforme pour x — a. Cette fonction peut donc être déve-
loppée suivant les puissances entières de [x — a), et s lui-même
peut l'être suivant des puissances dont les exposants ne diffèrent
de [A que par des nombres entiers.
Par suite, 3,, s^i ■■ ■! Su sont dcvcloppables suivant des puis-
sances de X — a, dont les exposants sont de la forme
où m désigne un nombre entier.
Nous ferons maintenant l'hypothèse que les fonctions^ ne de-
viennent jamais infinies d'ordre infiniment grand, en sorte que
ces séries doivent prendre fin du côté des puissances descen-
dantes, et nous désignerons par [i.|, u^, --., a,, les plus petils
exposants dans ces séries, de telle sorte que
y Google
3i)8 TROISIÈME PARTIE. — FRACUENTS POSTHCUES.
ont des valeurs finies, différentes de zéro. Il est évidenLqne lii dif-
férence de deux qrielconqiies des grandeurs \t,, ja^, ..., jjl„ ne peut
jamais être un nombre entier, puisque les valeurs des grandeurs
A|>5i2, ...,)iu sonl toutes différentes entre elles; au contraire les
taleurs des exposants correspondants dans deux systèmes quel-
conques appartenant à la même classe ne peuventdifférerqiie par
des nombres entiers, puisque les grandeurs }.,, ).î, ...,!„ sont
complètement déterminées par (A). Ces exposants peuvent donc
ainsi servir à distinguer entre eux les différents systèmes de fonc-
tions de la même classe ou encore à les grouper, et il suffit, lors-
qu'ils sont connus, d'assigner au lieu de (A) la substitution (a),
puisque les grandeurs )>,, ^ai ■■-- \i sont déjà déterminées par ces
exposants.
Nous allons donc comme caractéristique plus exacte du sys-
tème {yuy-2! •■■ •yn) employer l'expression
où les grandeurs dans les lignes verticales relatives aux valeurs
de ramification b, ..., g ont par rapporta ces dernières même
signification que les grandeurs dans la première ligne A'erlicale
par rapport à a. Il est alors bien clair que chaque système peut
être considéré comme cas particulier d'un autre où les exposants
correspondants sont soit en partie, soit tous ensemble plus petits.
Maintenant, il n'est pas difficile de démontrer que, entre chaque
combinaison de /H- i systèmes, qui appartiennent à la même
classe, a lieu une équation linéaire homogène dont les coefficients
sont des fonctions entières de x. Nous distinguerons les grandeurs
correspondantes dans ces n + i systèmes au moyen d'indices su-
périeurs. Si nous supposons qu'entre ces grandeurs aient lieu les
y Google
ÉOUATIOXS UIFFÉIIEMIELLES LINtAlllEfi A COEFFICIENTS ALGÉBRIQUES. 359
les coefficients tïoi «Il •■■t liis égal à
c'est, |iar suite, une fonelion entière de degré an plus égal à
Celle dernière grandeur doit donc, lorsque la fonelion ne s'éva-
nouit pas idenliquement, être un nombre entier, non négatif.
Lesdélerminaiils partiels, auxquels les grandeurs a„, a,, . .. ,a,i
sont proportionnelles, se comportent donc comme des fonctions
entières, multipliées par des puissances de ;r — a, X — b, ...,
X — g, dont les exposants dans les divers déterminants diffèrent
entre eux par des nombres entiers. Par conséquent, les grandeurs
o„,rti, ..., «„ elies-nièmes se comportent comme des fonctions
entières et peuvent donc être remplacées dans les équations (2)
par de telles fonctions, ce qui nous fournit la proposition que
nous voulions démontrer.
Les dérivées des fonctions y, , y.,^ ■ ■ ■ , yn p^i' rapport à x
forment évidemment un système appartenant à la même classe,
car les quotients différentiels des fonctions (A) [yt , y^, ..., yn),
en lesquelles sont transformés (y, , y-^, .■-, y„) lorsque x décrit
un circuit positif autour de cr, sont égaux à
^ '\ilx dx' " ' dx J'
puisque les coefficients dans (A) sont des constantes, A l'aide de
cette remarque, du théorème déjà démontré, on tire les deux
corollaires :
Les fonctions y d'un système satisfont à une équation dif)\'-
rentielle du n"""' ordre dont les coefficients sont des fonctions
entières de x.
Et:
Chaque système appartenant à la même classe peut s'expri-
mer linéairement avec des coefficients rationnels à l'aide de
ces fonctions et de leurs n — i premières dérivées.
y Google
ÉQUATIONS riFFfinESTIF.U.ES LISÉAIRES A COEFFICIEMS ALGÉDRUJUES. 36]
Au moyen de ceUe dernière proposition, on peut former une
expression générale pour loiis les systèmes d'une classe, expres-
sion qui permettra de reconnaître aussitôt que le nombre de tous
les systèmes est infini, aÎDsi que nous l'avions déjà affirmé; toute-
fois, nous n'en ferons ici l'application qu'à la recherche de tous
les systèmes où non seulement les substitutions, inais encore les
exposants aussi sont les mêmes. Pour un système quelconque Y|,
Y 2, . .., Yn à mêmes substitutions et à mêmes exposants queyi,
ya, ..., y„, on aura, d'après le dernier corollaire, en désignant
les dérivées suivant les notations de Lagrange, n équations li-
néaires de la forme
cuY| = b^y, -i-l>iy, ~h...-i- b„-iy'^'-'\
c„Y, =^b„yi -f-biy'i -h. . .-^ b„-,yf-'\
c„Y„ = 6o'„ + b,y„ +. . .+ t,_, jî,"-",
où les coefficients sont des fondions entières de ^. La fonction c„
ne dépend que des fonctions y, quant au degré des fonctions fr,
il ne dépasse pas un maximum fini, en sorte que ces fonctions
n'ont qu'un nombre fini de coefficienis. Réciproquement, pour
que les fonctions Y,, Y^, ..., Y„ définies par ces équations,
jouissent des propriétés requises, il faut que ces coefficienis
soient tels que, pour les valeurs de ramification, leurs exposants
ne soient pas inférieurs à ceux des fonctions j-, et il faut que, pour
toutes les autres valeurs de œ, ces coefficients restent finis.
Ces conditions fournissent un système d'équations linéaires ho-
mogènes pour les coefficients des puissances de x dans les fonc-
tions b.
La résolution de ces équations, lorsqu'elles suffisent à la déter-
mination des coefficients, donne, comme valeur la plus générale
des fonctions (Y), la valeur const.(y); mais, lorsque cela n'est
plus le cas, clic donne une expression de la forme
Vi :^/,-t-, ^-/,,YV'+...^-^„YV"',
où A-, A-|, ...,/,-,„ sont des constantes arbitraires. On peut dé-
y Google
36li IROiSIÈME PiBriE. — FRAGMENTS POSTIUMES.
lermincr ces conslanle^ Tune après l'aiilre, chacune cojiime fonc-
tion de celles qui restent, en sorte que le premier terme dans
le développement d'une des fonctions (^)-'{Y), (P)-'(Y)
(3)''(Y) soit mil, ce qui a pour conséquence d'augmenter chaque
fois la somme des exposants au moins d'une unité; de la sorte la
somme des exposants est finalement augmentée au moins de m,
le nombre des constantes arbitraires étant alors diminué exacle-
nieni d'autant. De celte manière, de chaque système de n fonc-
tions, on peut en tirer un autre à exposants plus élevés qui est
alors complètement déterminé, à un facteur constant près, com-
mun à toutes les fonctions, au mojen des substitutions et des
exposants dans sa caractéristique.
Maintenant ce facteur aussi sera lui-même déterminé par ce fait
que l'on égale à i le coefficient de la plus petite puissance de x — n
dans le développement de la première des fonctions (a)"' (y),
et ainsi les fonctions y seront déterminées d'une manière uni-
forme {' ).
[On n'a plus besoin que d'étudier avec précision comment la
marche de ces fonctions varie avec la position d'une des valeurs
de ramification, a par exemple, pour arriver à la proposition sui-
vante : les grandeurs^ forment un système analogue de fonctions
de a aussi bien que de x, dont les valeurs de ramification sont
b, c, d^ ..., g, X, eldontles substitutions sont formées par com-
position des substitutions (A),(B), ..., (F).
Au cas oii il est impossible de faire varier les fonctions avec «
de telle sorte que toutes les substitutions restent constantes
(parce que le nombre des constantes arbitraires qu'elles ren-
ferment serait alors plus petit que le nombre des conditions néces-
saires pour cela), ou peut regarder le système comme un cas
(') Jusqu'ici l'on n'a eu besoin que de suivre un manuscrit complèLement ré-
digé par Riemann. A l'endroit où se trouve le crochet on trouve écrit en marge
dans la suite du manuscrit de Riemann : à partir d'ici inexact. Néanmoins, je
n'ai pas cru devoir supprimer le passage suivant (entre crochets), car il contient
le germe d'un développement ultérieur des profondes lliéories, qui y sont indi-
quées. Sur quelques feuilles du brouillon de Riemann on trouve une esquisse
de ces développements. Je les ai reproduits, dans ce qui vient ensuite, en les mo-
difiant le moins possible. - { H. Webeh.)
y Google
ÉQUATIONS LIKFÉIIENTIELI.FS LINÉAIIIES A COEPFICIEMS ALGÉDRIQtlîS. 363
paniciilier d'un sjslènic à exposants plus pelils, système où, pour
ces valeurs spéciales de n, 6, ■■.,g, les coefficients de certains pre-
miers termes dans les développements en séries pour (*)"'(_x)i
(P)~'(y)' ■■•) (^)"' iy) s'évanouissent.
En vertu de celle proposition, les grandeurs yt-y2, • ■ ■ - ,>'« re-
présentent des fonctions de/) variables», b, ..., g^oc, qui, lorsque
toutes les grandeurs variables reprennent leurs premières valeurs,
ou bien reprennent elles-mêmes leurs valeurs primitives, ou bien
sont transformées en des expressions linéaires de ces valeurs pri-
mitives, expressions ayant un système de coefficients constants,
formé par une certaine composition des (/> — 2) systèmes (A),
(B), (C), ..., (F) donnés arbitrairement.
Je dois renoncer pour l'instant à poursuivre l'étude de ces fonc-
tions à plusieurs variables et celle des méthodes auxiliaires que
fournit cette dernière proposition pour l'intégration des équations
différentielles linéaires; je remarquerai seulement encore qu'une
intégrale d'une fonction algébrique peut être regardée comme un
cas spécial des fonctions traitées ici, et que, en appliquant ces
principes à une telle intégrale, on est conduit à des fonctions
que représentent les séries 3 générales à modules de périodicité
quelconques .]
DÉTERMINATION DE LA FORME DE L'ÉQUATION
D IFFÉRENTIELLE.
Le premier problème qui se présente dans la théorie des équa-
tions différentielles linéaires, basée sur ces principes, est la re-
cherche des syslèmes les plus simples de chaque classe, et, à cet
effet, on devra d'abord déterminer avec plus de précision la
forme de l'équallon différentielle.
Si nous entendons par les précédentes fonctions _>'"*, y^-\ ■ ■■ ,
y^"\ comme le fuit Lagrange, les dérivées successives de la fonc-
tion y, alors les équations (a) représentent l'équation différen-
tielle à laquelle satisfont ces fonctions. Le degré des fonctions en-
y Google
364 TllOISIÈ.HE l'AliTLE. — FRAGMENTS POSTHUMES.
lières, qui peuvent être prises pour les coefficients, se ilcterminc
Chaque différcn lia lion par rap^iotl à x diminue d'une unité
lous les exposants de la caractéristique, lorsque l'on suppose
qu'aucun d'eux n'est un nombre entier; alors
reste partout fini et uniforme, lorsque l'on pose
Pour a- ^ K, puisque les fonctions y restent finies et uni-
formes, ^ ± r,^:,"- ■ -j^""" est infiniment petit d'ordre «(« — i}-
Le degré de la fonction entière Xq est donc
si l'on désigne par m le nombre des valeurs de ramification et
par s la somme des exposants dans la caractéristique.
Lorsque dans le s}'sième des ii{n + i) grandeurs _}', au lieu de
la dernière ligne verticale, c'est la (n-\-\ — ()'™' que l'on sup-
prime, le déterminant ainsi formé doit être, en général, multiplié
par des puissances de {x — a), {x — b), ..., {x — g) dont les
exposants sont augmentés du nombre t\ il sera, par suite, une
fonction entière de degré r+(m — i) t [au cas seul où ( = h, ce
degré sera r -^ {m — a)/*.]
L'équation différentielle, si l'on désigne par w le produit
{x — a){x-'b)...{x — g), peut donc être mise sous la forme
'^f.y
".X„_,^'-h.
,"X„j<"
où les grandeurs X( seront des fonctions rationnelles entières de
degré /■ + (/« — i) i [X„ sera de degré r + {m — 2)«].
Cherchons maintenant quelles sont les conditions auxquelles
doivent satisfaire les coefficients de ces fonctions pour qu'une
y Google
ÉQUATIONS DIFFÉnENTIELLES LTNfiAlBES A COEFFICIENTS AMIÉEIIIQUES. 365
ramificalion se préseiue pour les seules valeurs a, h, ,..,gel
pour que les exposants de disconlinuiié aient en ces ramifica-
tions les valeurs assignées. Une ramification ne se présente ja-
mais, et c'est le seul cas où elle ne se présente pas, tant que toutes
les solutions de l'équation différentielle sont développaLles sui-
vant les puissances entières de l'accroissemenl de x, c'csl-à-dire
encore tant que le développement de y, d'après le théorème de
Mac-Laurin, renferme n constantes arbitraires. Cela est toujours
le cas lorsque a„ est différent de zéro. Nous n'avons donc qu'à
traiter le cas a„ = o.
Si l'on écrit l'équation différentielle sous la forme
b^y -+- b,{x-a)y'+ b^{œ - ayy'+...^b„{x - a)"y^"> = o,
il faut, pour que la fonction ^j', dans le voisinage de x =^ a, ait le
caractère prescrit, que les quantités jj.,, i/^, . .., ;a„ soient toutes
racines de l'équation
ô„ _H ft. ;^ +.,.+ i„ ;^ ( ^ _,)... (H -« + .)= o.
Cela fournit /( conditions pour les fonctions X; en outre, puisque
toutes les grandeurs usont finies et inégales entre elles, il est né-
cessaire que, pour a; =^ «, b„ ne soit pas égal à zéro. Il en est de
même pour les racines restantes b, c, . . . , ^ de tu :^ o. Par consé-
quent, Xo^ o ne peut avoir aucune racine commune avec (i) = o.
Maintenant, si (pour une racine de X,, = o) fl„=o, et au
contraire a„_, ^ o, alors (pour cette racine) _j', j', . . . , y^"-^^
peuvent être pris arbitrairement, mais y'"-'^ est déterminé par
l'équation différentielle
de sorte que (n — i) constantes arbitraires se présentent dans les
(n — i) premiers termes de la série de Mac Laurin, la dernière
constante d'ailleurs se présentant au plus tôt dans le (n -|-i)"'°'^.
Supposons qu'elle se présente d'abord dans le (n •+- A)'™' terme,
vée h""'^ de l'équation diffé-
ilors, si 1
'on élimine dans
nielle
o.j.'-*« + (/.o;.-
les grandeu
y Google
366 TROISIÎi»E PARTIE, — FRAGMENTS POSTHUMES.
cL l'(5qiialion (lilTiJrenlielle cîle-niême, les coefficients de y("+^-i
j(ii-2)^ y{ii-3)^ , . ,^y doivent tous s'evanouîr, puisque ces gra;
deurs sont indépendantes enrre elles. On obtient donc
par conséquent, a„ est différent de v.èta et l'on a en outre encore
Il — I équations, et l'on obtient donc n équations de condition
pour les coefficients des fonctions X.
En second lieu, supposons que «„ et fl«_, s'évanouissent simul-
tanément, mais que a„_2 reste fini, en sorte que les n — a pre-
miers termes de la série de Mac Laurin renferment n — a con-
stantes arbilraires, et supposons que la constante suivante se
présente d'abord dans le (n -h h — i)''"'^ et la dernière dans le
(n -f- h' — i^''""! terme.
Alors, pour que yi"+'t-'^) el y("+^'—-^ soient Indépendantes des
valeurs des dérivées d'ordre inférieur, on doit avoir les équations
el, par conséquent, rt", et a^,_, sont différents de zéro, et de plus
l'on a encore ■211 — 3 équations. Par conséquent, deux facteurs
linéaires de a„ sont égaux à zéro, et Ton obtient 2/i condition^
jur les fonctions X.
D'une manière tout analogue, dans le cas où a„, rt„_i, i^n-s s'é-
vanouissent simultanément, mais où ««^j reste fini el où les trois
dernières constantes arbitraires se présentent d'abord dans les
(«-HA — af""", («-f-//— 3)i""^ (n-\-h"— 'i)ii-"'' termes, on
trouve les conditions suivantes :
et, de plus, pour A, A', h", encore 3ïi — 6 équations, en sorte
que a,i possède trois et seulement trois racines égales, et que 3 h
conditions doiveol être satisfaites. En généralisant ces conclu-
y Google
ÉQUATIOSS DIFFÉRENTIELLES LINËllRIiS A COEFFICIENTS ALGÉBRIQUES. 3&j
sîons l'on reconnaît évidemment que cliaque facteur linéaire de X,,
a pour conséquence n conditions entre les fonctions X (').
Nous allons maintenant supposer qu'un des points singuliers,
par exemple g, est situé à l'infini, et nous désignerons par w la
fonction de degré m — r,
Les déterminants d'ordre n, formés à l'aide de la matrice
j'' y'i ■■■ A"-
Y'- y'i ■■■ yT^
seront désignés par ào, A, , . . . , i„, en sorte que yt , y,, . - . , y„
sont des solutions particulières de l'équation différentielle
j'A„+j'i|-l-y A. -!-,,. !-/'''i„ = <..
La fonction
^,,{r-a)-^V-(x-~b)-^~-'...>.->~''^^^ = \„.,.
est alors, ainsi qu'il a été déjà remarqué, une fonction rationnelle
entière de x, dont on obtient le degré au moyen de la considération
du point singulier x =: »; ainsi, en désignant par /> le degré de
est le degré de X,,, et oii
inpoi'le l'équsLion dilférentielle pour des va-
I dans Je manuscrit de Itiemaiin. Le
dénombrement des constantes est seulement indiqué. Ce qui suit a donc, autant
que possible, été supplémenlé par l'Éditeur. On a remarqué, dans la première
édition, qu'on obtient une simplification essentielle lorsque l'on transporte un
des points de discontinuité à t'inlini. Dans cette simplification., introduite pour
la première fois dans celte deuiième édition, nous corrigeons en même lemps
une erreur dans le dénombrcmenl des constantes, qui s'était glissce dans la pre-
mière édition, et sur laquelle iM. le D' D. Hilbert a atliré mon attention.
(W^n^n.)
yGoosle
368 mOISIÈME PAIlIliî. — FH.IGMRNTS POSTIILMES.
L'équation JilFcrenticllc poury peut alors s'écrire sous la forme
el, à cause des r zéros de Xn, qui, par hvpolhèse, ne font pas
paniedes points singuliers, il faut, d'après ce qui précède, que rn
conditions aient lieu entre les constantes renfermées dans cette
équation différenlielle.
Par conséquent, il reste ainsi dans l'équation différentielle un
nombre de constantes dont on peut disposer (puisque undescoef-
rieients peut être pris ^ ;) égal à
Se-,
0-
s un systi'me quelconque de n intégrales particulières y,,
. , y,i où entrent encore n- constantes d'intégration, le
e de constantes indéterminées est alors
Le nombre des coeflicients dans les substitutions (A), (B), . , .,
(G) est mn'^, et, par conséquent aussi, mn^ conditions devraient
être satisfaites, lorsque ces subsliliitlons sont assignées arbitrai-
rement.
Or ces substitutions sont liées par la condition (i), en sorte
que n^ des conditions précitées sont une conséquence identique
de celles qui restent. 11 reste donc ainsi (m — i)n^ conditions, et
le nombre des constantes dont on peut encore disposer est n — s.
Ce nombre doit être au moins = [, puisqu'un facteur commun à
tous les y doit rester arbitraire; on en conclut, par suite,
y Google
LE DÉVELOPPEMENT DU QUOTIENT
DE DEUX SÉRIES DÏPEnGÉOHÉTRrOlES EN FRACTION COMIME KFWW (').
Œuvres de Itie.
§1-
Lorsque l'on a une fraction conLÎnue infinie de la for
qui, pour des valeurs de x suffisamment petites, est convergente
et représente la fonction f{x), on voit facilement que la m'^°"
réduite est égale au quotient — de deux fonctions entières /»,„ et
qm, toutes deux de degré n lorsque m =: 2« + i et de degrés n et
Il — I lorsque m^= in. La différence entre la réduite et la fonc-
tion /{:c), lorsque x est infiniment petit, est infiniment petite
de l'ordre m. Mais, pour que cela ait Jieu, autant de conditions
doivent être satisfaites qu'il est renfermé de quantités arbitraires
dans la fonction fractionnaire égale à la réduite.
(') La rédaction de ce MiSmoire, dont l'origine remoiileaii mois d'octoljre iSfiS,
est due à M. H.-A. Schwarz. — ( Wsber et Dedekind. )
Les § I et II sont en italien. Le commencement du g III est encore en italien,
sauf tes additions de M, Sclmarz, entre crochets, qui sont en alJemand; ensaitc,
à partir de la remarque de M. Schwarz, p. 3^3, ligne sg, le texte est allemand et,
comme auparavant, tout ce qui est entre crochets est dû A cet illustre Géomètre.
-(L,L.)
y Google
3yO TROISIItJIE PARTIlî. — FLIAGMENTS POSTHUMES.
Par conséquent, la ni"'""' réduite peut cire déterminée au mojen
de la condliion qu'elle coïncide avec la fonction en les m pre-
miers termes du développement suivant les puissances de X en te-
nant compte des degrés du numérateur et du dénominateur, qui
sont tous deux égaux à n pour /» = 2«-4-i , et égaux k n eln — i
pour m :^= an,
§n.
Celte manière de déterminer la réduite conduit immédiatement
à l'expression de la réduite, lorsqu'il s'agit de développer le quo-
tient de deux séries hypergéoméiriques
'U.'7l'h
Q,
oii l'on fera usage des propriétés caractéristiques exposées dans le
Mémoire : Contribution à la théorie des fonctions représen-
tables par la série de Gaiiss F{a, p, y, x), page 6i ,
En efTet, puisque, pour X infiniment petit, q — ~ devient in-
finiment petit de l'ordre m et Qjn, infiniment petit de l'ordre a,
l'expression JtoP — /?„ Q devient infiniment petite de l'ordre m+ a,
et l'on démontre aisément que celle expression possède toutes les
propriétés caractéristiques d'une fonction développablc en série
hjpergéométriquc, en sorte que l'on a
où P„, Q,i désignent ce que deviennent P et Q quand on rem-
place K, Ï-' para + //,a' — /(. Or, si nous faisons varier d'une
y Google
DÉVELOPPE M EN'T DL" QUOTIE^T IIE DEUX SÉlilES nïPERGtoaÉTRIQIES. 87 [
manière continue x et les fonctions de x de telle sorte que l'affisc
de la valeur complexe x décrit un circuit entourani l'affîxe de i,
p»i et gai reprendront les mêmes valeurs, et P, Q, P„, Q, se
transformeront en d'autres branches de ces fonctions.
Par conséquent, si nous désiijnons par P', Q', P^,, Q^^ les autres
branches correspondantes de ces fonctions, nous avons aussi
Des équations (i) et (a) l'on tire
Pî„,' _ PP;,M -P'P,,-^,
^;:r7 " QP'„;,-"QT:;;i'
P,^ _ pq;,-P'q„
'/:. " qq;,-q'q..
Par suite, pour trouver les valeurs de x pour lesquelles — et
~"^' convergent vers TT- il suffit de rechercher en quels cas ~
et ~ convergent vers zéro, pour n croissant indéfiniment.
[§ ni.]
A cet effet, il convient d'introduire les espressions de P„ et Qh
par des intégrales définies. Posant
on peut exprimer P„ par
[^»i*'. 1 1 - » )T y <" "' ( c - . )" ™ ( I - ». )'- ,1, ]
et Q„ par
Pour avoir k valeur générale des fonctions P„, Q„ on aurait
y Google
TROISlfiMK PARTiE. — FIIAGIIENTS POSTIII
besoin de mukiplicr les intégrales par des facteurs constants,
mais nous pouvons substituer les intégrales dans les équations (i)
en comprenant les facteurs constants dans les fonctions entières
pmi (Jm- Quant aux valeurs des fonctions sous le signe d'intégra-
tion, les valeurs tjue l'on prendra sont indifférentes, pourvu que
dans chaque intégrale l'on prenne pour s", (i ^5)*, (i — ^r^)'' les
[Maintenant les expressions pour — restent encore inaltérées
lorsque l'on remplace P', Q', P^,, Q^, par les mêmes combinaisons
linéaires de ces grandeurs et des grandeurs P, Q, P„, Q„ :
AP + RP', aq-hbq', ap„ + bp„, aQ;, + bq;^,
où A et B désigiient deux constantes, la constante B n'étant ja-
mais nulle. On obtient de telles fonctions correspondantes, lorsque
les précédentes intégrales, au lieu d'être prises de o à 1, le sont
depuis une quelconque des quatre valeurs o, 1 , -? os jusqu'à une
quelconque de ces quatre valeurs, etcela toutes étant prises le long
du même chemin.]
Par suite, nous pouvons prendre pour P^,, Q^^ ces intégrales
prises l'une après l'autre autour de - ■
Les intégrales [par lesquelles, en vertu de ce qui précède, sont
exprimés ?„, Q„, Pî,, Q^^, ne cliangent pas de valeur lorsque le
chemin d'intégration varie d'une manière continue entre les limites
indiquées], puisque le chemin d'inlégralion ne dépasse pasl'affise
de -; et nous pouvons disposer du chemin d'intégration, de telle
sorte que l'on puisse trouver plus facilement la limite vers laquelle
converge la valeur de l'intéftrale, pour n croissant.
A cet effet
[Ici s'arrête le texte de Riemann; mais, à l'aide de quelques
figures et formules employées par Riemann, on peut reproduire
les conclusions peut-être de la manière suivante :
Posons]
y Google
DÉVELOPPEMENT Dl! Ql-OTIENT UK IIEL'X SÉKIES HÏPEnfiÉOMÉTRlQUES. 373
[et considérons dans le plan de la grandeur complexe s les courbes
le long desquelles le module de «/'" a une valeur constante. Pour
de très petites valeurs de ce module, ces courbes enlourent les
points o et I, à peu près comme le feraient des cercles concen-
triques de rayons assez petits. Pour de très grandes valeurs du mo-
dule, ces courbes entourent le point s =^ — el le point j = ce.
Dans les deux cas, les courbes sont donc formées de deux por-
tions séparées. Si l'on fait croître le module en parlant des petites
valeurs, les portions séparées qui entourent les points o et i et
qui correspondent à la même valeur du module se rapprochent
toujours l'une de l'autre de plus en plus jusqu'à ce qu'elles ne
forment plus qu'une seule courbe qui possède un point double.
Pour ce point double, /'(i) doit être égale à zéro. La considéra-
tion pareille a lieu lorsque, partant de très grandes valeurs, on
fait décroître le module en question.
On obtient les équations suivantes :]
/(ï) = log(i^.>-log(] œj.
[Pour/'(s) = o on a, par conséquent]
[Maintenant on désignera par y/i — x celte valeur du radical
carre dont la partie réelle est positive, en excluant de nos consi-
dérations le cas où X est réel et ^ 1 . Ensuite, on pourra désigner
par ff, «■' les deux racines de l'équation quadratique
où
de telle sorte que le module de* est plus petit (\aG\c module
y Google
. — FHAGaE.NTS rOSTElL'MES.
e/!"'
<.-;^^-
CoBCevons maintenanl que le point 5^0 soit joint au point
5^1 par une ligne passant par le point j =^ a- et telle que, en
cheminant le long de cette ligne, le module de e/'" croisse conli-
nuellemenl sur le chemin conduisant de s = o jusqu'à j ^ t, tan-
dis que sur le chemin conduisant de s ^=:t jusqu'à s^ i ce module
décroisse continuellement. Une telle ligne peut servir de chemin
d'intégration pour les intégrales prises de s=; o jusqu'à s :^ i, in-
tégrales au moyen desquelles sont exprimées les fonctions P„, Q„.
D'autre part, pour ces intégrales qui peuvent remplacer les
fonctions P^,, Q^,, on peut employer un chemin d'intégration qui
conduit d'abord du point s=; i jusqu'au point j^ j', elqui rejoint
ensuite le point 5^1 en tournant autour du point5^= -■ Ce che-
min d'inlégration peut être choisi de telle sorte que le module de
e/"' atteigne son maximum sur cette ligne seulement au point
Dans \esjlg. i3 et 14, dont
Riemann même, les chemins d'i
lignes ponctuées.
Lvé l'esqTîisse faite |
1 sont indiqués par
^il alors de trouver maintenant une expression qui doni
réscntation asjmptollque de la valeur de l'inlégrale
/ ■'"
y Google
DÉVELOPPEMENT DU QUOTIEHT DE DEUX SÉRIES HYPERGÉOMÉTIIIQLES, SjJ
pour les valeurs infiniment grandes de n. On posera
pour n =: oc.
Ces portions du chemin d'intégralion, qui ne sont pas situées
dans le voisinage de la valeiir singulière s = a-, apportent à la
valeur de l'intégrale une conlribuLÎon qui, pour les valeurs infini-
ment grandes de n, est non seulement infiniment petite, mais en-
core (puisque la partie réelle de n{f{^) —/(*)]. sois les hypo-
thèses en question, croît au delà de toute mesure) est infiniment
petite par rapport à cette partie de l'intégrale qui est relative à
une portion du chemin d'intégralion, située dans le voisinage de
la valeur 5 — s-. De là résulte que pour trouver une expression
asjmplotique de l'intégrale en question, valable pour lim n = oc,
il suffit de restreindre la sommation à une portion du chemin
d'intégration, située dans le voisinage de la valeur s =:^ t.
Posons donc, h désignant une grandeur, dont le module ne
peut prendre que de petites valeurs, ]
\/-'^^
V
\/'-'^""^-'¥
[Mainteiiani, si l'on suppose que la portion du chemin d'inté-
gration, située dans le voisinage du point s ■= 7, est rectiligne, et
y Google
376 IR0I9I&BE PAilTIE. — FHAGMENTS POSTHLMES.
cela de telle sorte que l'angle droit, fonné par les deux laiigeiites
à la courbe
mod. e/i^' — iiioiJ. e/!"'
au point s:=5', est partagé par moitié pat- ledit chemin, alors,
pour lim /i ^ ce, les limites de l'intégration relative à la variable 3
suite, la contribution qu'apportent à la valeur de l'intégrale con-
sidérée les éléments de celle-ci qui sont situés dans le voisinage
de la valeur s =^ t, est, pour de très grandes valeurs de n, asym-
ptotiquerncBl égale à
e'.fM^(^)
.,-,•■ dz-^ / _;__ ^
v/^^'-" "V-^'-^''^
Maintenant, on a
?(•)='"*'■■'('-■■■)"■ ^-
Par conséijuent, la valeur asymptoiique de
est égale ,'i
Par un raisonnement analogue, on trouvera que la valeu
asymptotique de
Sous les hypothèses assignées, on obtient par conséquent, pour
le quotient P„: P^,, la valeur asymptotique : ]
(le^)"^"^'"-
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DÉVELOPPEMENT DU QUOTIENT DR DEUX SÉRIES HVPERGfO M ÉTRIQUÉS. 877
[Pour toutes Jes valeurs de x, à l'exception de celles qui sont
réelles et plus grandes que t , et de même à l'exception de la va-
leiir X ^= I, le quotient P„;PJj converge vers :fyro pour n crois-
sant indéfiniment.
Lorsque l'on change « en « + [ , on trouve qu'il en csl de même
do quotient Qnl Qj,-
On a donc ainsi démontre que les réduites de la fraction con-
développé
linire
:, (lel
. form
e donnée au
§Uo,
Ls laquelle peut et
le,„
t
""(..1
OOllï
ergeD
t vers
la valeur (le
ce quoi
tient, quand l'indi
saiit,
noui
■ toiue
5 les valeur:
i (le x
qui ne sont pas
même leni
ips î I .
1
y Google
L'ÉQUILIBRE DE L'ÉLECTRICITÉ
CYLINDRES A SECTION TRANSVERSE CIRCULAIRli
ET DONT LES AXES SONT PARALLIiLES.
BEPRÉSBNIATION CONFORME SI FIGURES DONT LES GONTOnRS
SONT DES CIRCONFÉRENCES (M.
Le problème qui consisie à delerminer la dislribuLion ou de
l'électricité statique ou de la température à l'étal permanent sur
des conducteurs cylindriques infinis à génératrices parallèles, en
admettant, dans le premier cas, que les forces distribuées et, dans
le second, que les températures des surfaces soient constantes le
long de lignes droites qui sont parallèles aus; génératrices, ce pro-
blème, dis-je, est résolu dès que l'on a trouvé une solution à la
question mathématique suivante :
Sur une surface S, plane, connexe, recouvrant simplement le
plan, niais ayant pour contour des courbes quelconques, déier-
(') Il n'existe ni pour ce llémoire, ni pour )es suivants, de manuscjits acheva
(lus à la plume de Riemann. Ces monuscrits ne consistent qu'en feuilles détachées
qui contiennent seulement quelques indications et des formules.
Le sous-titre indique mîeuï la portée générale de ce fragment que le premiei
y Google
ËQUII.IBRE DE L ËLECTRIGITË SUR BES CYLINDRES A SECTION TRANSVERSE. 079
miner une fonction u des coordonnées rectangulaires x,y, qui, à
l'intérieur de la surface S, satisfasse à l'écjuaLion différentielle
:!1" _ ^" -
et qui sur le contonr prenne des valeurs quelconques prescrites.
Ce problème peut être d'abord ramené à un autre plus simple :
On déterminera une fonction Ç = ^ + r, i de l'argument com-
plexe z = X -l-yi, qui, sur tous les contours d'encadrement de S,
soit réelle, qui, en un seul point de chacun de ces contours, soit
infiniment grande du premier ordre, mais qui partout ailleurs sur
la surface S totale reste finie et continue.
Relativement à cette fonction, on peut démontrer aisément
qu'elle prend chaque valeur quelconque réelle une seule et unique
fois sur chacun des contours, et qu'à l'intérieur de la surface Selle
prend n fois chaque valeur complexe à partie imaginaire positive,
n désignant le nombre des contours de S, lorsque l'on a fait cette
hypothèse que Ç varie de — co à + a^ quand on décrit l'un des
contours dans le sens positif.
Par l'entremise de cette fonction, l'on obtient, sur la moitié
supérieure du plan représentant la variable complexe Ç, une sur-
face T, à n feuillets, qui fournit une représentation conforme de
la surface S, et le contour de T sera formé par les lignes qui, sur
les n feuillets, coïncident avec l'axe des quantités réelles. Comme
les surfaces S et T doivent avoir même connexion, c'est-à-dire être
toutes deux n-uplement connexes, il existe, à l'intérieur de T,
lin — 2 points de ramifications simples (comparer Théorie des
Jonctions abéliennes, § VII), et notre problème est ramené au
suivant :
Trouver une fonction de l'argument complexe i^, ramifiée comme
l'est la surface T, dont la partie réelle u soit continue à l'inlérieur
de T, et qui prenne, sur les n lignes du contour, des valeurs quel-
conques prescrites.
Maintenant si l'on connaît une fonction de Ç, ni = /i -f- ig, ra-
mifiée comme l'est la surface T, qui soit logarithmiquement in-
finie en un point quelconque £ à l'intérieur de T, cl dont la partie
imaginaire, sauf au point s, soit continue sur T et nulle sur !e
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380 TimiSIÈHE l'ARTlE. — FRAGMENTS POSTOUMES.
contour de ï, alors, en verta du t)i6orèmc de Greeii {Disserta-
tion inaugurale, § X), on ji
■iT,J (Jl|
OÙ l'intégralion s'élend à toutes les lignes du contour de T.
Mais la fonction g peut être déterminée de la manière suivante.
On prolongera la surface T sur tout le plan des i^, en portant sur
le demi-plan inférieur (où Z, possède une partie imaginaire néga-
tive) l'image par réflexion du demi-plan supérieur.
On obtient ainsi une surface, recouvrant n fois tout le pliui
des !^ et possédant 4/î — 4 points de ramification simples, et qui
appartient, par suite, à une classe de fonctions algébriques pour
lesquelles le nombre /) est ^ « — i {Théorie des fonctions abé-
lienne.s, § VII et XII).
Maintenant la fonction ig est la partie imaginaire d'une inté-
grale de troisième espèce, dont les points de discontinuité sont
situés au point e et en son conjugué s', et dont les modales de
périodicité sont tous réels. Une telle fonction est complètement
déterminée à une constante additive près, et notre problème est
alors résolu, si toutefois l'on parvient à trouver la fonction Ç de z.
Nous allons traiter ce dernier problème sous l'hjpotlièse sui-
vante : le contour de S est formé par «circonférences. En ce cas,
ou bien tous les cercles peuvent être situés extérieurement les
uns aux autres, et la surface S s'élend alors à l'infini entre les
cercles, ou bien un des cercles peu t renfermer tous ceux qui restent,
la surface S restant alors finie. Ces cas peuvent facilement être
ramenés l'un à l'autre au moyen de la représentation pratiquée par
l'eiîtremise de rayons vecteurs réciproques.
Si la fonction (^ de 3 est déterminée sur S, elle peut être pro-
longée d'une manière continue au delà du contour de S, en pre-
nant relativement à chaque point de S le pôle harmonique de ce
point par rapport à chacun des contours circulaires, et en attri-
buant en ce pôle à la fonction i^ sa valeur imaginaire conjuguée.
Le domaine S pour la fonction Ç sera ainsi étendu, mais son
contour sera toujours formé par des circonférences auxquelles on
peut encore appliquer le même procédé, et Ton peut répéter indé-
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ÉQUILIBRE DE l'électricité Sl'R DES CYLINDRES A SECTION THANSVERSE.
finimeiil celle opéralion qui étend de pins en plus le domaine
la fonction Ç sur toiil le plan des z.
Dans ce qui suit, pour exprimer que deux grandeurs a el
sont imaginaires conjuguées, nous emploierons la notalion
La liaison, exprimée ainsi cnlre deux grandeurs, ne cesse pas
d'avoir lieu lorsque l'on ajoute aux deux membres des grandeurs
imaginaires conjuguées, ou lorsque on multiplie ou divise ces
deux membres par des grandeurs de cette nature ; on peut aussi
extraire la racine des deux membres, en ayant soin de définir
exactement ces racines.
Soit iC=|=!^', el soient z, z' les valeurs qui correspondent aux va-
leurs i^, i^'; alors, r étant le rayon d'un des contours circulaires
de S etp la valeur de s au centre de ce cercle, on a
où a, b, c, à désignent des constantes. On en conclut
/dz ' /(II* ~ bc /dz'
V < V ''C
Par cnnséqueiil, si l'on pose
el si l'on désigne par y, y\ les valeurs que prennent y el _)■,
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383 TROISlfelIE PAHTIE, ■- FRAGME^TS l'OSTHlJJlF.S.
lorsque l'on remplace X, pai' K' "Jans ces cxprcssioEs, on obtient
(')
7--
: ".r\-^'>.r'
d'oi
\^^
(a)
h^^
J'y, ,, <*./
\[aù— hc
Mai
menai
itde
(3)
résu
ilte pa
r différt
intialion
(i)
et de même
dO •" d-Q'
En vertu de cela et des équations (i) et (.3) résulte encore
^ ' y 'd',^ ~ y, dr,'' "''y' '/;,'■' " r'i rfC '
Par conséquent, si l'on pose
d'-y
s est une fonction de i^ qui, pour des valeurs imaginaires conju-
guées de C, prend elle-même des valeurs imaginaires conjuguées,
et qui, par conséquent, ne varie pas, lorsque sur la surface Tet sur
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ÉQUILIBIIK DE l'électricité SUR DES CYLINDRES X SECTION TRANSVERSE. 383
son ppolongemenl symétrique l'on revient au point de départ en
décrivant un chemin quelconque. Par conséquent, s est une fonc-
tion algébrique de %, ramifiée comme l'est la surface T; _^ et
y, sont des solutions particulières de l'équation différentielle (7)
et z est leur quotient. Réciproquement, si l'on prend arbitraire-
ment sur T la fonction algébrique s, mais cela telle qu'en les
points conjugues elle prenne des valeurs imaginaires conjuguées
et, par conséquent, qu'elle soit réelle pour les valeurs réelles de Ç,
et, si l'on prend alors deux solutions particulièresquclconqucs de
l'équation (7), la fonction z^=— fournira une représentation con-
forme de la surface T, qui aura pour contour des circonférences.
Les constantes indéterminées qui se présentent alors devront être
déterminées par ceci : cette représentation ne doit pas admettre
à son intérieur de points singuliers et doit, par conséquent, re-
couvrir une portion du plan des z d'une manière simple, et les
contours circulaires doivent occuper des positions assignées.
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EXEMPLES
SURFACES D'AIRE MINIMA
POUR UN CONTOUR DONNÉ Ci.
Œufres de Riemann, 3° édililion, page ^^'l^-
Premier exempli:.
l'roposons-nous de déicrminer la surface d'aire i
pour contour trois droites qui se coupent en deux points, de telle
sorte que la surface ait deux sommets angulaires sur le contour et
possède un sectenr qui s'étend à l'infini.
Soient aTt, pTt, Y^t les angles que forment entre elles les trois
droites. "La surface cliercliée aura pour représentation sur la sphère
un triangle sphérique dont les angles sont air, '^n, -fr., de telle
sorte que oc + ^ + y > i ■
Désignons par a, b, c les points qui, sur le plan de la variable
complexe t, correspondent aux deux sommets angulaires et au
secteur qui s'étend à l'infini (Sur/aces ininima, § XïiJ, p. Saa).
(') Pour iei)reinier de ces exemples, le résnltat a élé trouvé sous foime abrégée,
mais complète, sur une^eule feuille dans les papiers de Riemann.
Relativement au second exemple, on ne trouve guère plus que l'indication di;
la possibilité de la solution. Ainsi l'Éditeur ( M. Weber) est responsable de l'ex-
position de cet exemple. Quelques cas particuliers du dernier problème ont été
traités par M. H. -A. Schwan. {Détermination d'une surface minima particu-
lière; Berlin, i8;i). — (Weiieh et Dedekisd.)
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EXEMPLKS DE SURFACES «"AIRE M1NI.4A POL'R CN CONTOUH DO-N.NÉ. 385
On a alors
_ r const. dt
j (i — c)'Jyt-aj{t-l,)
ou
Si l'on fait, ce qui est admissible, a ^ o, ^ ^ x, ' = i , il s'en-
suit que
et la dernière consianl.e a pour valeur
[ui ne se coupent pas.
Mainleiianl si, conforméme
la plus courte entre les deux lignes
XIV du Mémoire déjà cité,
ces fonctions sont en tous les points du plan des i, hormis les
points 0,00, T, finies et uniformes, el si l'on recherche, d'après
les mélhodes du § XIV déjà cité, comment se comportent ces
fonctions dans le voisinage de ces points singuliers, on recon-
naît que ^1 et k-t sont deux branches de la fonction
il l 1 _ Ë _ T i
et pour ïi l'on doit prendre le quotient de deux branches de cette
fonction P.
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THOISIÈHK PARTIE. — FHAGMHNTS POSTHUMES
Deuxième exemple.
Supposons que la surface mininia cherchée ait pour contour
deux polygones convexes reclilignes situés dans des plans paral-
lèles, chaque poljgone ayant un contour qui ne se rencontre pas
lui-même. En ce cas, la surface sera doublement connexe, et elle
n'est transformée en une surface simplement connexe que si l'on
pratique une section transverse.
La représentation de la surface minima sur ia sphère aura pour
contour deux systèmes d'arcs de grands cercles, dont les plans sont
perpendiculaires à ceux des deux polygones du contour, arcs qui
se coupent tous, par suite, en deux points diamétralement oppo-
sés de las phère. chacun de ces deux points correspondent tous
les sommets des deux polygones de contour. Sur chaque coté des
polygones se trouve un point où la normale change de sens; ce
point correspond à l'extrémité de l'arc de cercle correspoodani.
La représentation de la surface minima recouvrira donc simple-
ment et complètement toute la sphère.
Si nous projetons la surface de la sphère sur le plan tangent
en un des points oii se réunissent les arcs de grands cercles cor-
respondant aux contours, nous obtiendrons, comme représenta-
lion de la surface minima, un morceau de surface H, qui recouvre
complètement le plan de la variable complexe r,. Le contour de H
est formé, d'une part, par un système de segments reclilignes, is-
sus de l'origine et aboutissant en certains points C), Cj, . . . , C„,
formant ainsi une étoile, et, d'autre part, par un deuxième sys-
tème de segments reclilignes issus de certains centres C',, C! ,
0^„ et aboutissant au point à l'infini, et dont les prolongements, par
suite, se rencontrent tous à l'origine {ii et m désignent respective-
ment ici les nombres des sommets des deux polygones donnés).
Celte surface doublement connexe, nous la représenterons
maintenant dans le plan d'une variable complexe ( sur une sur-
face Ti recouvrant deux fois le demi-plan supérieur, de telle sorte
qu'aux deux contours correspondent les valeurs réelles de (. Pour
que cette surface soit doublement connexe, elle doit admettre
dcusi points de ramification. Si nous adjoignons encoje à la sur-
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EXE«PLi:s DE SLRFACES d'aire aisEMA poun u.\ co\toi!R dossé. 387
fac« T) son image par reflexion relativement à l'axe des quantités
réoUcs, nous obtenons une surface T, recoiivranl deux, fois le plan
lolal de la variable (, et dont les quatre points de ramiii cation
correspondent à des valeurs imaginaires conjuguées de t.
En inlroduisant aux lieu el place de / une nouvelle variable (',
reliée à t par une équation quadratique par rapport aux deux va-
riables, nous pouvons arriver à faire correspondre les points de
ramification aux vaieiirs
/,- étant réel et <] 1 , et en oulre à faire correspondre à une valeur
réelle quelconque de t une valeur réelle donnée de t' sur l'un
des deux feuillets.
Nous devons par conséquent déterminer ; comme fonction de la
A'ariable complexe ï,, de telle sorte qu'en chaque point de la sur-
face H elle ait une valeur déterminée, variant d'une manière con-
tinue avec la position, valeur réelle sur les deux contours de H,
et, en un point de chacun des deux contours, devenant infinie du
premier ordre. Si l'on prolonge cette fonction au delà du contour
en lui attribuant en des points symétriques, de part et d'autre des
deux côtés de chaque ligne de contour, des valeurs imaginaires
conjuguées, alors, comme c'est facile à reconnaître, la fonction
— -2i^ pour des valeurs imaginaires conjuguées de t admettra elle-
même des valeurs imaginaires conjuguées. Elle est, par consé-
quent, uniforme sur toute la surface T et continue, sauf en des
points isolés; elle doit être par suite une fonction rationnelle dei
ei de
Désignons les valeurs réelles de t qui correspondent aux points
CCa, .--iC,; C,,C;, ..., C'^ par c,,c., ..., c„; c',, c',, ...,
c^, et les valeurs également réelles correspondant aux sommets
angulaires de la surface H, qui se réunissent respectivement à
l'origine el au point à l'infini, par ii,, b^^ . ..,h,i; b\, b'^, . .. , b'^^;
alors — -T~- doit devenir infiniment petit du premier ordre pour
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TBOISIÈMR PARI
expression où -f désigne une fonction rationnelle de ( et de A(()i
qui devient infinimenl petite aux points C, c', infiniment grande
aux points b, b', et qui est ainsi parfaitement déterminée à un fac-
teur constant réel près. D'ailleurs, pour qu'nne telle fonction w
existe, entre les points c, c', b, b' doit exister nne équation de
condition en vertu de laquelle un de ces points est déterminé par
tous ceux qui restent { Théorie des fonctions abéliennes, § VIII,
p. 124). Outre cela, d'après la remarque précédente, l'un quel-
conque des points c, c' , b, 6' peut être pris arbitrairement. La
constante additive, relative à logr,, est déterminée lorsque la va-
leur de ■/; correspondant à l'un des points ces t donnée; désignons-
la par ■/lo", nous obtenons ainsi
.o.,...r
ilte équation, après que Ton a
\--iiii constantes indclerminée;
prises parmi les valeurs c;, c', b, b' , le module A", et un facteur
réel constant de ^ .
Relativement à ces constantes, nous avons d'abord deux condi-
tions qui énoncent que la partie réelle de l'inlégrale
/;
?i '.i»'i-<'
y Google
eXEUPLES DE SURFACES D'aIKË MINDIA POUR LN" CONTOUB DONNÉ. SSg
prise le long d'un cliemin fermé entourant les deux points tle
lamificallon (, r' doit s'évanouir, cl que la partie imaginaire de
cette intégrale doit avoir pour valeur -iT.i. Pour les in -A- im — -2
constantes restantes, on a ce même nombre a« + 2»? — 2 de
conditions; ce sont celles qui exigent qu'aux points t', (^'corres-
pondent les poinls donnés C, C sur le plan des r,.
Supposons maintenant que l'axe des x soit perpendiculaire aux
plans des deux polygones de contour, et proposons-nous d'opérer
la représentation de la surface mininia sur le plan de la variable
complexe X, apr<';s avoir transformé ce plan en un plan simple-
ment connexe à l'aide d'une section partant de l'un des contours
pour aboutir à l'autre. La partie réelle de X est alors constante
sur chacun des deux contours et le long de chaque section de la
surface qui leur est parallèle. La partie imaginaire, lorsque l'on
décrit une telle section, éprouve un accroissement continu et
varie en totalité d'une grandeur constante.
Il s'ensuit que la représentation de notre surface sur le plan
des X a pour contour un parallélogramme qui recouvre simple-
ment le plan et dont les deux côtés qui correspondent au contour
de la surface sont parallèles à l'axe des imaginaires. Les deux
autres côtés qui correspondent aux deux Lords de la section trans-
verse peuvent, il est vrai, être curvilignes; mais ils viennent se
superposer, par l'effet d'une déformaiion, parallèlement ù ra\e
des imaginaires.
Ce parallélogramme doit pouvoir être représenté sur la moitié
supérieure ï, de la surface T, de telle façon que les deux côtés
parallèles à l'axe des imaginaires correspondent aux deux contours
de T, , et les deux autres côtés aux deux bords d'une section
transverse deT,. Une telle représentation sera donc opérée par
l'entremise de la fonction
C f-.-=JL^
^^ -i- G',
où la constante C est réelle, et où C peut être prise quelconque
lorsque l'on dispose à cet effet de la position de l'origine sur l'axe
des :r.
Soit /( la distance entre eux des deux plans parallèles où sont
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SgO TBOlSlIiME PART1K. — FRAGMENTS POSTHUMES.
situés les contours primitifs; on aura
ce qui détermine ia constante C.
Le problème, abstraction faite de la détermination des con-
stantes, est donc résolu. On a, en effet, d'après les formules du
§ IX du Mémoire Sur les Sur/aces minima, p. 317,
-U-'^h
ce qui donne la représentation des coordonnées x,y, z de la sur-
face minima comme fondions de deux variables indépendantes.
Quant aux constanles qui se présentent en r,, l'on obtient en-
core deux conditions qui énoncent que les parties réelles des
deux intégrales qui expriment Y et Z, prises sur le plan des v, le
long d'une courbe fermée entourant l'orrgine, doivent avoir pour
valeur zéro.
Si l'on suppose données h et les directions des droites du con-
tour, nos expressions, abstraction faite des constantes addriives
dans X, y, Z, dépendent de ii-\-in — 2 constantes indéterminées,
pour lesquelles on peut prendre les distances à l'origine des points
C, C sur le plan des ï,, distances entre lesquelles, comme il a
été déjà remarqué, il existe deux relations. Mais le nombre de
constantes qui déterminent la situation relative des deux contours
polygonaux est aussi égal précisément £1 H + ni— a. On peut,
en effet, en fixant, pour déterminer l'origine des coordonnées,
deux côtés des polygones, faire éprouver encore à chacun des
n-\-in — 2 côtés qui restent un déplacement parallèle dans leurs
plans.
Les résultats prennent une forme plus simple lorsque l'on sup-
pose qu'il existe une certaine sjmétric dans les rapports mutuels
des contours polygonaux. Dans ce qui suit, nous traiterons le cas
où les deux polygones sont réguliers et sont les bases parallèles
d'une pyramide droite tronquée.
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CONtOUH
DONNÉ.
39,
sens son
t alors
ton?
; sont alo
rs, par
con-
Jans un
m^me
plan
SURFACES D ilnE MIM>1A POUU UN
Les points où les normales ciianjent de
situés au milieu des droites de contour et elles
séquent, situées respectivement par paires <
passant par l'axe de la pyramide.
Prenons l'axe desy perpendiculaire à l'une des droites de con-
tour; alors sur le plan des ïj un point C et un point C seront si-
tués sur l'axe réel à des distances à l'origine que l'on peut dési-
gner par Tjn et r^^. Les points C et C sont situés respectivement
sur deux circonférences concentriques sur lesquelles ils repré-
sentent respectivement les sommets de deux polygones réguliers,
de telle sorte qu'un point G et son correspondant C sont toujours
situés sur le même rajon vecteur.
Maintenant, puisque, sur le contour de la surface T, un point
peut être pris quelconque, on peut supposer qu'au point C situé
sur l'axe réel corresponde le point t^=o sur l'un des deux feuillels
de T. 11 s'ensuit, pour des raisons de symétrie, que la partie de
l'axe réel sur le plan des r,, comprise entre C et C, correspond
sur Ta une ligne partant du point t^o sur le premier feuillet pour
aboutir en l = i, et de là revenant sur le second feuillet au point
i^olelongde l'axe imaginaire. Alors la fonction »[(, i(i)],
pour des valeurs imaginaires pures de t, possède elle-même des
valeurs imaginaires pures, et au point C correspond la valeur
; ;= o sur le second fenillel .
Maintenant la surface H, par l'entremise de la substitution
T|V^ ïloVoî 6Sl transformée en une surface H', représentation
congruente de la figure II, de telle sorte que les points C sont
transformés en les points C et inversement (l'ordre de la suc-
cession seul changé). On voit alors que, aux deux points de la
surface H, '1 et ■(■/ ^ -^-—) correspondent des points superposés
sur les deux feuillets de la surface T. Or, puisque l'on a
la fonction ï)[(, A(')] doit avoir la même valeur en les |)olnls super-
posés sur les deux feuillets et, par conséquent, elle estcsprimabic
rationnellement en i, et, d'après une remarque déjà faite, est de
forme ''!'{(*), 'Jj désignant une fonction rationnelle.
Cela nous conduit à opérer la représentation de la surface T sur
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'i<)% TROISIÈME l'AllTIE. — FRAGHEMS POSriiUJ
une surface S par l'enlreniise de la substitution
de cette façon la moitié snpérieure de la surface T correspond à un
feuillet qui recouvre simplement le plan des i, et qui est fendu le
long de l'axe réel par des sections pratiquées entre les points
s ^ [ et s^ .■ et entre les points 5^—1 etj:=^-r- Les bords
de ces deux fentes correspondent au;< contours de la surface H.
On olitient ainsi ponr X l'espression
X^-'^ f- -^' ,
4Kj ^/(r-.T,-(,— /,ï7m
K désignant l'intégi
.'„ l/(",-.')(l.->s!)
tandis qu'en même temps ■/] peut être exprimée con
algébrique de s.
Pour un contour formé par des carrés, on trouve
V^
aux sommets du carré d'un contour correspondent sur les deux
bords de la fente les points 5 = — , s = —,; aux points on les nor-
males changent de sens correspondent les points s = 1 , s ~- j_ et
un point x ^ - situé sur les deux bords de la fente, point que l'on
doit déterminer à l'aide de l'équation
( ' ) Lea considérations précédentes peuvent s'étendre k beaucoup de cas où
deux polygone; ne sont pas réguliers. L'expression précédente pour r, reste ■
lable, par exemple, pour un contuur furmé par dcu\ rectangles, dont les ccnti
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E SURFACES d'AIBB MINIUA pour tin CONTOUR DONKÉ. 3q3
Pour des contours l'ormés par des triangles dont les côlés sont
égaux, on nLlicnl
pour étudier, dans ce dernier eas, îa possibilité de la détermina-
lion des constantes, on posera d'abord
d'où l'on lire
el, par conséquent,
et, dans ie cas particulier où les deux triangles sont des figures
congru en les,
Au\. sommets du triangle formé par l'un des contours corres-
pondent les points s ^ — sur les deux bords de la fente, el lo
point -y, en sorte qu'on doit avoir
Le premier point où la normale change de sens se trou\e en s ^ i ;
les deux autres correspondent à un point s -- - sur les deux bords
de la fente, en sorte que l'on doit avoir
A<» -m.
Pour n l'on obtient d'abord, à l'aide de i'équalion
<^'og^ _
ds " '
sont situéa sur une ligne perpendiculaire à leurs plans, si l'on adopte l'hypothèse
(|ue le module de ii-i\' possède la même valeur au\ points oii les normales changent
de sens. C'est ce qui a lieu, par exemple, lorsqne les deux rectangles sont con-
gruenls. - (H.Webeh.)
yGoosle
394 l'IlOISIÈ.lIK PARTIE. — FRAGHEMS POSTRUSinS.
la de le i-mi nation
d'où résulte cjiie, pour chaque système de valeurs de /,■, m. satis-
faisant à la condition
il se présente une valeur de ii comprise entre /i et m.
Mais on obtient encore entre m, n, /,' une deuxième équatioi)
qui exprime que, pour s — : - , l'on doit avoir 'Ci^ _= 7^'^. C'est I <;-
quation suivante
et, lorsqu'on élimine n entre ces deux, équations, l'on obtient ia
relation suivante entre /.■ et m
au mojcn de laquelle on devra déterminer /,■ en fonction de di.
Pour /,■ — - o, Je premier membre de cette équation s'annule el
le second est égal à — ; pour /f ^ m la différence entre le premier
et le second membre est
et elle est, pap conséquent, positive pour /« < ] . 11 existe donc,
pour chaque valeur de m qui est plus petite que i, un nombre
impair de valeurs de /{ <; m. Ensuite, comme l'on reconnaît aîst'-
ment que la fonction
n'admet qu'un seul maximum entre /; ;= o et /c -.- m, il s'ensuit
que, pour chaque valeur m < i , l'on peut trouver une, et seule-
ment une, valeur de k satisfaisant à nos conditions, et, pur suite
aussi, l'on n'obtient do mêmequ'H/!e valeur correspondante de /(.
y Google
EXEMPLES DE sijhfai:e5 d'aire MiNiii.i pouK IN contol'h donsù, 3g>
Pour les deux limite'*
Quant aux fonctions X, Y, /,, l'on trouve, par suite, lorsque
l'on a dispose des constantes addilives, les expressions
x„ A r' ^ ■••
Y_ AT' i (^.-'-'].
Z---i^ f ''• (r ■ ']
81t./, ,/j,-ir7i)T?^r7..,,.) V -ni
Les deux constantes qui restent encore, m et \/ï1oVo, seront dé-
terminées par les longueurs données des côtés des triangles. Dé-
signons celles-ci par a el /); on obtiendra alors
Dans le cas particulier a^^ b, l'on a
el il ne reste qu'une seule equntion transeendanlc, pour détermi-
ner la constante m,
Lorsque, dans l'expression au second membre, l'on fart variera
de o ù I, cette expression conserve des valeurs positives, mais de-
vient infiniment grande aux deux limites de cet intervalle. Elle
doit donc, pour w\\<:^ valeur intermédiaire de h;, posséder un mini-
y Google
Sgô thoisièhk rARTir. ■— FniCHKMS postkumks.
mum. On en conclut, ]iar suile, qu'il exlsLe pour le rapport t une
limite inférieure en deçà de laquelle le problème n'admet plus de
solution, tandis que, pour chaque valeur de j ;ni delà de cette
limite, il existe deux valeurs de m et, par conséquent, deux solu-
tions du problème. On doit présumer que c'est seulement à la
plus petite des deux valeurs de m que correspond un minimum
effectif de l'aire de la surfacr.
y Google
FRAGMENTS SUR LES CAS LIMITES
FONCTIONS MODULAIRES ELLIPTIQUES.
olre XXVIII, page 4:>1
Gomme ces fragments sont écrits en latin, il a par» superflu de les ir»-
doire. Ils consistent du reste surtout en formules.
Au contraire, il a semblé indispensable de traduire le Commentaire de
M. Dedekind, Mémoire fondamental sur cette question.
Les éclaircissements relatifs à ce fragment ont été rédigés â<-
nouveau par M. Dedekind, et, sous cette forme complètement neuve,
facilitent davantage l'accès aux formules de Riemanti. ;> (Préface do
M. Weber, Œuvres de Riemann, a' édil., p. vu.)
COMMENTAIRE RELATIF AUX FRAGMENTS XXVIII
PAR R. Dedekisd.
{■>• édition, page 467-1
LMpoqiie où a été compose le premier des deux fragments
(septembre iSôa) rend très probable que Riemann, à l'occasion
d(i Mémoire Sur les fonctions Irigonométriques (p. 2^5-279),
cherchait alors des exemples de fonctions admettant une infi-
nité de discontinuités dans chaque inlervaile; peut-être aussi le
second fragment, qui se trouve écrit sur une feuille de papier à
peine lisible, devait-il servir au même but. La méthode dont
Riemann fait usage ici, pour déterminer la manière dont les fonc-
y Google
3qB troisième partie. — fràgmestj
lions modiiiairca qui se prcsenLenl dans la ihéoric des fonclioii;
elliptiques se comporlent dans le cas où le rapport complexe de;
périodes
(,)
tend vers «ne valeur rationnelle, Iburnit égalerneiil une appli-
calion très intéressante relative à la théorie dite des formes en
nombre infini des fonettons tliéta, à savoir : la détermination des
constantes qui se présentent dans la transformation du premier
ordre, qui a été ramenée, comme l'on sait, par Jacobi et Hermite
aux sommes de Gauss et, par conséquent, à la théorie des résidus
quadratiques.
L'exposé de cette corrélation forme l'oLjel du commentaire
Le point central de la théorie de ces fonctions modulaires,
théorie que l'on peut aussi édifier indépendamment des fonctions
elliptiques, et qui, depuis la publication delà première édition des
Couvres de Riemann, a fait l'objet de nombreuses recherches,
ce point, dis-je, est en un certain sens formé par la fonction
où l'on a posé, pour abréger,
cl ofi le signe produit s'étend à tous les nombres naturels v.
Comme celte fonction de la variable complexe lù^ x H-^i, l'or-
donnée y étant toujours positive ne devient jamais à l'intérieur
du domaine simplement connexe ainsi limité ni nulle ni infi-
niment grande, toutes les puissances de ïi(w) à exposants quel-
conques et, de même, ]ogïi() sont aussi des fonctions de w
toujours uniformes, pourvu que leur valeur ait été fixée en un cer-
tain point détermine. La fonction logr,(io) devra être définie par
y Google
CAS LIMIIKS DES FONCTIONS MODULAIRES ELLirr[QUES. JQQ
ce fait que, lorsque y croîl nu deJà de toutes limites et que pai'
conséquent q s'évanouit, l'on doit avoir
alors logy,(w) est eonjiigué avec logïi(— w'), m' désignant ici,
comme partout dans la suite, la grandeur conjuguée de w.
Maintenant on sa'ii {Fit ndamenta nos'a, § 36) que
'■'„:!4w.""
" fy^,
et que, par conséquent, d'après la convention précédente,
! log ^ - - 1^ -H.i logr, (1^^ V-.î logM^o).
les logarithmes des premiers membres (comme dans les Fiui-
dainenta nova, § iO) étant définis comme fonctions uniformes
de w, telles que les trois grandeurs
logi(-"-log4 — '^' =108^ — 1084/?, log/,' ei Ing =r-
devienncnl infiniment petites avec q.
De cette manière de se eomporler des fonctions l'on conclut
maintenuul, à l'aide de la transformation du premier ordre des
y Google
/,O0 TROISIÈME i'AHTIE. — FR\GMOTS POSTHUMES.
fonctions tlièla, leur mode d'csi.'tence éludié par Riemann, dans
le cas où w tend vers une valeur réelle rationnelle, ce qui fait en
même temps tendre )-: -^ ,
yGoosle
CAS LIHITK8 I>ES FOXCTIOKS MODULAIRES ELLIPTIQUES. l\0\
011, plus généralRineol, en désignant par h un nomlire enli'er ([uel-
conque,
(9) loj;r,(»-^to)^logvi((.)+ "y.
Mais, si ^ esl différent de zéro, la grandeur [i ^ — (a -;- ^w)-
n'est jamais négative, et, par siiile, l'on pent définir logjx d'une
manière uniforme de telle sorte que la partie imaginaire reste
toujours comprise entre iiii, et que, par suite, à des valeurs con-
juguées de [i correspondent aussi des valeurs conjuguées de log;/;
alors, en verlu de {7), on a
l'expression (a, ^, y, S) désignant un nombre entier complète-
ment déterminé par a, [3, y. 5, et qui reste invariable lorsque
ces quatre nombres sont mnllipliés par { — i). La détermination
complète de ce nombre donne évidemment des résultats encore
plus détaillés que celle de la racine Imitième précitée de l'unité;
c'est ce qui va faire essenticlleiocnl l'objet des recherches sui-
vantes.
Kn premier lieu, (a, '^, y, S) peut se ramener à un nombre qui
ne dépend que de a, p. En effet, si les nombres y'. S' satisfont éga-
lement à la condition œo' — fly'=: 1, on sait alors que y'=:y+/(a,
3' ^^ H- « Jâ, Il désignant un nombre entier quelconque ; par suite
on a, d'après (9),
d'où l'on conclut, en vertu de (10), que
ne dépend que des deux nombres a, ^; on peut donc poser
cl, par conséquent, aussi
y Google
4oy TROISIÈME PARTIE. ~ FRAUMENTS POSTHOMES.
expression où 2(a, fl) et, comme on le verra plus loin, (a, p) aussi
désigne un nombre entier, qui ne dépend absolument que des
deux nombres premiers entre eus a et p; on obtient en même
lemps
Maintenant, si Ton remplace tous les termes de Tcqualion (la)
par les grandeurs conjuguées correspondantes, on oblicnl alors,
d'après les précédentes remarques,
log^(-;-^|^) -loj;.i(--f + ?S) : " 3a5,
oii les signes — doivent être choisis de telle sorte que ± a^ soit
égal à la valeur absolue de a^; ainsi le nombre (a, ^, y, 3), 'qui
entrait pour la première fois en (10), se présente de nouveau en-
core sous forme d'un nombre entier.
Maintenant, il est clair que les deux théon'imos (18) et (nj)
non seuiemeol renferment les propriétés définies parles formules
précédentes (i3)-(i6), mais encore suffisent à déterminer com-
plètement en chaque cas la valeur du symbole (a, p) par un déve-
loppement en fraction continue, et cela comme nombre, entier.
Ce résultat découle déjà du théorème
théorème que l'on lire facilement de (18) et (19); réciproque-
ment, il est clair que ce théorème (21) joint S (18), c'est-à-dire à
renferme également la déterriiiiialioii complète du symbole {3, fj)
et fournit pour une table une méthode de calcul très commode.
Il est enfin très utile au but envisagé d'attribuer au symbole (a, ^)
un sens déterminé, aussi dans le cas où les nombres entiers a, 3
y Google
4o(j TROISIÈME PARTIE. ^ FRAÛHENTS POSTHUMES.
ne sont pus premiers entre eus, mais ont un plus grand commun
diviseur quelconque (positif) p. Nous poserons, en ce cas,
„3) (.,p,.,(?,|),
parce qu'alors les deux lliéorèmes J^ai), (22) ont évidemment lien
sans changement, tandis que d'autre part, dans la proposition {19),
on n'a qu'à remplacer simplement le premier terme 1 du second
membre par^-; maintenant les denx théorèmes (21), (aa) ren-
ferment déjà, sans aucune nécessité d'appeler (aS) à notre aide,
la détermination complète de (ît, P), et ils sont même valables en-
core au cas a = p = o, lorsque l'on pose
(M) (o, 0) = 0.
A ['aide de cette extension du symbole (a, p) on peut sou-
vent réunir en un unique énoncé des propositions qui autrement
devraient faire l'objet d'une subdivision en cas différents [com-
parer les tliéoi-èmes exprimés par {28), (34)].
Bien que le sj-mbole (a, p) soit maintenant complèiemeni dé-
terminé parles propriétés {2 1), (22) pour chaque paire de nombres
entiers rationnels œ, p, il serait cependant difficile d'en déduire
une expression générale pour le symbole. Mais, à l'aide de la mé-
thode appliquée par Riemann dans le second fragment, on arrive
à représenter une telle expression sous forme d'une somme finie.
Cotte méthode consiste en la recherche de la manière dont se
comportenlles fonctions modulaires lorsque ti)==:j:'-i-jf'i tend vers
une fraction rationnelle mise sous forme irréductible —0- ■ Cette
P
approximation indéfinie a-t-elle lieu de telle sorte que «-4-^.r est
infiniment petit d'ordre supérieur à \jy, alors l'ordonnée de la
grandeur, qui se présente dans le théorème {12),
y Google
ILLAIIIES ELLIPTIQUES.
Si, en vue de se rapprocher davantage des notations de Riemann,
on remplace x, p par ^m, 7i, l'on peut énoncer ce théorème
ainsi ; SI la variable m^^h-jkî tend vers la fraction irréductible
in'.n, de (elle sorte que iix ^ m soit infiniment petit d'ordre
supérieur à \/^, on aura en lin de compte
Maintenant, si l'on soiimet l'approximation à la condition plus
rigoureuse que nx — m soit infiniment petit d'ordre supérieur
;i y^, alors les parties imaginaires des second et troisième termes
du premier membre s'évanouissent simultanément, et, par suite,
l'on obtient par soustraction des grandeurs conjuguées le théorème
d'approximation
(■if>) logr,(o.)- Iûgï,(-a,') = ^1^1^^^ T.i,
théorème qui, par suite de l'extension donnée précédemment au
symbole {m, n), est encore valable lorsque les deux nombres en-
tiers m, n ont un diviseur commun quelconque.
Avant d'employer ces résultats à la résolution de notre pro-
blème, remarquons d'abord ce qui suit : Soient a, d des nombres
entiers positifs et c un nombre entier quelconque ; si l'approxima-
tion suivant laquelle u tend vers sa valeur limite rationnelle satisfait
à la dernière condition plus rigoureuse, il en eslencoreévidemment
de même de i'apprr
tend vers la valeur ^ —, et l'on
même temps que (26), l'approximati
Maintenant, lorsque p est un nombre premier^ nous avons le
théorème suivant, que l'on déduit aisément de la transformation
y Google
4o6 TROISIÈME rAliriE, — FIlAiillliMTS POSTHUMES.
du p''"'" ordre ou de l'expression (a),
où dans la somme s doit prendre successivement les p valeurs o,
1 , a, ...,(/? ^ t). Si de cette expression l'on retranche l'équa-
tion qui a lieu lorsque l'on passe aux grandeurs conjuguées, i'on
obtient, en passant aux limites, le théorème
(■...M) p(pm,n}^ "^('"^ "■"' "p,=p(p^>)(m, n ,,
OÙ s doit prendre successivement pour valeurs celles d'un s_ystème
quelconque complet de résidus (mod. p). De la proposition (27),
on peut de différentes manières déduire des théorèmes plus gé-
néraux, valables pour des nombres composés quelconques/», et de
chacun de ces théorèmes résulte encore une proposition analogue
relative au symbole (m, n); mais nous ne pouvons considérer da-
vantage ici ces propriétés très intéressantes par elles-mêmes de la
fonction logïi((i)) et du symbole {m, n).
Pour passer maintenant à notre problème, faisons usage de la
représentation suivante, tirée de (2) et de (\),
(9.9) iogr,(^)^^^+2'°S(i-'""'l-
OÙ ■/ parcourt la suite de tous les nombres naturels et où les loga-
rithmes au second membre s'évanouissent en même temps que
1"; l'on en tire
où ;JL parcourt la suite de tous les nombres naturels, et, si l'on ef-
fectue la sommation par rapport à v, on obtient (F um lamenta
nova, § 39) la transformation de Jacobi
et, par suite.
y Google
CAS LIMIIES PES FONCTIONS lIOUCLAIRi
OÙ l'on a posé, ponr abréger,
Maintenant supposons que l'ordonnée positive y de la gran-
deur (i»r^^4-^i devienne infiniment petite, tandis que l'alj-
scisse X possède de prime abord la valeur constante rationnelle
m'n; de la sorte la précédenle condition plus rigoureuse est
évidemment remplie. Les nombres m, n dans ce qui suit peuvent
avoir un divise^iir commun quelconque, mais nous supposerons que
le dénominateur n esl positif- Si nous posons, pour abréger l'é-
alors la constante satisfait à la condition ft" -— i, el/^dcsigni
fraction variable positive plus petite que i qui tend en croi
vers la valeur i ; on a en même temps
et il s'agit alors de déterminer la valeur limite de
log>;(<«)-log^( -^■)^'^^'^'^^.
En réunissant chaque paire de numérateurs a^^ correspondant
aux -nombres [a^s« + v et jj,i==(s4-i)'i^v, où ()<-><;4«,
l'on reconnaît aisément que la valeur absolue de la somme
reste pour toutes les valeurs de r, y compris /■= i , inférieure à
une constante finie, indépendante de /-et de [j.; d'où il résulte, en
vertu d'un tbéorème général ( ' ), que la série
lorsque ses ternies sont rangi-s dans l'ordre des valeurs croïs-
{ ' ) IXmCHLiiT, Liions sur la J'heorie (tes nombres; lîi'junsclivvcig, Vlcweg imd
y Google
4o8 TIlOISliiMB PARTIE. - FRAGïlEMS POSTHLBES.
saules de y., converge encore aussi pour >■ r^ i, eL j'este conlin
en ce point; en se reportant au ihéorèine (aG), on en conclut
(m.n)
--S^.
b„^- Wma^-.i,,
selon que l'on a ^^' -.: [ on non; mais, en appliquant la irniisfor-
où !7 prend la suite des valeurs i , a, ...,(/(-- i), on oblicnt la
représentation suivante, valable pour tous les u.,
rcprôsen talion dont on déduit aussi très facilement la somme de
notre série infinie, sans avoir à faire usage d'intégrales définies.
Lorsque c est une valeur réelle quelconque, nous désignerons
ici, pour la clarté, cette différence entre z et nn nombre entier,
qui tombe entre — j et j, non par (s), mais par ((s)); mais, pour
les valeurs de 5, situées à égale distance de deux nombres entiers,
d'après Riemann [voir page 243 de la traduction et la page 45? des
Fragments XXVIII. a" édit.) lafonction périodique {{z)\ qui est
ici discontinue, est égale à zéro, et l'on peut alors écrire qu'elle
est égale à la moyenne aritbmétiquc des deux valeurs infiniment
D'apiès lin théori^me très connu de la tliéorre des séries irigono-
métriques, et qui peut être aussi déduit directement de la série
pour la fonction logarithme, on a toujours
.^a«.)^2
(-OKi-
y Google
€AS T.iMFTKS DES FONCTIONS MODULAIRES ELLIPTIQUES. 4o9
UL prend successivement les valeurs croissantes de la suite des
libres entiers, et, par conséquent, on a
mais, comme on obtient, en changeant t en ii — '^
m^^-^-'
on en conclut aisément, à l'aide d'une soustraction, l'expression
suivante
<-. <-."<-»i:(a-;))((?-o)-
où n est pris positif et où s prend pour valeurs celles d'un sj'stême
complet quelconque de résidus (mod. n). Cette expression, sous
forme d'une somme finie, pour le sj'mbole (m, n) donne lieu à
de nombreuses transformations et simplifications que nous allons
maintenant considérer plus en détail. Cette expression est encore
valable lorsque les nombres m, n ont un diviseur commun quel-
conque (positif)/» ; ce dernier point s'établit aisément en se re-
portant à {■t.'i) et en se servant du théorème suivant, d'ailleurs
important en soi :
oùx désigne un nombre réel quelconque et où/)' parcourt les va-
leurs d'un système complet de résidus (mod. p).
Supposons maintenant que m, n soient des eiillers premiers
y Google
4lO TROISIÈME PVHTIK. — FRAGMO IS l'OSTH^MES.
entrp eux el posons, pour abréjjer,
B- - |,.,,."_„) - C=llos[-(»»-m).I,
(i-f.)(l-v)^0,
m ^ [i, «=:;■/ (mocl. î),
ei, du théorème d'approximalion (aS)
log/;(a.)= — ~'' ^''^ . ' . "^ ffi^aB — C.
logïi(aot) = '^^-^ *^"^'' " ' ^''^ (4 - 3v) B - C + '^ Icga.
les suij!)o1cs f|iii se présenLenL Jcl sonL, en -vcfLu de (:j8), reliés
enire eux par la relation suivante, qui a toujours lieu,
(34) ■i{;.m,a) + {m,-^n)^{mA-n,-xn) = &{m,n).
De cela, en vertu de ( j), résullenl en même temps les appruxima-
(3-.)/ log/.'= '"'"""'^'^]^ ~ ''"'''''^ 7rt^(a^L + v-a)([^B-^log-A).
[logig = l^îlii!^ '^'^ + "-^'' ^7rt^(i-|^-v)(i2B-alos2)-aC
l.a comparaison de ces théorèmes, avec les huit formules du se-
cond fragment, fait voir que Riemann n'a pas attaché une irapor-
lance snffisante à la détermination des parties réelles infinimenl
y Google
CAS LIMITES «ES FONCTIONS MODULAIRES ELLIPTIQUES. 4''
grandes, renfermées dans les termes relatifs à B, C. Ces délermi-
nations sont inexactes en certains endroits et en d'autres manquent
complètement. Dans les parties imaginaires [formules (3), (4) el
(à)] on a trouvé quelques petites inadvertances que l'on a pu aisé-
ment rectifier déjà dans la première édition, tandis que les parties
réelles ont été reproduites encore ici sans changement. L'identité
des formules de Riemann, quant à leurs parties imaginaires, avec
les théorèmes précédents (35), ne se reconnaît pas partout au pre-
mier coup d'œil, et la démonstration complète de cette identité
nous mènerait ici trop loin. Nous nous proposons cependant, car
le sujet est suffisamment important, de donner comme éclaircis-
sement les quelques remarques qui suivent.
Par dénominateur d'un nombre rationnel x, nous entendrons
toujours le plus petit nombre entier n pour lequel le produit nx
est également un nombre entier m, et ce dernier nous le nomme-
rons alors le numérateur de x. H ja ainsi toujours une infinité di;
nombres x' qui ont même dénominateur, et dont les numérateurs
m' satisfont à la congruence
chacun de ces nombres x' sera dit un associé de x (sociits, com-
parez Gauss, art. 77, Disquisitiones arithmeticœ). Si l'on con-
vient de dire, sans parler d'un module, que deux nombres sont
congrus entre eux lorsque leur différence est un entier, el si l'on
désigne ce fait par la notation x ^^y^ à chaque classe de nombres x
congrus entre eux correspond une seule et unique classe de nom-
et, si p dé
signe un entle
r premier avec /
p{p^' ,
t' — x.
alors, pou
r abréger,
D(.)=l^
^^«2f(
^-^)ïï(?
Celte fonction, comme l'indique la précédente expression c
core celles-ci : {;8), (i5), (la). (34), jouit des propriétés
I D(i) = D(»+i)_-n( — ii:|_D(»'),
y Google
4ia TROISIÈME PARTIE.— FRAGMENTS POSTHUMES.
8i l'on remplace dans les formules de Uicmann la fonction E(x),
dont il se sert parfois, et qui désigne le plus grand nombre entier
contenu dans
(38)
, pai
E(a.)=;r-I-/(j;-;^n,
dans laquelle, au seul et unique cas où x est lui-même un nombre
enlier, on doit prendre au lieu de E(a;) la moyenne arithmétique
X — 7, entre E(3; + o) et E(a; — o), alors, dans la plupart de ces
formules se présentent encore en définitive setilemcnt des fonc-
tions de la forme
(:in) Mx) = 2 ((■'^))- Sl^) = 21 1>'^ - ^' )'
les sommations s'étendant à tous les nombres v qui ne sont pas
négatifs el qui sont inférieurs à la moitié du dénominateur de x;
ces fonctions jouissent des propriétés
I Kix)=R{x + ,)^-K{-x),
/( désignant l'excès du nombre des termes positifs ((vjr)^ sur celui
des termes négatifs; ces fonctions ont, avec la fonction D(,î;), les
relations suivantes. On a, en général, en vertu de (36),
(4i) 6S[^')=Û(2^)-iD(a^).
Lorsque le nombre x a un dénominateur pair n. on a
1 ^{x) ---■ - S(^) ^--h= ^- D(:*;) - ^ J}{^x),
(42) '
Mais, si le nombre x a un dénominateur impair », les nom-
bres y, qui satisfont à la condition "iy t^ x ei qui sont, par con-
séquent, ^ i-x ou bien n^ j(^"^')' se distribuent en deux classes
de nombres : ceux qui ont le même dénominateur n, et que nous
désignerons par;C), et les autres qui seront désignés par ji^^ ; ces
y Google
CAS IIXITES DES FONCTIONS MODULAIRES ELLIPTIQUES. 4t^
derniers ont le dénominaieur in. On a alors
(.13) R(a^s) - [î(^) - S(3^) = -'.^i^) - S(2;r)
et
I D(2^2)*=6R(370 -2R(3!'i — 2R{ar'),
el la condition précédente
est encore ainsi satisfaite. L'identité des trois premières repré-
senlalioos dans (44) se reconnaît en observant les premières pro-
priétés de R(a^) et en ayant égard aux relations
X, ^ Xi H- i = (237')': {X -h i)' = (,'ia:)'^- l ; {x{)' = (JTJ ) ;
el réciproquement, l'on a
( 6R(a7) =3D(3;)- '20(237) - D{x,) ^ D(xii -D{2a:),
(40) 6R(:c') -3D(3^)- D(^a7)--2D{^i)= D(Xi) -ï)(x,),
{ 6R(373) - 5D(37, -20(237) -2D(37,}= 80(3^0 -t>(iC).
La déduction de ces formules, et d'autres relations nombreuses,
qui sont en rapport intime avec la théorie des résidus quadra-
tiques, nous devons la réserver pour une outre occasion.
y Google
FRAGMENT
L'ANALYSIS SITUS.
Deux variéLés à une dimension seront regardées comme faisant
partie du même groupe, ou bien de groupes différents, selon que
l'une peut être transformée en l'autre d'une manière continue, ou
bien ne le peut pas.
Deus variétés à une dimension, qui ont pour frontières la même
paire de points, forment par leur réunion une variété connexe à
une dimension, sans frontières, et celle-ci peut ou non former la
frontière complète d'une variété à deux dimensions, suivant que
lesdeuxvariétés primitives appartiennent respectivement au même
i;roupe ou à des groupes différents.
Une variété, intérieure ('), connexe, sans frontières, à une di-
mension, prise une fois, suffit pour former la frontière totale d'une
variété à deux dimensions intérieure à cette frontière, ou bien n'j-
suffit pas.
Soient «I, Os,..., «m, m variétés, intérieures, connexes, fermées,
à II dimensions, qui, prises une fois, ne peuvent ni séparément
{ ' ) Pour respecter le texte on a traduit le mot « inncre » par intérieure; le
mot « innere " lout senl n'a pas du reste en allemand une signification plus claire
qu'en français. Il semblerait que dans cette définition « innere » ou intérieure
signifie a à l'intérieur d'une variété à deux dimensions n. La phrase suivante est
encore moins claire. Peut-fitre y pourrait-on dire : « Soient a„ a., n„, m va-
riétés il l'intérieur d'une multiplicité qui les renferme, ..., etc. ». — (L. L.)
y Google
iiS
le ïi
iricLé,
6.,
m va-
pou
tt for-
FRAGMENT SU» LASALYSIS SITL'S.
ni pai' IcLir réunion former la frontière complète ci'ii
inrérieure, à (n + i) dimensions, el soient b,, /^s, . ..
riélés à n dimensions, définies de même, dont chaciim
mer par sa réunion avec une ou plusieurs des a la frontière com-
plète d'une variété, intérieure, à (n-|-i) dimensions; alors chaque
variété, intérieure, connexe, à n dimensions, qui, par sa réunion
avec les a, peut former la frontière complète d'une variété, inté-
rieure, à{n 4-i) dimensions, le pourra de même aussi par sa réu-
nion avec les b, et réciproquement.
Lorsqu'une variété quelconque, intérieure, fermée, à « dimen-
sions forme, par sa réunion avec les a, la frontière totale d'une
variété, intérieure, à («'+ t) dimensions, alors, par suite de nos
hypothèses, les a peuvent être éliminés successivemenl et rem-
placés parles b.
Une variété A à « dimensions est dite transformable en une
autre B lorsque l'on peut former, par la réunion de A et de mor-
ceaux deB, la frontière complète d'une variété, intérieure, à{/i-i i)
dimensions.
Lorsqu'à l'intérieur d'une multiplicité étendue d'une manière
continue, chaque variété fermée à n dimensions forme frontière
à l'aide de la réunion de m morceaux fixes de variétés à n di-
mensions, ces morceaux pris séparément ne formant pas frontière,
alors cette multiplicité a la connexion (m -h i) dans la n"""' di-
Une midtiplicité connexe, étendue d'une manière continue, est
dite simplement connexe lorsque la connexion est simple dans
chaque dimension.
On nomme section iransverse d'une multiplicité A fermée,
étendue d'une manière continue, chaque multiplicité B à nombre
de dimensions moindre, connexe, comprise à l'intérieur de A, et
dont la frontière est tout entière située sur la frontière de A.
La connexion d'une variété à /* dimensions, par relfet de chaque
section transverse simplement connexe qui est elle-même une
variété à (n — m) dimensions, sera ou bien diminuée de i dans
la m''""^ dimension, ou bien augmentée de i dans la (m — ij"""'
dimension.
La connexion dans lu [jl"""'' dimension peut être seulement mo-
difiée, ou bien si l'on transforme des variétés sans frontières à
y Google
4l6 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS POSTHUMES.
u. dimensions, ne formant pas frontitre, en variétés ayant des
fronlières, ou bien si l'on transforme de telles variétés, formant
frontière, en variétés ne formant pas frontière; et Je premier cas
a lieu parce qu'il est ajouté ainsi de nouvelles portions à la fron-
tière d'une variété à [t dimensions, et le second cas n'a lieu que
parce qu'il en est ajouté de même à la frontière d'une variété à
u. -H i dimensions.
Dépendance entre La connexion chi la frontière B d' une nmiii-
plicilé A, étendue d'une manière continue, et la connexion
de la multiplicité A.
Les variétés à plusieurs dimensions, sans frontières, ne formant
pas frontière à l'intérieur de B, se distribuent en variétés qui, in-
téneiiremenl à A, ne forment pas frontière, et en variétés qui,
intérieurement à A, forment frontière. Recherchons d'abord com-
ment la connexion de B sera modifiée par l'effet d'une section
transverse simplement connexe de A.
Soient n la dimension de A, m celle de la section transversc la frontière de q.
La connexion de A dans la {n~\ — m)""" dimension sera aug-
mentée de I lorsque, à l'intérieur de A', « ne forme pas frontière ;
dans la {n — m)''""'' dimension elle sera diminuée de i lorsque, à
l'intérieur de A', a forme frontière ( ' ).
/m-(-i\ quand, à l'intérieur tic A', a ne forme pas
~' ~ l ^1 /■ frontière (a);
_ / H( \ quanil, à rinléricur de A', a forme froii-
■■{'-)
(') Ici se présenie encore une cerUiue
obscurité tciianl à l'insufllganc
edesdc-
finitioûs. Il sembie que l'on doit par A f
mtcndrc lu surface prJDiïtive, c
:l par A'
la surface A décomposée par la section l
ransverse. -(L. L.)
(') Ici l'on trouve encore dans le manu
scrit quelques signes dont je n'i
li pu dé-
chiffrer le sens.- (VVekel!.)
y Google
FRAGMIÎNr
SUR l'ixal
i.
intérieuremenl à A' ne forma
ntpasfron-
tière, a intérieuremenl à B'
nc formant
pas frontière, par suite p
intérieure-
ment à B formant frontière
4>7
II.
% intérieurement à A' formant fr
a intérieuremenl à lï' ne form
frontière, par suite p intérieur
B formant frontière
III.
intérieurement à A' formant frontière,
a intérieurement à B'formanl frontière,
par suite p ïnléi
Deux portions d'une varicLé à plusieurs dimensions (portions
d'espace) sontdiies connexes oii formées d'une seule pièce, lorsque
d'un point intérieur à l'uno on peul mener une ligne, passant par
l'intérieur de la variété à plusieurs dimensions (espace), jusqu'à
Thèorèiiks d'Annlysis silus.
\. Une variété à nombre de dimensions inférieur ù (« — i) ne
peut séparer les unes des autres des portions d'une variété à n
dimensions. Une variété connexe à n dimensions jouit de la pro-
priété d'être morcelée par chaque section transverse formée par
une variété à (n — i) dimensions, ou bien elle n'en jouit pas.
Nous désignerons les variétés définies dans le premier de ces
deux cas par a.
Lorsqu'une variété à n dimensions, faisant partie des a, est,
[■ l'effet d'une section transverse, formée
(«-.), lin
is, transformée e
une variélé à
iélé, cette der-
y Google
4l8 TROTSIÈME PAItriE, FRAGllESIS rOSIElUMES.
niùre est coiinr.xc et eUe fait partie des a ou bien elle n'en fait
pas partie.
Ces variétés ak n dimensions, qui sont transformées par chaque
seclionlransverse, formée par une variété à (n ^ a) dimensions, en
les variétés qui ne sont pas du tjpe a, nous [es désignerons par «, .
2. Si une vai-iété A à plusieurs dimensions est transformée par
l'effet d'une section transverse, formée par une variété à [jl dimen-
sions, en une autre A', chaque section transverse de A ayant plus
de ^ + I dimensions est aussi une section Iransverse de A', et ré-
ciproquement.
Si une des variétés a, à n dimensions est transformée par l'ef-
fet d'une section transverse formée par une variété à (n — 3) di-
mensions, en une antre, celle-ci appartient alors aux a ( a), mais
elle peut appartenir aux a,, ou bien elle ne le peut pas.
Les variétés du type «) qui, par l'effet de chaque section trans-
verse, formée par une variété à (n ^ 3) dimensions, peuvent être
transformées en les variétés qui ne sont pas du tjpe «, : nous les
désignerons par a^.
Si l'on procède ainsi successivement, l'on arrive enfin à une ca-
tégorie «„_î de variétés à n dimensions, qui embrasse celles des
C!„_5,qni sont transformées par l'effet de chaqne section trans verse,
formée par une variété à une dimension (linéaire), en celles qui
ne sont pas du type «n-s- Ces variétés a„_2 à n dimensions se-
ront dites simplement connexes. Les variétés a^ k n dimensions
sont, par conséquent, simplement connexes, en tant que l'on fait
abstraction de sections transverses à (n — \t. — a) dimensions, ou
à dimensions inférieures à ce nombre, et seront dites simplement
connexes jusqu'à la {ii — u.— a)'^""* dimension (•).
Une variété à n dimensions qui n'est pas simplement connexe
jusqu'à la [n — i)''"* dimension peut être décomposée par une
section transverse, formée par une variété à (n — i) dimensions,
sans être morcelée par l'effet de celte opération.
La variété à n dimensions ainsi formée, lorsqu'elle n'est pas
( ' ) Pour concorJer avec co qui suit, les variétés a^, à n dimen;
plutôt Élre dites simiilÊinenl connexes jusqu'à la {n — \i. — !)■''"
y Google
i.lGUEM SUR LANALYSIS SITUS.
sîmplemenl connexe jusqu'à la (n — ij'^^f dimension, pourra en-
core être décomposée de nouveau par une section transverse pa-
reille, et l'on peut évidemment procéder ainsi successivement tant
que l'on n'arrive pas à une variété simplement connexe jusqu'à la
(n — i^ième dimension.
Le nombre des sections transverses, par l'effet desquelles sera
effectuée une telle décomposition de la variété à n dimensions en
une variété simplement connexe jusqu'à la première dimension,
peut différer selon le clioix de la décomposition, mais il est clair
que ce nombre est un mininuim pour une certaine espèce de dé-
composition {').
(') On doit citer, concurremmeot aveccefragment, un Mémoire de Betti [So-
pra gli spazi di un numéro qualunque di dimensioni (Annali di Mat., 2' sév.,
tome IV; 1871)], quejcne coaoaissoiî pas encore lors de la publication de la pre-
mière édition de Riemann.et qui renferme des conceptions et des dcveloppcmcnis
analogues.— (Weber.)
y Google
LA CONVERGENCE
SÉRIES TllËTA 7>UPLEMENT INFINIES '
(.Eu^ii-es de nieniatm, a- cdiiion, ijogc 4S-^-
L'élude relative à la convergence J'iine série infinie à termes
positiTs peul toujours se ramener à l'étude d'une intégrale définie
grâce au tliéorème suivant :
Soit
une série à termes positifs décroissants, soll ensuite /(x) une
fonction .qui décroît lorsque x croit, on a
f{-,)> f /(T)dr>/{x^l),
et, pr suite,
fio) +/(,) -...+/(«) > r"W) 'i-^ >/(o +/(a)-- ■ ■+/('^ + 0-
La série
/(o)+/(i)-./(2'i^-...
converge on diverge par conséquent en même temjis que l'intégrale
f f{^)d^.
Si, niainlcnanl,/(rO est positif et «„< /(/;), la série
(') Ce Mémoire cl le suivant fonl partie d'un Cours professé par Rîci
en iSfir et 18G2. — La rédaction de ce? n-avûiix repose siir on caliier de
de G. Rûcli. — {WEDSn et DeueKisd.)
y Google
CONÏERGESOE DES SÉBIES TllÊTA. />-rPEEMENr INFINIES. ^11
converge également, pourvu que cette intégrale converge. On
conclut de là le théorème :
Si(ï„"), « ■< => {y) et que
rintégraJc
converge .
Maintenant, si a„ > F (y), il en est de même de a,, «o, ....
a„_i. Si l'on a donc a„_^i<; F{j'), n sera le nombre des termes de
la série qui sont supérieurs à V{yy Le théorème s'exprimera
donc encore ainsi :
Si l'on désigne par F(j), •■s{y) deus fonctions dont la pre-
mière décroît ^oury croissant, et dont la seconde croît (jusqu'à
l'infini), et si le nombre des termes d'une série à termes positifs,
qui sont égaux ou supérieurs à F(^) est plus petit que o{^), alors
cette série sera convergente quand l'intégrale
f F{y)^'{y)dy
yGoosle
/)23 TnoISIÈllE PARTIE, — FR1.G31ENTS POSTHUiMES.
Nous nous proposons lu rcciierctie de telles fondions, relalive-
ment à la strie ^ /j-uplement infinie
oii, sans porter atteinte à la géncralitc, nous sup[)Oserons d'abord
que les grandeurs att' et Ce sont réelles.
Le terme général
est plus grand que e~^', lorsque
Pour le but que nous nous proposons il est donc nécessaire de
déterminer combien de cotnbinaîsoris des nombres entiers «i,,
m^, . ,., nip satisfont à celte inégalité.
Considérons, à cet effet, l'intégrale définie multiple
A = / / ... / dx, d:B2 ■ ■ • dx,,,
dont le champ d'intégration est déterminé pur l'inégalité
-i|— <■■
fj'intégrale aura toujours une valeur finie au seul cas où la
fonction homogène du second degré
-||»„...»,
est décomposable en une somme de^ carrés positîis. En efiet, si
y Google
i SÉRIES IIIÈTA
Je champ d'intégration de l'intégrale s
et l'inlégralc A sera représentée par
J J J \^ àh Oti ôl,, / ' ^ '
Le déterminant fonctionnel est une constante finie, et aucune
des variables /, prise en valeur absolue, ne peut être supérieure à i.
D'autre part, sï les (' n'étaient pas tons positifs, on si quelques-
uns d'entre eux manquaient dans la forme transformée, il se pré-
senterait alors dans l'intégrale A des valeurs inlinies de /, et l'in-
tégrale A elle-même deviendrait donc infinie.
Ces résultats n'éprouvent aucun changement, lorsque, au lieu
du champ d'intégration considéré de l'intégrale A, nous prenons
le suivant
-22»
.-2-
les «e étant des grandeui
rons maintenant l'inégal
-11'--
■elles quelconque
ml -■- = .Tj, l'inégalité
-22».-— Eî-
il résulte d'abord que, pour chaque valeur finie de /(, il existe seu-
lement un nombre fini de combinaisons des nombres entiers m,,
nii, . . . , mp qui satisfont à cette inégalité ; en efTet, les x doivent
tous rester compris entre certaines limites finies, et entre de telles
limites il n'y a qu'un nombre fini de nombres rationnels à dénomi-
nateur donné h.
Soit donc Z^ le nombre de combinaisons admissibles des nom-
bres entiers m.
Considérons ensuite la somme suivante étendue à toutes ces
y Google
424 TliOISIÈME PARTIE. — FRAG.UEMS POSTHUMES.
^ f '' dr, f '' dx.... f '' dx„='^;
cette somme pour chaque valeur finie de h est eUe-mème finie et,
pour h croissant indéfiniment, tend vers la limite A; ornous avons
démontré que cette limite A est également finie lorsque la fonc-
tion — V Voje^Te^Ce'est représen tablé par (une somme de)/* car-
rés positifs. Si l'on écrit que l'expression V ... est égale à A-l-A,
k est alors une grandeur finie et qui tend vers zéro lorsque A aug-
mente indéfiniment. On aura donc
et c'est là précisément le nombre n des termes de la série thêta
qui sont >■ e~''''. On a d'après cela
« -; lA -^K)h",
K. étant une constante à laquelle on peut assigner une valeur aussi
petite que l'on veut, pourvu que l'on attribue une valeur suffi-
samment grande à la valeur h dont on part. Les fonctions F(^),
t^(y) peuvent donc être prises comme il suit ;
et, puisque l'intégrale
est convergente, il en est de même, sous les hj-pothèscs assignées,
de la série ihéia. On en conclut :
La série thêla p-uplement infinie est convergente pour
toutes les valeurs des variables f, , fn, . . ., Vp^ pourvu que la
partie réelle de la forme quadratique dans V exposant soit
essentiellement né^/ative.
y Google
SUR LA THEORIE
FONCTIONS AlîÉLIENNES.
'S de Itiemann, :
Soit {e,, 62, - ■-, Cp) un système de grandeurs jouissant de la
propriété suivante
D'après l'art. 23 du Mémoire Sur la Théorie des Fonctions
abéliennes \Œiwres de Riemann, a'édit., p. i34 (ici p. i5i)],
la congruence
:-2<' -2-?
est sous celte hypothèse satisfaite par certains points -/ii , ^13, ...,
'12/1-2! 1"' sont associés par l'entremise d'une équation a z= o. Si
l'on désigne alors par u^ et u'^ les valeurs que prennent les inté-
grales de première espèce u^, pour deux systèmes de valeurs indé-
terminés s, ^ e,\. Si, z,, la fonction
l'onction de s, z, s"évanouit pour 's,;} r=(s| ,;,)
y Google
IJ36 mOlSJÈME PAHTIU. — FIIAG.HENTS POSTHUMES.
et pour les /» ^ 1 poinLs r,,, -ri-,, . . . , 'r,p_,, eL, consiiicrcc comme
fonclion de s,, 3(, s'évanouit pour (S|, 2)) ^= (j, ^) et pour les
p — I points ïip, , . . , -^îp-s. Par conséquent, si (/i,/s, - - ■,fp)
est un système de grandeurs jouissant des mêmes propriétés que
(«(, «2, . . ., ep), la fonction
5(«.-. ; -.... ./,5(«.-«;^.., . . .) ^
' ' 3-(«.-«',-/i,...)â(«,-ii',-i-/.,...r
qui est rationnelle aussi bien relativement à .î, ^ qu'à 5,, s,, est
infiniment grande pour un système de points et infiniment petite
du premier ordre pour un autre système de points, chaque fois
associés par l'entremise d'une équation o =^ o; elle sera donc re-
présentable sous la forme
2...,,(.-,.)i;c,o.(.„.,)
<"' î^ 1 ■
où les coefficients b, c sont indépendants do s, s et de s,, z,.
Maintenant, lorsijuc les systèmes de grandeurs e, / ont la pro-
!st défmif
les points en lesquels la fonction (i) ou (a) devient respective-
ment nulle et infinie se réunissent par paires, et nous obtenons
ainsi une fonction qui devient infiniment grande et infiniment pe-
tite du second ordre en /> — i points seulement. D'après cela, la
fonction
/ ■
\ i»,,..
{s,z)'^b.,,,l,„„)
est ramifiée comme l'est la surface T', el acquiert, à la traversée
des sections transverses, des facteurs qui sont ^ ±i.
y Google
SUR 1:A TIIËORIE DES FONCTIONS ABËLIENNES. 4^7
Les fondions détermiiKÎes de cette manière,
V'P
qui devienneDt en ^ — i points iDlIniment petites du premier
ordre, sont dites lies fondions abéliennes.
Elles tirent leur origine des fonctions » par la réunion par
paires des zéros et par l'extraction de la racine carriSe. Leur
nombre est en général fini.
En effet, les congvuences (3) exigent que le? systèmes de gran-
deurs^,^ soient de la forme
';■ — -!--^l''lP^-'
OÙ les s, t' désignent des nombres entiers qni peuvent être ré-
duits à leurs résidus minima pour le module a. La condition
S(e(, Cu, ...,«/,) ^o ne sera en général satisfaite par un tel svs-
tème de grandeurs que seulement lorsque l'on aura
(4) ...■,-l-.,.',+,..^.„.;,,. (mod, .).
Mais il existe de tels sj'Slèmes de nombres s, s', au nombre de
a/*-| (aP — i), et, par suite, tel est aussi, en général, le nombre des
fonctions abéliennes.
Le complexe de nombres
est dit la caractéristique de la fonction
et sera désigné par
La caractéristique est dite impaire lorsque la congruence (4)
est satisfaite; au cas contraire, elle est dite paire.
y Google
(j28 TROISIÈME PARTIE
Le nombre des caryctérist
général, à ces dernières ne c
Hennés.
Par somme de deux carai
lique formée par les st
éléments peuvent toujoi
et ia différence de deux
■ FRAGMENTS POSTHUMES.
ïtiqnes paires est a^^' (2/'+ i), cL, en
correspondent pas des fonctions abé-
acléristiques, on entend la caractéris-
ines des éléments correspondants; les
. ainsi être réduits à o ou i . La somme
raclérlstiqnes soatdonc idcnliques.
Il s'agit maintenant d'abord de ramener l'éqnation F(s, 3) — o
à une forme symétrique par l'introduction de nouvelles variables.
Lorsque />>3, il existe au moins trois fonctions y, linéairement
indépendantes entre elles, et l'on peut donc transformer l'équa-
tion F(s, 3) =1 o par l'introduction des variables
{à moins qu'il n'existe une équation identique entre ces fonctions,
ce qui, en général, n'est pas le cas).
Si les fonctions cp), a^, a, ne sont pas soumises à des conditions
particulières, à chaque valeur de k correspondent ap ■ — 3 valeurs
deï], et réciproquement, puisque cbacune des deux fonctions
pour ^, r, respectivement constants, s'évanouit en ^.p — a points.
L'équalion résultante F(5,t,) = o est donc, par rapport à cha-
cune des variables, de degré 2/> — 2. D'ailleurs, puisque ce degré
doit être conservé lorsque l'on fait éprouver à ^, r, une substi-
tution linéaire quelconque, aucun terme dans cette équation ne
peut surpasser la (a/v — ï)''-''"* dimension par rapport à £ et r„ pris
ensemble. Les fonctions » restantes, exprimées par ^, yj, sont
transformées en fonctions où aucun terme ne peut surpasser la
{2p~5r'-d.
! fai
-d'n
doit rester finie pour des valeurs infinies de ^ et -fi.
Le nombre des constantes qui se présentent dans une te
lion de degré 2p — 5 est égal à {p — '''■){'>-P — 3). Si pai
y Google
Sun LA THtORIE DBS FONCTIONS ABÉLIENNES. 439
OQ en dclermine /-, en sorte que les tondions f soient nulles
pour les /■ paires de valeurs (y, 2) pour lesquelles ■^. ^s'éva-
nouissent sîmultanémenl, il doit rester encore p constantes, puis-
qu'il y a /? Intégrales de première espèce linéairement iudépen-
danles. On a donc
(/j — 3((2/' — 3 1 =p-:-i\
et, pur suite,
i-^--iip-i]{p -3j.
La méthode suivanlc conduit au mfïme résultat :
La fonction -r^ sera infiniment petite du premier ordre en
(ap — 2){2p— '3) points; ce nombre (2/j — 2) (3/) — 3) est égal
à w -i- 11-, w étant le nombre des points de ramification simples.
D'autre part(7'/ieom des Fonctions abéliennes, §VII, p. 122),
w :-. 'lin^p — i), Il r^ %P -2,
>v-9.(3/.-3):
Si toutes les fonctioi
doivent devenir des identités, et, par conscqTieni,
Il doit doue exister une fonction U3 qui, relativement k ^,-/i, est
seulement de la (2/) — C)'''"'" dimenslou. Pur conséquent, celte
fonction s'évanouira poui-(a/j — 2) (2^ — 6) = 2/' paires de va-
leurs S, 71 satisfaisant à l'équalion F ^ o, et ne pourra donc être
nulle qu'en les r paires de points (y, S).
Enfin, par l'introduction des nouvelles variables ^ = -, r; = -
et par l'adjonction de 5^^~^ comme facteur, l'équation F — o est
transformée en une équation homogène de degré a/j — a à trois
variables x,y, z.
yGoosle
43o TROISIÈME PAIITIK. — FIIAGMEMS POSTHUMES.
(') Gomme nous venons de le voir, parmi les fonctions ©, il en
est une de degré 2/> — 6 par rapport à 5, -ii ; désigoons-ia par i ;
alors ?> pour $, t, finis, est une fonction toujours finie qui, pour
Ç, 7i infinis, sera infinie du premier ordre. Réciprocjuement, toute
fonction qui jouit de ces propriétés peut être représentée sous la
forme -^ [Théorie des F'o ne lions abéliennes, Art. 10 [CSîuvres
de Riemann, a' édil., p. 1 18), ici p. 129].
Les fonctions qui, pour des valeurs finies de ^, ■/■„ restent finies
et qui, pour S, r|
infinis, de
Hcnncn
t infinies d.i second ordre,
sont
représen tables s«
tus la forn
fa, -<
;)^
Où /{S, r,) est un
e fonction
1 entière
jde la (ap-4)— dlmen
sion
en ^, t;, qui doit
fonction/(5, r|)
s'évanoui
contient
rpoarl,
ES /■ paires de valeurs (y, 5j
i.La
(/i — i)(3jO — 3) -;■= i/1 — 3
constantes, et peut ainsi \Fonctions abéliennes, art. 5 [Œuvres
de Riemann, 2' édit.,p. 107), ici p. 11 5] représenter toute fonc-
tion jouissant de ces propriétés, La fonction f{\, tj) sera, outre
en les /■ paires de valeurs (y, S), encore infiniment petite du pre-
mier ordre en ^p — 4 points.
A ces fonctions appartient toute fonction du second degré aux
p — I variables 7. et une telle fonction renferme ^-^ — - con-
. * . f '
slantes. Mais, puisque la fonction générale ~ n'en contient que
Zp — 3, entre les p — 1 variables ; doivent avoir lieu
équations du second degré, ou, ce qui revient au même, entre les
y Google
SUR r.A THÉORIE CES FONCTIO.NS ABÉLIKMES. 43l
p fonctions o doivent avoir lien
( r--i){p- i,)
équations homogènes du second déféré.
Pour le cas où p = .'5, l'équation F(S, "f|) ^ o ou F(x, y, s) := o
est du quatrième degré; on a /■ ^= o et la fonction '}' se réduit
à une constante. Aucune des fonctions » ne peut être d'un degré
supérieur au premier, et l'expression générale de ces fonctions est
, lorsqu'il s'agît seulement des quotients de telles fonctions,
c, c', c" désignant des constantes.
Chaque fonction s devient infiniment petite du premier ordre
en qualre points, et il existe ea toutvingt-liuit pareilles fonctions
dont les zéros coïncident par paires. Les racines carrées de ces
fonctions sont les fonctions abéliennes, et nous devons reclier-
cher quelles sont les caractéristiques respectives qui corres-
pondent à ces vingt-huit fonctions.
Si nous prenons pour variables x, y, z trois pareilles fonc-
tions a.{,'^-^f) = ^U^pq,
d'où
(8) ^ = aa-^-H/, ■>.%f^-<^-^xy-^U=pq.
Le premier membre de celle dernière équation doit, par consé-
y Google
434 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS POSTHUMES.
quent, se décomposer en deux facteurs linéaires; si nous conce-
vons cette fonction développée sous la forme
les coefficients ajA seront des fonctions du second degré en a; mais,
comme le déterminant
doit s'annuler, l'on obtient une équation dn sixième degré en a,
et il est facile de reconnaître qu'elle admet les racines a ^ o et
a ^ 00, qui correspondent aux deux décompositions zt et xy.
Il reste donc encore une équation du quatrième degré dont les
racines fournissent quatre paires de fonctions />, q qui jouissent
de la propriété requise.
De la seconde équation (8) s'ensuit encore, en vertu de (6),
pq:^t = 5>?î -H aa/sî -4- a?p - {ai -h «/)=,
en sorte que la forme cherchée de l'équation F= o peut être aussi
représentée par les fonctions p, q, s, l. Ainsi, si nous prenons
comme point de départ deux fonctions abéliennes quelconques,
\/x, ^y, nous obtenons six paires de pareilles fonctions
/a/, iîl,
jouissant de cette propriété qu'à l'aide de deux quelconques
d'entre elles l'équation F = o se ramène à la forme
f—XJ'Zt^O.
Ces sis fonctions doivent, à la traversée des sections transverses,
acquérir les mêmes facteurs, car, s'il n'en était pas ainsi, le pro-
duit de deux d'entre elles ne pourrait être rationnel.
De six pareils produits de fonctions abéliennes, nous dirons
qu'ils appartiennent à un groupe. Comme les systèmes de fac-
teurs relatifs aux sections transverses sont déterminés pour des
produits de fonctions abéliennes par les sommes des caractéris-
tiques, il s'ensuit que les caractéristiques de toutes les patres d'un
groupe doivent avoir la même somme que l'on nommera la carac-
téristique du groupe.
y Google
SUR LA rBÉORIE DES F0NCTIO>S ABÉLIENNES,
Des équations (8) et (6) résulte encore
2/ = — ^ — axy = ï v/Jk s/zt,
d'oii
(9> //"S "= s/zt + ^'Jxy;
d'où Ton tire cette con
peut être exprime liné
groiipe.
Si l'on distribue par paires toutes les vingt-huit fonctions abé-
ilusion que cliaqi
airement par deu
î produit d'un
produits de c
groupe
lie
1 obtient
^^y^ paires = 6.63 pair
lubdlv
6 pur 6 en 63 groupes. Cliacuoe des 63 caractéristiques diffé-
rentes de / ° ^ °j peut être une caractéristique de groupe.
Pour obtenir les caractéristiques des six paires d'un groupe,
on devra donc décomposer la carac'
tion en deux caractéristiques impai
dont la caractéristique de groupe
d'exemple. Ainsi :
-il
-(:
hc ; :)
:)-(;::)
c ; :>
=(:;;)-^-(:;:)
-([ : :)-(; : d-
Lorsque l'on connaît trois paires de fonctions abéliennes, on
obtient les paires restantes de ce même groupe par la résolution
d'une équation cubique, et l'on peut à leur aide déterminer
toutes les autres fonctions abéliennes restantes ala
caractéristiques.
-éristique du ^
■es de six manières. Le groupe
nous servira
1 que
yGoosle
43G TROISIÈBE PARÏIE. — FRAUMENTS POSIBUUES.
Pour l'effectuer supposons que ^x^, y/yn, v^sÇ soient ces trois
paires d'un groupe, de sorte que ?, vi, ^ soûl données comme
fonctions linéaires homogènes de x, y, z.
Une délerminalîon convenable de facteurs constants permet de
ramener l'équalion (9) à la forme
(10) A^-i/y^-hj/al-o,
d'oîi
ou
(11) i*?rvi-.(sï -:cl-yfC)\
de sorte que l'on a
(13) f^-zl^x'^-y-n.
Pour obtenir toutes les paires appartenant au groupe ijx%,\/yr\,
nous avons à résoudre, d'après ce qui précède, une équation bi-
quadratique, mais dont une racine, celle qui correspond à la
paire ^s^, est déjà connue. Le calcul sera donc plus symétrique si
l'on clierclie d'abord les paires du groupe \/x-i\, auquel appartient
aussi la paire \/:KÏ-
Si s/pci est une autre paire inconnue de ce groupe on a, outre
l'équation (i t), une autre équation qui lui est identique,
(,3) 4rï/>? = ?^
lorsque [d'après (S)]
cf ^f-h'ilyi,
où X désigne une constante encore inconnue. A l'aide de (11) et
de (12), on en lire
et, par suite (abstraction faite du facteur X),
pour ar + Ày ^; o et 5 ^ o, l'une des deux fondions /), ç, par
y Google
SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENSES. 437
exemple p, doit s'évanouir; d'où il suit, jt désignant encore un
coefficient inconnu, que l'on a
d'où l'on concitU encore, puisque /? et 3 ne sont pas identiques,
(■5) s+J^i = -,v;
par conséquent, en vertu do (i-^),
■^ i^ a Ka \i.a
ou bien, si l'on remplace 'ka, \xa par b, c,
(■6) ax + hy + cz^\ + l-.\^ o;
de là résulte par conséquent, puisqu'il n'est pas question d'un
facteur constant relativement kp et q,
p = n
î
a^ b ' cj'
Comme il y a quatre paires p, q, on peut déterminer quatre
systèmes a, 6, c.
Pour j parvenir, on observera qu'entre les six fonctions a:, ^,
2, ^, Ti, ï^ il existe trois équations linéaires homogènes que nous
désignerons par m, ^i; o, m^ = o, «3 ^ o. Nous en déduirons une
combinaison linéaire homogène à coefficients indéterminés l\,
h, h ■■
où a, ^, y, a', p', y' sont des expressions linéaires homogènes en
/, , l'î-, /s- Cette relation prendra la forme (16) lorsque les condi-
tions
y Google
438 TROISlfeMB PARTIR, — TRAGMENTS POSTHUMES.
sont remplies, ce qui donnera quatre systèmes de valeurs pour
les rapports l\'.l2'.li-
On arrivera au but clierché de la manière la plus élégante en
supposant les fonctions ^, y\, (^ données par trois équations de la
forme
. 1^ Zl^i -.
(17)
Pour que, dans la première de ces équations, les coefficients
aient la valeur 1 , on peut attribuer des facteurs constants à x^ y,
3, ^, 7], Ç, ce qui enmême temps n'altère pas la forme de l'équa-
tion (lo).
Comme conséquence identique des équations (17) on doit en
obtenir une quatrième de même forme
(■8)
.i_
Par conséquent, pour obtenir a", [3", y", on devra déterminer
les coefliclents )., V, /," à l'aide des équations suivantes
(.9) ),T=»'?'-i?+., p.^:+^+.,
[ 1Y = 1'y' + >ï + >, :p-^ + ^+'-
En multipliant clenx à deux les équations correspondantes,
on obtiendra
il-" = l'"- l■-^ «■ /j + ^") + >("■,+ ^W ).' (.'-^ .^,j + ,,
x. = v..x.-.xx'(ï^ï;)-.x(,^i)+x.(r+i)^,.
Si l'on élimine /."entre chaque combinaison deux à deux de ces
y Google
trois équations, l'on obtient, pour j el - ,- les deux équations li-
4(«
au uioycn desquelles 'k et X' pourront être évalués d'une manière
univoque.
A l'aide de l'une des équations (20) on obtient X", abstraction
faite du signe, et, finalement, de (jg) on lire a.", ^", y", chacun
également à un facteur ± 1 près, qui est le même pour tous, et
qui reste indéterminé comme le veut la nature de la question (').
Ayant de cette manière trouvé a", ^", y, on obtient dans le
groupe \/xr„ \/y^ les quatre paires de fonctions abéliennes sui-
vantes
/£ + l^-,
• ? ï , - (», p. T), ; P T " (J' ?. t), ■
"' r r' I J P' T
on peut déterminera", p", t" à l'aide des équations
et des équations analogues, — (Weheb.)
y Google
440
THOISIÈMI! PARTIE. —
t.iGaisis posTHmBs,
De la
même manière, on obi
ient dans le groupe
paires
• :. + / + .,
v't-r + ï.
i/<.» + Pj + -,^.
!/.'»+ P>+V'«,
\/i-fy--i-
V'""»^P> -!-■,-«,
. /î . a- ï
et dans h
S groupe ^^, v^^-r, les
paires
\/3;.^^-H3,
l/a^-r^^C,
l/i^ï(lj + VJ,
ï'-'^'^O^ï'^.
\/--^^
,/x-»^|i-7-ï---,
l/'--|.-J-
en sorte que, oulre les six fonctions abéliennes données, seize
autres encore se trouvent déterminées. Pour en déterminer les
caractéristiques, il suffit de remarquer que les trois groupes ici
considérés renferment quatre fonctions abéliennes communes à
chacun d'eus. Si l'on forme, par conséquent, les groupes corres-
pondants des caractéristiques, ces groupes doivent avoir quatre
caractéristiques en commun, qui doivent être attribuées d'une
manière quelconque aux fonctions
A +7 + -. \^--^^ -H [Jj + ï 3,
Les caractéristiques des fonctions abéliennes restantes sont
ainsi par cela même complètement déterminées, car elles doivent
se répartir par paires dans les trois groupes, de même que les
fonctions abéliennes correspondantes y sont elles-mêmes distri-
buées. Ces caractéristiques peuvent être représentées symétrique-
ment de la manière suivante :
Désignons les caractéristiques des groupes ii/y^,\/z^,\/xri. res-
y Google
Sun LA THÉORIE BES FONCTIONS ABfiLIENSES. 4'l '
l>ectivement par (/>), {q), (/■), et par ( -^ Y5, ■/x''x -t- fJ> + Y°3,
et par (« +/)) la caractéristique de \/x. On obtiendra alors les
expressions suivantes, pour les caractéristiques,
(/£) = (» + î + r), (A).-(» + r+;,), (^r) = (n^-/,^,).
Si nous prenons, par exemple,
ce qui est admissible, puisque alors \/xq, \/jy'i\, v'^s appartiennent
au même groupe ( 1 t il s'ensuit que
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^2 TROISIÈME PARTIE. — FKAGMENTS POSTHUMES.
Les groupes (p), {q) complets sont
c;:)^
-(;
::)-
-(;
;) =
^(;
X
10-
-(;
= (;
;:)+(;
;)
Kl
'M
::)=
-{°
c::)
^c
::)-
-C.
:;)
^C
")-(
::)
=(
K;
■'■)^
-C
'>
=(;
•y(
::)=
(
d'où l'o
n ti
e
id) =
(:;
;)■
(«)
-t
:)■
(/)-
(;;:)
:::)■
^C;:)'
et les caractéristJi^ues des fonctions représentées en (21) et écrites
dans le même ordre sont
(].
;)•
(;
!;)■
(;;;)■
il'
ô)'
(;
::)•
G°°)'
c
:)■
(:::)•
c
:)•
(;:;)■
c
;)•
(;::)•
c
:)■
(;:;)■
c
.;)■
(:;;)■
c
.;)■
(:::)■
(;
.:)•
(;::)■
c
;)'
c;:)-
■m
apro
loslli
on sui
■ante, relali
y Google
I.1ENNI,S. 443
elles n'appartiennent pas à une paire : la somme de leurs carac-
téristiques est toujours une caractéristique paire. En effet, consi-
dérons par exemple les Iroîs fonctions \fx, \Jy, \jz et exprimons
Ç, ïi, X^ linéairement en x, y, s, l'équation (lo) peut être alors
prise sOQS la forme
^/a!{(lrc-HA^-^-caj-(-/>■(<^'a:^-É>^^c'3)-HV'5(a'a^^-è>-l-c■'s) =
Si nous posons successivement a;=:o,^':=o, z^ o, nous obtien-
drons, pour les produits des racines des équations quadratiques
qui fournissent le rapport des deux autres variables, les valeurs
dont le produit est — i . Mais cela, d'après les pages ^Tt'i., 433, est
précisément le critérium pour que la somme des caractéristiques
des fonctions \J x^ \jy, \j z soit une caractéristique paire.
En s'appuyant sur ce théorème, on peut démontrer que les
seize fonctions abéliennes que l'on vient de déterminer sont dif-
férentes des douze fonctions qui se présentent dans le groupe
\Jx\. En effet, si ^Jpq esl une paire appartenant au groupe \lx\^
les caracléristîques
(>/i)^(/S) + (//.), {'ly) + H)*W>, Wi) + WV>-*-Wf)
seront impaires et, d'après le théorème qui vient d'être démontré,
VjO ne peut se présenter dans aucun des trois groupes
Ces seize fonctions abéliennes fournissent donc toutes les fonc-
tions abéliennes qui ne sont pas contenues dans le groupe i/x ^, et,
si nous cherchons les six fonctions de ce groupe qui manquent en-
core, nous aurons ainsi déterminé les vingt-huit fonctions abé-
liennes.
Pour les obtenir, posons
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444 TROISIÈME PABTIE. — FRAGMEl
et partons de l'équation
que l'on tire aisément de (lo) et (17). Nous remplacerons parles
fonctions
t. ^. J. u. ,, £,
les fonctions
^, y. =, l ^. Ç.
considérées précédemment, et nous obtenons d'abord entre ces
ifariables l'équation
outre laquelle doivent avoir encore lieu trois autres de la forme
(24) at-\-hx -<- cy ^<- <^u-^- b'y\^ c'%— o-,
avec la condition
aa' ^- hb = cc'.
A la place des groupes {p -^ q ^ r), (p), (-7), (r) se présentent
alors les suivants
/(i/F^).-.= V^) = VJÏ) = (/■),
(25) V^) -^ C/r^) ^ Vîï) = (/- H- y ^ O-
( (v/i"^) - (v/^) =.(„^,; + /,^r).
Dans le premier de ces groupes, en (/■), il se présente les paires
suivantes de caractéristiques :
(r) ^(7^^- /))-!-(«- r + /-)- («H- îj + f^ + r+î)
et, à l'aide de l'équation (23), nous obtenons les fonctions abé-
liennes suivantes
dont les caractéristiques sont (« + ?■), («+/' + '/), (? + rf)-
{p + d), qui se distribuent de la manière qui suit dans les trois
y Google
SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENSES. 445
derniers groupes (u5)
(^n^d~q-:-r)^-{n h/-) -.-{q^d).
Les caractéristiques des fonctions abéliennes qui ne sont pas
encore déterminées doivent maintenant, comme il a été démontré
précédemment, être contenues dans le groupe (p + q ~\- r).
Si noua désignons ces caractéristiques par {^t), (^',), (^,)i (^î)?
(^2), (fcl), l'on devra, par suite, avoir
(jo + ? - '■) = {k,+ h) = (fc; H- /■;) = ifc'i + kl),
et ces caractéristiques ne se présentent pas dans le groupe (r).
Mais lacomparaison des groupes (25)avecles groupes (/ï 4-?+'"),
(p), (g), (r) enseigne que dans ces groupes doivent entrer toutes
les caractéristiques impaires existantes, et ensuite que les trois
paires encore restantes des groupes ip + Ç-i-r), {n + d-\-q-^r),
(n + d+p-^-r) doivent chacune avoir en commun une môme ca-
ractéristique.
Maintenant la caractéristique {q -\- e) ne se présente ni dans le
groupe (7-), ni dans {p-hq -h r); il s'ensuit donc que l'on peut
choisir (A:,), tel que l'on ail au choix soit
soit
^!c,^q^e) = (n^d + p + r).
De la première hypothèse, on tirerait
mais cela n'est pas possible, car, dans le groupe (p), nous avons
les paires
(d), (d+p),
et, par conséquent, d'après le théorème précédemment démontré
à la page 443,
y Google
446 TROISIÈME PARTIR. — FBAGMENTS POSTHUMES.
est paire. On aura donc
d'où
On conclut de même
{k\-\ = {n-^d + f-^p^q^r), (i', ) = (« ^ rf -+-/),
{k\) = (n^d^ g^p^q-^r). l^kl) = (n^d^ g),
el le groupe (n-^d + p-^r) contient les paires
(/ti), (y + e): {k\), (q+f); ik\}, (g -h g).
D'après les résultats de la considération qui précédait, d'une
équation de la forme (24) on déduira les quatre fonctions abé-
liennes
V'al -f-bj: + cr = v^— («'«-.-ô'ïi-i-c';),
t/d'a-l-ôa^ -t-c>- = /— (Mî +i'l-l-c't),
v/^F'^te -,-c'Ç = ^/-ya'u^'b'ri-hcyj,
dont les caractéristiques sont respectivement
(^i), (A-s), ip-^e), iq + e),
el notre problème sera donc résolu, lorsque l'on sera parvenu î
déterminer les coefficients a, b, c, a\ 6', C*.
Or la fonction, qui a (p 4-e) pour caraetcrislique, est déjà dé-
terminée dans ce qui précède. C'est
et, si nous posons
nous pouvons déterminer les coefficients a, Ô, c, a', b', c' en sorte
que V se présente sous la double forme qui suit
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SUR LA THÉORIE DES FOKCTIOKS ADËLIRNNES. 44?
Nous y parviendrons comme il suit, au moven de
nous éliminerons entre les deux expressions de v les variables z
et Ç, il vient
Eliminant entre ces dernières équations y] et_;f-, il vient
-^ ^ ^ — Y ^ at'^ — y)
Nous pouvons donc former maintenant les deux fonctions aljé-
^^
celte manière, seront déterminées toutes les fonctions abéliennes
avec leurs caractéristiques respectives. Dans l'exemple choisi pré-
cédemment les caractéristiques (k,), (k^), {k\), {k'.,), {k"), (k^) se
présentent sous la forme suivante :
**=^ " (i 1 o) ' ^'^'^^ = (o ! ô) ' ^^'^ = C i o) ■
Maintenant puisque, ainsi qu'il a été précédemment démontré,
a", p", y peuvent être exprimés à l'aide de a, (3, y, «', P'i y'i toutes
les fonctions abéliennes, ainsi que toutes leurs liaisons algébriques,
sont exprimées à l'aide de 3/> — 3 ^^ 6 constantes, que l'on peut
regarder comme les modules de la classe pour le cas où jo =^ 3.
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LISTE
MÉMOIRES DE LA DEUXIÈME ÉDITION ALLEMANDE
QUI ^'ONT PAS ÉTÉ PUBLIÉS DANS CETTE TRADUCTiOK.
PREMIÈRE PARTIK.
Avant-pvopos des diîuv premières éditions.
Mémoire IL — Ueber die Gesetze der Vertheilung von Spannungse/e'iricitàt
in ponderabteit KÔrpern, etc.
Mémoire III. — Zur Théorie der NobUi'ichen Farbenringe.
Mémoire X. — Ein Seilrag su den Unterauckungeii Hier die Bewegung eines
Jliisaigen gleichartigen Ellipsoide.''.
DEUXIÈME PARTIE.
Mémoire XIV. — Ein Beitrag sur Electrodynamil..
Mémoire XVI. — EHratto di iina lettera scritta in lingua ita/iana al Sign.
professore Enrico Betti.
Mémoire XVIII. — Mechanil; des Ohre'.:
TROISIÈME PARTIE.
Mémoire XIX. — Versiii:heinei-ailgem.eiiien Au ffa.^-:iing de.r Intégration imd
Differentialiort (i84';)-
Mémoire XX. — Neiie Théorie der THickslandex in electrischeii Bindungs-
apparatea.
Mémoire XXII. — Commentalio mathematica qua reapondere tentatur quœs-
tioni àb illustrissima Academia Parisiensi pi-opositœ. — Commentaire de
M. Weber relatif k ce Mémoire.
Mémoire XXIV. — Ueber das Potential eines Biiiges.
Mémoire XXV. — Verbreilung der Wiirme im Ellipsoid.
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.'iflO MÉMOIRES QUI n'ont PAS ÉTÉ PUBLIÉS DASS CECTK TRADUCTION.
SUPPLÉMENT.
PHCLOSOPHISCHKS
[. — Zur Psychologie und Metapkysik.
II. — Erkenntnisstheoretisches.
ni. — Naturphilosopkie.
\ où la normale change de
( scn5,
de la normale.
î où les normales changent
S de sens,
où change le sons de rotalian
des normales.
1 où U normale cliangc lU:
de la normale.
y Google
TABLE DES MATIÈRES.
Préface de M. Heruite, .
RlEMANN ET BON INF)
de M. Félix Kleii
PREMIERE PARTIE.
MÉMOraES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
Principes fondamentaai pour une théorie générale des fonctions d'une gran-
deur variable complexe.
Dissertation inaugurale de Riemann, CÛttingue, i85i . Mémoire I de la
2' édition allemande des Œuvres de Biemann, éditées par MM. H.
Weber et R. Dedekînd
Notes
Contribution à la Théorie des fonctions représentables par la série de Gauss
Mémoire IV de la 5' édition
Notes
Analyse de ce dernier Mémoire par Riemann.
Mémoire V de la a* édition
Théorie des fonctions abélienncs.
Mémoire VI de la r édition
Notes
Sur le nombre des nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée.
Mémoire VII de la v édition
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45» TABLE DES MATIÈRES.
Sur la propagatiOD d'ondes atmosphériques planes ayant une amplitude de
vibration finie ; traduit par M. Stouff, professeur à la Faculté des Sciences
de Besançon.
Mémoire VIII de la 2* édition
Analyse de ce dernier Mémoire par Riemann, traduite par M. Stouff.
Mémoire IX de la a" édition
Sur l'évanouissement des fonctions thêta.
Mémoire XI de la 2" édition
DEUXIEME PARTIE.
MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMANN.
Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonomé-
trique; traduction publiée dans \e Bulletin de M. Darboux, 1" sér., t. V;
1873.
Mémoire XII de la 2' édition
Notes
Sur les hypothèses qui servent de base à la Géométrie; traduit par J. HoUel.
Mémoire XIII de la s' édition
Lettre à M. Weierstrass.
Mémoire XV de la a' édition
Sur les surfaces d'aire minima pour un contour donné.
Mémoire XVII de la a- édition
Notes
TROISIÈME PARTIE.
FRAGMENTS POSTHUMES,
Deux théorèmes sur la théorie générale des équations différent ielles à coef-
hcients algébriques.
Mémoire XXI de la 1' édition
Sur le développement en fraction continue du quotient de deux séries hy-
pergéométriques.
Mémoire XXIII de la 2- édition
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TABLE imS MATlilRES. 453
Fragment sui' la représentation conl'ornic.
Mémoire XXVI de la a' édition ^78
Exemples de surfaces minima pour un contour donné.
Mémoire XXVII de la 2" édition Î84
Commentaire de M. Dedekind relatif au fragment écrit en latin (XXVHI,
s' édition) sur les cas-limites des fonctions tiiodulaires elliptiques.
Suite du Mémoire XXVIII de la 2' édition i'r,
Analysis si tus.
Mémoire XXIX de la 3' édition /<'',
Sur la convergence des séries thêta /i-uplement iofinie*.
Mémoire XXX de la î- édition ',^0
Sur la Théorie des fonctions abclienocs.
Mémoire XXXI de ta 5" édition '1 ''i
Liste des Mémoires de la 2" édition allemande qui n'ont pas été publiés dans
cette traduction 'i49
Errata -'|J0
Table de;
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LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS
QUAI DES GBAWDS-iUlSL-STINS, 55, PARIS (6^).
sus [Chèquea postau
FERMAT. — Œuvras de Fermât, publiées par les soins de
Paul Tannery et Charles Henri;, sous les auspices du Ministère
de l'Instruction publique. In-4 (a8-23).
Tome I : Œuvres mathématiques diverses. Observations sur
Diophante. Avec 3 planches (portrait de Fermât, fac-similé du
titre de l'éditio» de 1679, et fac-similé d'une page de son
écriture); 1891 210 fr:
Tome II : Correspondance de Fermât; 1894 210 fr.
Tome III : Traduction des écrits latins de Fermât, du n Commer-
cium Epistolicum « de Wallis, de l' Inventum novum » de Jacques
de Billy. — Suppléments à la correspondance; 1896. . . . 250 fr.
Tome IV : Compléments, par Cha.hi.bs Henry ; Supplément à
la Correspondance. Appendice. Notes et Tables; 1913. (Épuisé.)
IiAGHÀNGE. — Œuvres complètes de Lagrange, publiées
par les soins de J.-A. Serret et G. Darboux, Membres de l' Institut,
sous les auspices du Ministre de l'Instruction publique. In-^
(a8-23), avec un beau portrait de Lagrange, gravé sur cuivre
par Ach. Martinet.
La I"= Série comprend tous les Mémoires imprimés dans les
Recueils des Académies de Tarin, de Berlin et de Paris, ainsi
que les Pièces diuerses publiées séparément. Cette série forme
7 volumes (tomes I à VU, 1867-1877), qui se vendent sépa-
rément 350 fr.
La 11^ Série se compose de 7 volumes, qui renferment les
Ouvrages didactiques, la Correspondance et les Mémoires
inédits, savoir :
TomeYIII: Résoluliondeséquations numériques; ii-]Q. 210 fr.
Tome IX ; Théorie des fondions analytiques; 1881. 210 fr.
Tome X : Leçons sur le calcul des fonctions; iH8^. 210 fr.
Tome XI : Mécanique analytique, avec Notes de J. Bertrand
et G. Darboux (i" Partie : Statique); 1888 210 fr.
Tome XII : Mécanique analytique, avecNotcs Ae J.BEi\THAtii>
et G. 'Darboux (a^ Partie : Dynomigue); 1889 210 fr.
Tome XIII : Correspondance inédile de Lagrange et d'Alem-
bert, publiée d'après les manuscrits autographes et annotée par
Ludovic Lalanne. In-^; i88a 210 fr.
, Tome XIV et dernier : Correspondance de Lagrange avec
Condorcet, Laplace, Euler et divers savants, publiée et annotée
par Ludovic Lalanne avec deux fac-similés; i8ya.,. 210 fr.
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